【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§4.1 第2课时 数列的递推公式【讲义+习题】

第2课时　数列的递推公式
学习目标　1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项.2.进一步理解数列与函数的关系．
导语
同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时的问题1.
一、数列的递推公式
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位．
问题1　写出前五排座位数．
提示　20，22，24，26，28.
问题2　第n排与第n＋1排座位数有何关系？
提示　第n＋1排比第n排多2个座位．
问题3　第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？
提示　能．an＋1＝an＋2.
知识梳理
一般地，如果已知一个数列的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．
注意点：(1)通项公式反映的是an与n之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项．
例1　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 022.
解　a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1，
…
∴{an}是周期为4的数列，
∴a2 022＝a4×505＋2＝a2＝－3.
反思感悟　递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性．
跟踪训练1　已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　)
A．1 B. C. D.
答案　C
解析　a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.
二、由递推公式求通项公式
例2　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为
a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，
a3＝＋－＝2－＝，
a4＝＋－＝2－＝，
a5＝＋－＝2－＝，
又a1＝1，
由此可得数列的一个通项公式为
an＝.
方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－，
a3＝a2＋－，…，
an＝an－1＋－(n≥2)，
则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－
＝2－＝(n≥2)．
又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)．
方法三　(累加法)　an＋1－an＝－，
a1＝1，
a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…
an－an－1＝－(n≥2)，
以上各项相加得
an＝1＋1－＋－＋…＋－.
所以an＝(n≥2)．
因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)．
(2)已知数列满足a1＝1，an＋1＝an，则an等于(　　)
A．n＋1 B．n
C. D.
答案　D
解析　由题意，因为数列满足an＋1＝an，所以＝，
所以an＝··…···a1＝××…×××1＝.
反思感悟　由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．
(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法．

跟踪训练2　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，求an.
解　因为an＝an－1＋－(n≥2)，
所以an－an－1＝－.
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1
＝－＋1.
又a1＝1也符合上式，
所以an＝－＋1，n∈N*.
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an.
解　因为ln an－ln an－1＝1，
所以ln＝1，
即＝e(n≥2)．
所以an＝··…··a1

＝en－1(n≥2)，
又a1＝1也符合上式，
所以an＝en－1，n∈N*.
三、数列的函数特征
问题4　在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？
提示　函数．
知识梳理
通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数解析式．(2)数列还可以用列表法、图象法表示．
例3　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
解　方法一　an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1 则a1a11>a12>…，
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×9.
方法二　根据题意，令
即
解得9≤n≤10.
又n∈N*，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×
9.
反思感悟　求数列最值的方法
(1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项．
(2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值．
跟踪训练3　已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　A
解析　因为an＝－4＝2－4，
所以当n＝3时，an取得最小值．

1．知识清单：
(1)数列的递推公式．
(2)由递推公式求数列的通项公式．
(3)数列的函数特征．
2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法．
3．常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式．

1．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　D
解析　因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
2．在数列中，an＝，则(　　)
A．是常数列 B．不是单调数列
C．是递增数列 D．是递减数列
答案　D
解析　在数列中，an＝＝1＋，
由反比例函数的性质得是递减数列．
3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 022的值为(　　)
A．2 B．1 C. D.
答案　C
解析　an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，
由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由a3＝2，a4＝1，得a5＝，
由a4＝1，a5＝，得a6＝，
由a5＝，a6＝，得a7＝1，
由a6＝，a7＝1，得a8＝2，
由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，所以a2 022＝a337＝a6＝.
4．323是数列{n(n＋2)}的第________项．
答案　17
解析　由an＝n2＋2n＝323，
解得n＝17(负值舍去)．
∴323是数列{n(n＋2)}的第17项．


1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是(　　)
A．15 B．255 C．16 D．63
答案　B
解析　由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255.
2．数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是(　　)
A．an＋1＝2an B．an＋1＝－2an
C．an＋1＝an D．an＋1＝－an
答案　D
3．在数列中，a1＝，an＋1＝1－，则a2 022等于(　　)
A. B．－1 C．2 D．3
答案　C
解析　当n＝1时，a2＝1－＝－1；
当n＝2时，a3＝1－＝2；
当n＝3时，a4＝1－＝＝a1，a5＝1－＝－1＝a2，a6＝2，…；所以数列{an}是一个周期为3的周期数列，故a2 022＝a674×3＝a3＝2.
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于(　　)
A．n2＋1 B．n＋1
C．1－n D．3－n
答案　D
解析　∵an＋1－an＝－1.
∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
当n＝1时，a1＝2也符合上式．
故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*)．

5．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(　　)

A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋，n∈N*，n≥2
答案　B
解析　结合图形易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，
∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2.
6．已知在数列{an}中，an＝－2n2＋25n＋30(n∈N*)，则数列中最大项的值是(　　)
A．107 B．108 C．108 D．109
答案　B
解析　由已知得an＝－2n2＋25n＋30＝－22＋108，由于n∈N*，故当n取距离最近的正整数6时，an取得最大值108.∴数列{an}中最大项的值为a6＝108.
7．已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝______.
答案　
解析　a1a2…a8＝82，①
a1a2…a9＝92，②
②÷①得，a9＝＝.
8．数列的通项公式是an＝n2－7n＋50，则数列中的最小项是________．
答案　38
解析　数列的通项公式an＝n2－7n＋50＝2＋，
因为n∈N*，所以当n＝3或n＝4时，an最小，此时a3＝a4＝38，
则数列中的最小项是38.
9．在数列中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想an(不用证明)．
解　(1)∵a1＝1，
an＋1＝，
∴a2＝＝，
a3＝＝，
a4＝＝.
(2)猜想：an＝.
10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 022.
解　(1)设an＝kn＋b(k≠0)，
则有解得
∴an＝4n－2，n∈N*.
(2)a2 022＝4×2 022－2＝8 086.

11．已知an＝，则数列{an}中相等的连续两项是(　　)
A．第9项，第10项
B．第10项，第11项
C．第11项，第12项
D．第12项，第13项
答案　B
解析　假设an＝an＋1，则有＝，解得n＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项．
12．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是(　　)
A．a1 B．a9
C．a10 D．不存在
答案　A
解析　因为a1>0，且an＋1＝an，
所以an>0，
所以＝<1，
所以an＋1 所以此数列为递减数列，
故最大项为a1.
13．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于(　　)
A．a2 021 B．a2 022
C．a2 023 D．a2 024
答案　C
解析　由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，
则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a5＋a6＋…＋a2 022＝a2 021＋a2 022＝a2 023.
14．若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 022的值为________．
答案　－1
解析　a1＋a3＝a2，则a3＝a2－a1＝1，a2＋a4＝a3，则a4＝a3－a2＝－2，a3＋a5＝a4，则a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝3，…，
∴数列{an}为周期数列，且周期T＝6，又2 022＝6×337，
∴a2 022＝a6＝－1.

15．在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
答案　28
解析　依题意得数列{an}是周期为3的数列，
且a1＝1，a2＝2，a3＝4，
因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
16．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝
若a4＝4，求m所有可能的取值．
解　若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1.
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
若a2为偶数，则＝1，a2＝2.
若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)，
若a1为偶数，＝2，a1＝4；
若a3为偶数，则＝4，a3＝8.
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)，
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5，
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4，5，32.