【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第16练 圆锥曲线的综合问题【讲义+习题】

第16练　圆锥曲线的综合问题

一、选择题

1．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)   B．(1,2)

C.   D．(0,1)

答案　D

解析　把方程x2＋ky2＝2化为标准形式＋＝1，依题意有>2，

∴0<k<1.则实数k的取值范围是(0,1)．

2．德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由题意可得＝，整理得a＝59c，即＝.因此地球运行轨道所在椭圆的离心率是.

3.如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B是椭圆上第一象限内的两点，直线AB分别交x轴，y轴于M，N，其中A，B三等分MN，F1B∥F2A，则椭圆的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　F1B∥F2A⇒F2M＝F1F2＝2c，故M(3c，0)，

设N(0，n)，则A，B，代入椭圆方程得

消去n得1－＝4，

∴e2＝，∴e＝.

4．下列图形中，可能是方程ax＋by2＝0和ax2＋by2＝1(a≠0且b≠0)图形的是(　　)

答案　D

解析　对于A，方程ax2＋by2＝1表示椭圆，则a>0，b>0，则－<0，抛物线应开口向左，故A错误；

对于B，方程ax＋by2＝0化为标准方程为y2＝－x，则抛物线的焦点在x轴上，故B错误；

方程ax2＋by2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则a<0，b>0，则－>0，则抛物线应开口向右，故C错误，D正确．

5．(多选)已知椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M(1,1)，则下列结论正确的有(　　)

A．△PF1F2的周长为6

B．△PF1F2的最大面积为

C．存在点P使得·＝0

D．PM＋PF1的最大值为5

答案　ABD

解析　根据题意可得a＝2，b＝，c2＝a2－b2＝1，

对于A，△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝6，故A正确；

对于B，△PF1F2的最大面积为×F1F2×b＝bc＝，故B正确；

对于C，若要存在点P使得·＝0，则⊥，

即点P在以F1F2为直径的圆上，且F1F2＝2，所以点P为以F1F2为直径的圆与椭圆的交点，而椭圆的短半轴长为>r＝＝1，所以不存在点P，故C错误；

对于D，PM＋PF1＝PM＋2a－PF2＝4＋PM－PF2≤4＋MF2＝4＋1＝5，所以PM＋PF1的最大值为5，故D正确．

二、填空题

6．若双曲线x2－＝1(b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则b＝________.

答案　

解析　双曲线x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，

即bx±y＝0，由对称性不妨取一条渐近线为bx＋y＝0.

则(2,0)到直线bx＋y＝0的距离等于.

∴＝，解得b＝(b>0)．

7．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________．

答案　(1,0)

解析　圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，

将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)．

8．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.

答案　3

解析　由题意知PF1＋PF2＝2a，⊥，所以PF＋PF＝(F1F2)2＝4c2，

整理得(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝4c2，化简得PF1·PF2＝2b2，

所以＝PF1·PF2＝×2b2＝b2＝9，b>0，所以b＝3.

9．“蒙日圆”是涉及到几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必定在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C：＋＝1(a>0)的离心率为，则椭圆C蒙日圆的方程为____________．

答案　x2＋y2＝7

解析　因为椭圆C：＋＝1(a>0)的离心率为，

所以＝，解得a＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1，

所以椭圆的上顶点B(0，)，右顶点A(2,0)，

所以经过A，B两点的切线方程分别为y＝，x＝2，

所以两条切线的交点坐标为(2，)，又过A，B的切线互相垂直，

由题意知交点必在一个与椭圆C同心的圆上，可得圆的半径r＝＝，所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝7.

三、解答题

10．椭圆E与＋＝1有共同的焦点，且经过点A.

(1)求椭圆E的标准方程和离心率；

(2)设F为E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，求·的最大值．

解　(1)椭圆E与＋＝1有共同的焦点，可设椭圆E的方程为＋＝1(t>－8)，

由椭圆E经过点A，可得＋＝1，解得t＝－5或t＝－(舍)．

∴椭圆E的标准方程为＋＝1，离心率e＝＝.

(2)可得F(－1,0)，设M(x0，y0)，＝(x0，y0)，＝(x0＋1，y0)，

·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3－x

＝x＋x0＋3，

∵－2≤x0≤2，

∴x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2∈[2,6]．

∴·的最大值为6.