【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一再练一课(范围：§3.1)【讲义+习题】

再练一课(范围：§3.1)

一、单项选择题

1．已知F1，F2是定点，F1F2＝8，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是(　　)

A．椭圆   B．直线

C．圆   D．线段

答案　A

解析　因为MF1＋MF2＝10>F1F2，所以点M的轨迹是椭圆．

2．若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　依题意，2c＝2b，

所以b＝c，

所以a2＝b2＋c2＝2c2，

所以e2＝，又0＜e＜1，

所以e＝.

3．若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　依题意得＝，所以c＝2b，

所以a＝＝b，

所以e＝＝＝.

4．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1

B.＋＝1或＋＝1

C.＋y2＝1

D.＋y2＝1或x2＋＝1

答案　D

解析　由题可知b2＝a2－c2＝1，当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋x2＝1.

5．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　)

A.＋y2＝1

B.＋＝1

C.＋y2＝1或＋＝1

D．以上答案都不对

答案　C

解析　直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)．

当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．

由题意知，c＝2，b＝1，

∴a2＝5，

∴椭圆的标准方程为＋y2＝1；

当焦点在y轴上时，

设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意知，b＝2，c＝1，

∴a2＝5.

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

6．椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a，0)，B(0，b)，且左焦点为F，△ABF是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　由题意可知△ABF为直角三角形，其中AB＝，BF＝a，AF＝a＋c，由勾股定理，得AF2＝AB2＋BF2，即(a＋c)2＝a2＋b2＋a2＝2a2＋a2－c2，整理得c2＋ac－a2＝0，两边同除以a2得e2＋e－1＝0，

∴e＝.

∵e∈(0,1)，∴e＝.

二、多项选择题

7．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值可能为(　　)

A．－21   B．21

C．－   D.

答案　BC

解析　当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝9，

b2＝4＋k，得c2＝5－k.

由＝＝，得k＝－；

当焦点在y轴上时，a2＝4＋k，b2＝9，

得c2＝k－5.

由＝＝，得k＝21.

8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆相交于A，B两点．若AF＋BF＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值可以是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　ACD

解析　设椭圆的左焦点为F′，P为短轴的上端点，连接AF′，BF′，如图所示．

由椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，则OA＝OB，

又OF′＝OF，∴四边形AFBF′为平行四边形，

∴AF＝BF′，

又AF＋BF＝BF＋BF′＝2a＝6，解得a＝3，

点P到直线l距离d＝≥，

解得b≥2，即＝≥2，

∴0<c≤，

∴e＝∈.

三、填空题

9．椭圆＋＝1的焦距为________．

答案　8

解析　由方程得a2＝32，b2＝16，

∴c2＝a2－b2＝16.

∴c＝4,2c＝8.

10．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______________．

答案　＋＝1

解析　由已知得，焦点在x轴上且c＝2，a＝2b，所以4b2－b2＝12，

所以所以椭圆的标准方程为＋＝1.

11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是

M(－4,1)，则椭圆的离心率是________．

答案　

解析　设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，e＝＝.

12．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在该椭圆上，若PF1－PF2＝1，则△PF1F2的面积是________．

答案　

解析　由题意，可得

解得

因为F1F2＝2c＝2，所以F1F＋PF＝PF，

所以△PF1F2是直角三角形，且∠PF2F1是直角．

所以＝·F1F2·PF2＝×2×＝.

四、解答题

13．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点.

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．

解　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，

设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，

则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，

故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，

故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.

(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，

设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±.

又＋y＝1，

所以x＝，x0＝±，

所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，.

14．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A(，1)在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B，C两点．

(1)求椭圆M的方程；

(2)求△ABC面积的最大值．

解　(1)由题意知解得b＝.

故所求椭圆M的方程为＋＝1.

(2)设直线l的方程为y＝x＋m，则m≠0.

设B(x1，y1)，C(x2，y2)，

把直线l的方程代入椭圆方程并化简得x2＋mx＋m2－2＝0，

由Δ＝2m2－4(m2－2)＝2(4－m2)>0，

可得0<m2<4.①

不妨取x1＝，

x2＝.

故BC＝|x1－x2|

＝×＝，

又点A到边BC的距离为d＝，

故S△ABC＝BC·d＝×＝×≤×＝，

当且仅当m2＝4－m2，

即m＝±时取等号，满足①式．

∴△ABC面积的最大值为.

15．已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．

解　(1)设M(x，y)．

因为kAM·kBM＝－2，

所以·＝－2(x≠±1)，

化简得2x2＋y2＝2(x≠±1)．

即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)．

(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)．

当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意．

当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y－1＝k，将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2＋y2＝2(x≠±1)得2x＋y＝2，①

2x＋y＝2，②

①－②整理得k＝＝－＝－＝－1，

故直线l的方程为y－1＝－，

即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.