【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§3.1 习题课 直线与椭圆的位置关系【讲义+习题】

习题课　直线与椭圆的位置关系
学习目标　1.会判断直线与椭圆的位置关系.2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．
导语
激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器．目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球球心为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题．

一、弦长公式
问题1　直线与圆的相交求弦长的两种方法？
提示　(1)利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理进行求解．
(2)斜率为k的直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝|x1－x2|(弦长公式)．
问题2　直线与椭圆相交时，如何求弦长呢？
提示　(1)可求出交点，利用两点间距离公式求解．
(2)可利用弦长公式求解．
知识梳理
弦长公式
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有AB＝
＝＝|x2－x1|
＝，
或AB＝
＝|y2－y1|
＝(k为直线斜率且k≠0)．
注意点：
如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
例1　已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
解　因为直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
方法一　解方程组
得交点A(0，－2)，B，
所以AB＝
＝
＝＝.
方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组
消去y得3x2－5x＝0，
因为Δ＝(－5)2＝25>0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝0.
所以AB＝
＝
＝
＝＝.
方法三　由方程组消去x得
3y2＋2y－8＝0，
因为Δ＝22－4×3×(－8)＝100>0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以AB＝
＝
＝
＝＝.
反思感悟　灵活应用弦长公式，当直线斜率可能不存在时，要单独验证．
跟踪训练1　椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点到右焦点的距离为＋，椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设斜率为1的直线l经过椭圆上顶点，并与椭圆交于A，B两点，求AB.
解　(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，
由题意可得解得a＝，c＝.
所以b2＝a2－c2＝1.
则椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)如图，椭圆C的上顶点A(0,1)，

则直线l的方程为y＝x＋1.
联立
得2x2＋3x＝0.
解得xA＝0，xB＝－.
所以AB＝|xA－xB|＝.
二、弦长公式的应用
例2　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
解　把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1，
得4x2＋(x＋m)2＝1，
即5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*)
则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20>0，
解得－ 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2.
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
根据弦长公式，
得·＝，
解得m＝0，符合－ 因此，所求直线的方程为y＝x.
反思感悟　(1)直线与椭圆相交，当已知弦长或已知弦长之间的关系，求直线的斜率或截距时，可通过弦长公式建立关于未知量的方程或不等式，求参数值或参数取值范围．
(2)在用根与系数的关系时要在判别式大于零的条件下．
跟踪训练2　如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解　(1)由题意得得b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以MN＝
＝
＝.
又点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积S＝MN·d＝，
由＝，得k＝±1，满足Δ>0.
所以当△AMN的面积为时，k＝±1.
三、中点弦
知识梳理
“点差法”的基本步骤
假设弦l的中点为(x0，y0)，弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
由
两式作差得＋＝0，
即kl＝－.
注意点：
(1)涉及弦的中点及斜率，即中点弦问题．
(2)求解后，应检验直线与圆锥曲线是否相交．
例3　过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求此弦长．
解　(1)方法一　由题意知，直线的斜率存在．
设所求直线方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，Δ>0.
设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
则x1＋x2＝.
又M为AB的中点，
∴＝＝2，
解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
又M(2,1)为AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
则x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
则(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－，
即kAB＝－.
又直线AB过点M(2,1)，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得x2－4x＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，
∴AB＝
＝＝2.
延伸探究
1．本例中把条件改为“点M(2,1)是直线x＋2y－4＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．
解　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
由＋＝1和＋＝1，
得＝－，
k＝＝.
又x＋2y－4＝0的斜率为－，
∴＝.
∴椭圆的离心率为e＝＝＝＝.
2．把本例条件“使弦被M点平分”去掉，其他条件不变，求弦的中点P的轨迹方程．
解　设弦的中点为P(x，y)，两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则
∴＝－，
当直线l的斜率存在时，则kl＝＝－.
又kl＝kPM＝，∴－＝.
整理得x2＋4y2－2x－4y＝0.
当直线l的斜率不存在时P点为(2,0)，满足上述方程，
故轨迹方程为x2＋4y2－2x－4y＝0.(椭圆内的部分)
反思感悟　涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系．
跟踪训练3　过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为______．
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①
＋＝1.②
∵M是线段AB的中点，∴＝1，＝1.
∵直线AB的方程是y＝－(x－1)＋1，
∴y1－y2＝－(x1－x2)．
由①②两式相减可得＋＝0，
即＋·＝0.
∴a＝b.
∴c＝b.
∴e＝＝.

1．知识清单：
(1)弦长公式．
(2)中点弦的求法．
(3)直线与椭圆的位置关系的综合应用．
2．方法归纳：分类讨论法、点差法．
3．常见误区：忽略直线中斜率不存在的情况．

1．过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则AB等于(　　)
A．4 B．2
C．1 D．4
答案　C
解析　因为＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，
所以c2＝3，
所以右焦点坐标为(，0)，
将x＝代入＋y2＝1得，y＝±，
故AB＝1.
2．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由
消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，
∴弦的中点的横坐标是x＝×＝，
代入直线方程y＝x－1中，得y＝－，
∴弦的中点坐标是.
3．直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　将直线y＝x＋1代入x2＋4y2＝8，
可得x2＋4(x＋1)2＝8，即5x2＋8x－4＝0，
解得x1＝－2，x2＝，∴y1＝－1，y2＝，
∴直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长为＝.
4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为______________．
答案　＋＝1
解析　由题意知直线AB的斜率k＝＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②整理得＝－·，
即k＝－·，∴＝.
又a2－b2＝c2＝9，∴a2＝18，b2＝9.
∴椭圆E的方程为＋＝1.

一、选择题
1．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　易求直线AB的方程为y＝(x＋)．
由
消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由弦长公式，得AB＝·|x1－x2|＝×＝.
2．直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m的值是(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案　A
解析　∵x＋4y＋m＝0，
∴y＝－x－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减，得＝－＝－.
∵AB中点的横坐标为1，
∴纵坐标为，
将代入直线y＝－x－，解得m＝－2.
3．若AB是过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM等于(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
答案　B
解析　方法一　设A(x1，y1)，M(x0，y0)，
则B(－x1，－y1)，
kAM·kBM＝·
＝
＝
＝－.
方法二　(特殊值法)．因为四个选项为定值，取A(a，0)，B(－a，0)，M(0，b)，
可得kAM·kBM＝－.
4．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．kAB·kOM＝－1
B．若点M的坐标为(1,1)，则直线l的方程为2x＋y－3＝0
C．若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为
D．若直线l的方程为y＝x＋2，则AB＝
答案　BD
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则两式相减，得＋＝0，
即·＝－2，即kAB·kOM＝－2.对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；对于B，由kAB·kOM＝－2，M(1,1)，得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正确；对于C，直线l的方程为y＝x＋1，M，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；对于D，由得3x2＋4x＝0，解得x＝0或－，所以AB＝·＝，所以D正确．
二、填空题
5．已知椭圆的方程为＋＝1，左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点．若直线AB的倾斜角为，则弦长AB为________．
答案　
解析　易知F1(－1,0)，
∵直线AB的倾斜角为，
∴直线AB的斜率为1，可得直线AB的方程为y＝x＋1.
联立
整理得7x2＋8x－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系可知
x1＋x2＝－，
x1·x2＝－，
则由弦长公式得
AB＝·
＝×＝.
6．已知椭圆两顶点A(－1,0)，B(1,0)，过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当CD＝时，直线l的方程为________________．
答案　x－y＋1＝0或x＋y－1＝0
解析　由题意得b＝1，c＝1.
∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2.
∴椭圆方程为＋x2＝1.
当直线l的斜率不存在时，CD＝2，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，
联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
Δ＝8(k2＋1)>0恒成立．
设C(x1，y1)，D(x2，y2)．
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∴CD＝|x1－x2|
＝
＝.
即＝，
解得k2＝2，
∴k＝±.
∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
三、解答题
7．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点的坐标．
解　(1)将(0,4)代入C的方程，得＝1，∴b＝4.
由e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为
y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，
则x1＋x2＝3，
∴＝，＝＝－，
即中点的坐标为.
8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若AB＋CD＝，求直线AB的方程．
解　(1)由题意知e＝＝，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知AB＋CD＝7，不满足条件．
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为
y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线CD的方程为y＝－(x－1)．
将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以AB＝|x1－x2|
＝·＝.
同理，CD＝＝，
AB＋CD＝＝，解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的顶点到直线l1：y＝x的距离分别为和.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设平行于l1的直线l交C于A，B两点，且|＋|＝||，求直线l的方程．
解　(1)由直线l1：y＝x可知其与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为a，短轴端点到直线l1的距离为b，
所以a＝，b＝，
解得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设直线l：y＝x＋t(t≠0)，联立整理得5x2＋8tx＋4t2－4＝0，
则Δ＝64t2－16×5(t2－1)>0，
解得－ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
x1x2＝，
故y1y2＝(x1＋t)(x2＋t)＝(x1＋x2)t＋x1x2＋t2＝，因为|＋|＝||，所以OA⊥OB，
即·＝x1x2＋y1y2＝＋＝0，
解得t＝±，满足－ 所以直线l的方程为y＝x＋或y＝x－.