【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一再练一课(范围：§3.1～§3.2)【讲义+习题】

再练一课(范围：§3.1～§3.2)

一、单项选择题

1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)

A．－  B．－4  C．4  D.

答案　A

解析　双曲线方程化为标准方程为y2－＝1，则有a2＝1，b2＝－，由题意得，2＝，解得m＝－.

2．“m>1且m≠2”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　B

解析　若方程－＝1表示双曲线，则(2－m)·(m－1)>0，解得1<m<2.当1<m<2时，方程－＝1表示双曲线．故“m>1且m≠2”是“方程－＝1表示双曲线”的必要不充分条件．

3．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，C上的点到左焦点F1的距离的最大值为6，过F1的直线交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案　A

解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意得，a＋c＝6，且4a＝16，∴a＝4，

c＝2，∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，故选A.

4．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(　　)

答案　C

解析　原方程分别可化为

y＝ax＋b和＋＝1.

从B，D中的两椭圆看，a>0，b>0，但由B中的直线可得a<0，b<0，矛盾，应排除；

由D中的直线可得a<0，b>0，矛盾，应排除；

由A中的双曲线可得a<0，b>0，

但由直线可得a>0，b>0，矛盾，应排除．

由C中的双曲线可得a>0，b<0，

由直线可得a>0，b<0.

5．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且PF2＝F1F2，则△PF1F2的面积为(　　)

A.  B.  C．2  D．4

答案　A

解析　在双曲线C：－＝1中，

a＝3，b＝4，c＝5，

∴F1(－5,0)，F2(5,0)，F1F2＝10.

∵PF2＝F1F2＝，

∴PF1＝2a＋PF2＝6＋＝.

∴在△PF1F2中，

cos∠PF1F2＝＝，

∴sin∠PF1F2＝，

∴△PF1F2的面积为××10×＝.

6.如图，已知F1，F2是椭圆T：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆T上一点，且点P不在x轴上，过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为Q，则点Q在______上运动．(　　)

A．直线   B．圆

C．椭圆   D．双曲线

答案　B

解析　作F2Q与F1P的延长线交于点M，连接OQ(图略)．因为PQ是∠F1PF2的外角的平分线，且PQ⊥F2M，所以在△PF2M中，PF2＝PM，且Q为线段F2M的中点，又O为线段F1F2的中点，由三角形的中位线定理，得OQ＝F1M＝(PF1＋PF2)．由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a，所以OQ＝a，所以点Q在以原点为圆心，a为半径的圆上运动．

二、多项选择题

7．若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则下列结论中正确的是(　　)

A．m＝2   B．C的长轴长为

C．C的短轴长为2   D．C的离心率为

答案　ACD

解析　由已知可得＝1，

解得m＝2或m＝－1(舍去)，

∴椭圆C的方程为＋＝1 ，

∴a2＝3，b2＝2 ，即a＝，b＝，

∴长轴长为2a＝2，短轴长2b＝2，

离心率e＝＝＝.

8．已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是(　　)

A．C的焦距为4

B．C的离心率为

C．C的渐近线方程为y＝±x

D．直线2x－y－1＝0与C有两个公共点

答案　AC

解析　由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确；因为双曲线C的离心率为＝＝，所以选项B不正确；因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以选项C正确；将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝2－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确．

三、填空题

9．若椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A(3,2)，则其标准方程为____________．

答案　＋＝1

解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，上焦点为F1(0,2)，下焦点为F2(0，－2)，根据椭圆的定义知，2a＝AF1＋AF2＝3＋＝8，

即a＝4，

所以b2＝a2－c2＝16－4＝12，

因此，椭圆的标准方程为＋＝1.

10．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为________．

答案　y＝±x

解析　因为e＝＝，

不妨设a＝4，c＝1，则b＝，

所以对应双曲线的渐近线方程为

y＝±x＝±x.

11．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________．

答案　±1

解析　由

消去y得x2－2mx－m2－2＝0.

Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，

所以线段AB的中点坐标为(m，2m)，

又因为点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，

所以5m2＝5，所以m＝±1.

12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是________．

答案　

解析　不妨设焦点在x轴上，则椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，焦点分别为F1(－c，0)，

F2(c，0)，如图所示．

若点M满足·＝0，则⊥可得点M在以F1F2为直径的圆上运动．

∵满足·＝0的点M总在椭圆内部，

∴以F1F2为直径的圆是椭圆内部的一个圆，即圆的半径小于椭圆的短半轴长．

由此可得b>c，即>c，解得a>c.

因此椭圆的离心率e＝<，∴椭圆离心率的取值范围是.

四、解答题

13．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：

(1)短轴长等于2，离心率等于的椭圆；

(2)与椭圆＋＝1共焦点，且过点(4,5)的双曲线．

解　(1)由题意可知，短半轴长b＝，

离心率e＝＝，

因为a2＝b2＋c2，所以a＝2.

若焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为＋＝1；

若焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由椭圆＋＝1的焦点为(0，±3)，

可设双曲线方程为－＝1(0<m<9)，将点(4,5)代入可得－＝1(0<m<9)，整理可得，m2－50m＋225＝0.

解得m＝5或m＝45(舍去)，所以双曲线的标准方程为－＝1.

14．经过点M(2,1)，是否存在直线l与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且M为AB的中点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则有x－＝1，①

x－＝1，②

由①－②整理得

(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)．

∵M为AB的中点，

∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，

代入上式得4(x1－x2)－(y1－y2)＝0，

∴kAB＝＝4.

故直线l的方程为4x－y－7＝0.

联立

得14x2－56x＋51＝0，Δ>0，故存在经过点M的直线l，且直线l的方程为4x－y－7＝0.

15．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设过点A的直线l与椭圆E交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．

解　(1)设点F(c，0)，

因为直线AF的斜率为，A(0，－2)，

所以＝，c＝.

又因为＝，b2＝a2－c2，

解得a＝2，b＝1，

所以椭圆E的方程为＋y2＝1.

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由题意可知直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y＝kx－2，

联立

消去y，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，

当Δ＝16(4k2－3)>0，

即k2>时，x1＋x2＝，x1x2＝.

所以PQ＝

＝·

＝.

又点O到直线l的距离d＝，

所以S△OPQ＝d·PQ＝.

设＝t>0，则4k2＝t2＋3.

S△OPQ＝＝≤＝1，

当且仅当t＝2，即＝2，

即k＝±时取等号，满足k2>，

所以△OPQ的面积最大时，直线l的方程为y＝x－2或y＝－x－2，

即x－2y－4＝0或x＋2y＋4＝0.