【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§3.3 习题课 抛物线焦点弦的应用【讲义+习题】

习题课　抛物线焦点弦的应用

学习目标　1.抛物线焦点弦的推导.2.利用抛物线的焦点弦求解弦长问题．

一、x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用

例1　已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为(　　)

A．x2＝8y   B．x2＝4y

C．y2＝8x   D．y2＝4x

答案　C

解析　设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，

直线AB为x＝my＋，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1x2＝，y1y2＝－p2，

得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，

得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.

反思感悟　通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果．

跟踪训练1　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝____.

答案　－4

解析　方法一　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，

设直线AB的方程为x＝my＋，

将直线AB的方程与抛物线的方程联立，

得

消去x得y2－2mpy－p2＝0，

由根与系数的关系得y1y2＝－p2.

由于点A，B均在抛物线上，

则得

因此，＝＝＝－＝－4.

方法二　由焦点弦的性质可得x1·x2＝，

y1·y2＝－p2，故＝－4.

二、AB＝x1＋x2＋p＝的应用

例2　抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．

解　依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋.

设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

则AB＝，

∴＝8，∴p＝2，

故所求的抛物线方程为y2＝4x.

当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.

综上，抛物线方程为y2＝±4x.

反思感悟　利用AB＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解焦点弦的长度问题．

跟踪训练2　经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝______.

答案　2

解析　 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，

∴14＋p＝，∴p＝2.

三、 ＋＝为定值的应用

例3　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若AF＝2BF，则AB等于(　　)

A．4  B.  C．5  D．6

答案　B

解析　因为AF＝2BF，＋＝＋＝＝＝1，解得BF＝，AF＝3，

故AB＝AF＋BF＝.

反思感悟　将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题．

跟踪训练3　如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且AF＝4，则线段AB的长为(　　)

A．5  B．6  C.  D.

答案　C

解析　如图，过点A作AD⊥l于点D，AD＝AF＝AC＝4，OF＝＝4×＝1，

所以p＝2，

因为＋＝，AF＝4，

所以BF＝，

所以AB＝AF＋BF＝4＋＝.

1．知识清单：抛物线焦点弦性质的应用．

2．方法归纳：转化法．

3．常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错．

1．过抛物线C：y＝x2的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为M，则AB等于(　　)

A.  B.  C．13  D．9

答案　D

解析　由题意可得抛物线的标准形式为x2＝8y，

所以准线方程为y＝－2，

由题意可得A，B的纵坐标之和为×2＝5，

所以弦长AB＝5＋4＝9.

2．过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若AF＝6，则BF等于(　　)

A．9或6   B．6或3

C．9   D．3

答案　D

解析　方法一　设点A为第一象限内的点，

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，y1>0，

则由题意可得F(2，0)，AF＝x1＋2＝6，

则x1＝4，由y＝8x1，得y1＝4，

所以kAB＝＝2，

直线AB的方程为y＝2(x－2)，

将直线AB的方程代入y2＝8x化简得x2－5x＋4＝0，所以x2＝1，所以BF＝x2＋2＝3.

方法二　由抛物线焦点弦的性质可得，

＋＝，所以＝－＝，

可得BF＝3.

3．已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若AB＝4，则AB的中点的纵坐标为________．

答案　

解析　设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′.由题意得AA′＋BB′＝AB＝4，PQ＝＝2.又PQ＝y0＋，所以y0＋＝2，解得y0＝.

4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为________．

答案　4

解析　由抛物线的方程y2＝4x，可得p＝2，故它的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1.由中点坐标公式可得PQ的中点M，由于x1＋x2＝6，则M到准线的距离为＋1＝4.

一、选择题

1．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则＋的值为(　　)

A.  B.  C．1  D．2

答案　C

解析　由抛物线焦点弦的性质可得，

＋＝＝1.

2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1   B．x＝－1

C．x＝2   D．x＝－2

答案　B

解析　易知抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x－，即

x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2p＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为

x＝－1.

3．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　易知抛物线中p＝，

由抛物线的性质可得弦长AB＝＝12，

又O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，

∴S△OAB＝AB·d＝.

4．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是(　　)

A．抛物线的准线方程为x＝－1

B．若＋＋＝0，则2||＝||＋||

C．若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1

D．若AC＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2

答案　ABD

解析　 把点B(1，2)代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；

因为A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F(1，0) ，所以＝(x1－1，y1)，＝(0，2)，＝

(x2－1，y2)，又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2，

所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2|| ，故B正确；

因为A，F，C三点共线，所以直线AC是焦点弦，所以y1y2＝－p2＝－4，故C不正确；

设AC的中点为M(x0，y0)，

因为AF＋CF≥AC，AF＋CF＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，

即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确．

二、填空题

5．已知直线l：y＝x－1经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则AB＝__________.

答案　8

解析　设直线AB的倾斜角为α，则sin α＝，由题意知，直线l：y＝x－1过点(1，0)，所以＝1，解得p＝2，则AB＝＝＝8.

6．已知直线y＝kx＋1与抛物线x2＝4y相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若AF＝3，则△AOF与△BOF的面积之比为________．

答案　2

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>x2)，

由x2＝4y，得抛物线的准线方程为y＝－1，

又AF＝3，∴y1＋1＝3⇒y1＝2，

∴x1＝2，则点A(2，2)．

又点A在直线y＝kx＋1上，∴2＝2k＋1，

则k＝＝，∴直线方程为y＝x＋1.

联立⇒x2－x－4＝0，

∴x1x2＝－4⇒x2＝－，则＝＝2.

三、解答题

7.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．

(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；

(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．

解　(1)方法一　因为直线l的倾斜角为60°，

所以其斜率k＝tan 60°＝.

又F.

所以直线l的方程为y＝.

联立

消去y，得x2－5x＋＝0.

若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，

而AB＝AF＋BF＝＋＝x1＋x2＋p.

所以AB＝5＋3＝8.

方法二　因为抛物线y2＝6x，

所以p＝3，

又直线l的倾斜角α＝60°，

所以AB＝＝＝8.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，

AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，

所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，

所以M到准线的距离等于3＋＝.

8．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且PF＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若AB＝8，求直线l的斜率．

解　(1)由题意PF＝1＋＝2，p＝2，

∴抛物线方程为y2＝4x.

(2)方法一　由(1)知焦点为F(1，0)，

若直线l斜率不存在，则AB＝4，不合题意，

因此设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，

由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，

AB＝x1＋x2＋2＝＋2＝8，

解得k＝1或k＝－1.

方法二　若直线l的斜率不存在，则AB＝4，不合题意，

设直线l的倾斜角为α，

根据焦点弦的性质，AB＝，

代入可得sin2α＝＝，

即α＝45°或135°，

则k＝tan α＝±1.

9．已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x2＋y2－2x＝0的圆心重合．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设定点A(3，2)，当P点在C上何处时，PA＋PF的值最小，并求最小值及点P的坐标；

(3)若弦MN过焦点F，求证：＋为定值．

(1)解　由已知易得F(1，0)，

则所求抛物线C的标准方程为y2＝4x.

(2)解　设点P在抛物线C的准线上的射影为点B，

根据抛物线定义知PF＝PB，要使PA＋PF的值最小，必P，A，B三点共线.

可得P(x1，2)，22＝4x1⇒x1＝1，即P(1，2). 此时PA＋PF＝2＋2＝4.

(3)证明　因为MN 为焦点弦，

所以＋＝.

又p＝2，所以＋＝1，为定值．