【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第9练 椭圆的标准方程【讲义+习题】
展开第9练 椭圆的标准方程
一、选择题
1．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为5，则点P到另一焦点F2的距离为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝2×6＝12，
因为PF1＝5，所以PF2＝7.
2．已知方程＋＝1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．4<k<9 B．4<k<
C.<k<9 D．4<k<9且k≠
答案 C
解析 ∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴解得<k<9.
3．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于( )
A．5 B．3 C．5或3 D．8
答案 C
解析 由椭圆＋＝1的焦距为2，得2c＝2，即c＝1.
当m>4时，m－4＝1，∴m＝5；
当0<m<4时，4－m＝1，
∴m＝3，∴m的值为3或5.
4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则MF1·MF2的最大值为( )
A．28 B．16 C．12 D．9
答案 B
解析 由椭圆C：＋＝1可得a2＝16，所以a＝4，
因为点M在C上，所以MF1＋MF2＝2a＝8，
所以MF1·MF2≤2＝2＝16，
当且仅当MF1＝MF2＝4时等号成立，MF1·MF2的最大值为16.
5．(多选)若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C. ＋＝1 D.＋＝1
答案 BC
解析 设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和2m，则2m＋m＝2a，即m＝，
因为a＋c≥m≥a－c，则a＋c≥≥a－c，所以a≤3c，对于A，a＝4，c＝1，不满足；对于B，a＝3，c＝1，满足；对于C，a＝5，c＝2，满足；对于D，a＝6，c＝，不满足．
二、填空题
6．焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6,0)的椭圆的标准方程是__________________．
答案 ＋＝1
解析 由题可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则2c＝4，c＝2，则a2－b2＝c2＝4，又椭圆经过点P(6,0)，说明P是椭圆的右顶点，所以a＝6，
所以a2＝36，b2＝32.即椭圆的标准方程为＋＝1.
7．已知点M(－5,0)，N(5,0)，△MNP的周长是36，则△MNP的顶点P的轨迹方程为____________________．
答案 ＋＝1(y≠0)
解析 由于点P满足PM＋PN＝36－10＝26>10，知点P的轨迹是以M，N为焦点，且2a＝26的椭圆(由于P与M，N不共线，故y≠0)，
∴a＝13，又c＝5，b2＝a2－c2＝132－52＝144，
故△MNP的顶点P的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
8.我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为__________．
答案 ，1
解析 ∵OF2＝＝，
OF0＝c＝OF2＝，
∴b＝1，
∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，
得a＝.
9．已知椭圆＋＝1的上焦点为F，M是椭圆上一点，点A(2，0)，当点M在椭圆上运动时，MA＋MF的最大值为__________．
答案 10
解析 取椭圆的下焦点E，取椭圆上任一点M，如图，由题意可得A在椭圆外，
由椭圆的定义可得MA＋MF＝
MA＋2a－ME≤2a＋AE，当且仅当A，E，M三点共线且E在M，A之间时取得等号，由椭圆的方程可得c2＝a2－b2＝9－5＝4，所以下焦点E(0，－2)，2a＝6，所以AE＝＝4，所以MA＋MF的最大值为6＋4＝10.
三、解答题
10.如图所示，已知椭圆C的两焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2F1F2＝PF1＋PF2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．
解 (1)设椭圆C的标准方程为＋＝1，焦距为2c，
因为椭圆C的两焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，可得c＝1，F1F2＝2，
所以4＝PF1＋PF2＝2a，
可得2a＝4，所以a＝2，
则b2＝a2－c2＝4－1＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)因为点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，
在△PF1F2中，由PF2＝2a－PF1＝4－PF1.
根据余弦定理得PF＝PF＋F1F－2PF1·F1F2·cos 120°，
即(4－PF1)2＝PF＋4＋2PF1，解得PF1＝，
所以＝F1F2·PF1·sin 120°＝×2××＝.
