【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§4.2 习题课 等差数列前n项和性质的综合问题【讲义+习题】

习题课　等差数列前n项和性质的综合问题
学习目标　1.掌握总项数为奇数项或偶数项时前n项和的特点.2.掌握含绝对值的等差数列的前n项和的求法．
一、等差数列中奇、偶项的和
问题1　我们知道等差数列前n项和公式中的n表示等差数列的项数，你能利用公式表示S2n，S2n－1吗？
提示　S2n＝＝n(a1＋a2n)，S2n－1＝，由等差数列的性质m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq可知，a1＋a2n＝an＋an＋1，a1＋a2n－1＝2an，即S2n＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an，发现总项数为偶数项时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数项时，其和可用中间一项表示．
问题2　当总项数为2n项时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？
提示　S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
＝＝nan，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝＝nan＋1，
则有S偶－S奇＝nan＋1－nan＝n(an＋1－an)＝nd，
＝＝.
问题3　当总项数为2n－1项时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？
提示　S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
＝＝nan，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n－2＝＝(n－1)an，
则有S奇－S偶＝an，＝.
知识梳理
1．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝.
2．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝.
3．设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
注意点：(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数；(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半．
例1　(1)在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
答案　2
解析　由
得
所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
(2)有两个等差数列{an}，{bn}满足＝，求.
解　方法一　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
则＝
＝，
则有＝，①
又由于＝，②
观察①②，可在①中取n＝9，得＝＝.故＝.
方法二　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，
则有＝，其中An＝，
由于a1＋a9＝2a5.
即＝a5，
故A9＝＝a5×9.
同理B9＝b5×9.
故＝.
故＝＝＝.
方法三　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，
因为等差数列的前n项和为Sn＝an2＋bn
＝an，
根据已知，可令An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn(k≠0)．
所以a5＝A5－A4
＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，
b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.
所以＝＝.
方法四　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，由＝，有＝＝＝.
反思感悟　一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项．
跟踪训练1　(1)等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
答案　C
解析　∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝132，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ＝120，
∴S奇－S偶＝a2n＋1－nd＝an＋1＝12，
∴S2n＋1＝S奇＋S偶＝252＝＝an＋1＝12，
解得n＝10.
(2)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．
答案　－4
解析　设等差数列{an}的项数为2m，
∵末项与首项的差为－28，
∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，①
∵S奇＝50，S偶＝34，
∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md，②
由①②得d＝－4.
(3)若等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，＝，则＝________.
答案　
解析　由等差数列前n项和性质，得＝＝＝＝.
二、含绝对值的等差数列的前n项和
问题4　已知等差数列an＝2n－9，求{|an|}的前n项和．
提示　设{an}的前n项和为Sn，{|an|}的前n项和为Tn.
则当n≤4时，Tn＝－Sn＝－n2＋8n，
当n≥5时，Tn＝(－a1)＋(－a2)＋(－a3)＋(－a4)＋a5＋a6＋…＋an＝－S4＋(Sn－S4)
＝Sn－2S4＝n2－8n＋32.
∴Tn＝
知识梳理
1．若一个等差数列a1<0，d>0，且ak≤0，ak＋1>0，则其绝对值的前n项和为Tn＝n∈N*.
2．若一个等差数列a1>0，d<0，且ak≥0，ak＋1<0，则其绝对值的前n项和为Tn＝n∈N*.
注意点：(1)要先去掉绝对值才能求和；(2)找准分界点是解决此类问题的关键．
例2　数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N*)．
(1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；
(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.
∵a1＝S1＝100×1－12＝99，满足上式，
∴an＝101－2n(n∈N*)．
又an＋1－an＝－2为常数，
∴数列{an}是首项为99，公差为－2的等差数列．
(2)令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，
∵n∈N*，∴n≤50(n∈N*)．
①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an，
∴数列{bn}的前n项和Tn＝100n－n2.
②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an，
由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)
＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，
得数列{bn}的前n项和Tn＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2 500－(100n－n2)
＝5 000－100n＋n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
Tn＝n∈N*.
延伸探究　本例中若an＝2n－101，求数列{bn}的前n项和．
解　由本例可知，当1≤n≤50时，an<0，此时bn＝－an，
数列{bn}的前n项和Tn＝－n2＋100n，
当n≥51时，an>0，b51＋b52＋…＋bn＝a51＋a52＋…＋an.
数列{bn}的前n项和Tn＝－S50＋Sn－S50＝n2－100n＋5 000，
综上，Tn＝n∈N*.
反思感悟　已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．
跟踪训练2　在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.
(1)数列{an}前多少项和最大？
(2)求{|an|}的前n项和Sn.
解　(1)由
得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.
令an>0，得n<，∴当n≤17时，an>0；
当n≥18时，an<0，∴数列{an}的前17项和最大．
(2)当n≤17时，
|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n.
当n≥18，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an
＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2－
＝n2－n＋884.
∴Sn＝

1．知识清单：
(1)等差数列中奇、偶项的和．
(2)含绝对值的等差数列的前n项和．
2．方法归纳：公式法、整体代换法、分类讨论法．
3．常见误区：求数列{|an|}的前n项和时不讨论，最后不用分段函数表示．

1．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是(　　)
A．0.5,0.5 B．0.5,1
C．0.5,2 D．1,0.5
答案　A
解析　由于项数为10，
故S偶－S奇＝15－12.5＝5d，
∴d＝0.5，由15＋12.5＝10a1＋×0.5，
得a1＝0.5.
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)
A．1 B．－1 C．2 D.
答案　A
解析　由于S2n－1＝(2n－1)an，
则＝＝×＝1.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.若S12>0，S13<0，则数列{|an|}的最小项是(　　)
A．第6项 B．第7项 C．第12项 D．第13项
答案　B
解析　由题意得，S12>0，S13<0及S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)，S13＝13a7，得a6＋a7>0，a7<0，所以a6>0，a6>|a7|，且公差d<0，所以|a7|最小．
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－9，S5＝－25，bn＝|an|， {bn}的前n项和为Tn，则T10＝________.
答案　50
解析　设等差数列{an}的公差为d，
∵a1＝－9，S5＝－25.
∴－9×5＋×d＝－25，解得d＝2.
∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11.
∵bn＝|an|，∴bn＝|2n－11|，
∴T10＝|－9|＋|－7|＋|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＋7＋9＝2＝50.

　　　　　　　　　　　　　　　　

1．在等差数列{an}中，a2＋a4＋a6＝－3，a3＋a5＋a7＝6，则{an}的前8项的和为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　B
解析　由等差中项的性质可知a2＋a4＋a6＝3a4＝－3，所以a4＝－1，同理a5＝2，所以a4＋a5＝1，S8＝4(a4＋a5)＝4.
2．已知等差数列{an}的公差为2，项数为偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
答案　A
解析　设这个数列的项数是2k，
则奇数项之和为a1＋a3＋…＋a2k－1＝15，
偶数项之和为a2＋a4＋…＋a2k＝25，
∴(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)
＝25－15＝10.
∵等差数列{an}的公差为2，
∴2k＝10，
∴这个数列的项数是10.
3．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　＝÷＝＝＝＝.
4．已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－n，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于(　　)
A．24 B．25 C．26 D．27
答案　B
解析　因为an＝5－n，所以当n≤5时，an≥0，当n≥6时，an<0；
因此|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)－(a6＋a7＋a8＋a9＋a10)
＝(4＋3＋2＋1＋0)＋(1＋2＋3＋4＋5)
＝10＋15＝25.
5．设等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，若＝，则t等于(　　)
A．5 B．6 C．22 D.
答案　A
解析　由题意可得a7＝，b3＋b11＝2b7＝，则＝＝＝，解得t＝5.
6．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是(　　)
A．a7 B．a8 C．S15 D．S16
答案　BC
解析　由于a1＋a15＝2a8，故a1＋a8＋a15是定值可得a8是定值，S15＝×15×(a1＋a15)＝15a8，故S15为定值．
7．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．
答案　11　7
解析　设等差数列{an}的项数为2n＋1(n∈N*)，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
所以＝＝，
解得n＝3，
所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，
即a4＝44－33＝11，为所求的中间项．
8．已知在等差数列{an}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________．
答案　99
解析　由题意，得S奇＋S偶＝148，
S偶－S奇＝50d＝50，
解得S偶＝99.
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解　(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d.
∵S12＞0，S13＜0，
∴
即
∴－＜d＜－3.
即d的取值范围为.
(2)∵S12＞0，S13＜0，
∴
∴
∴a6＞0，
又由(1)知d＜0.
∴数列前6项为正，从第7项起为负．
∴数列前6项和最大．
10．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴{an}是等差数列，
又∵a1＝8，a4＝2，
∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2.
∵an＝10－2n，
令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；
当n＝5时，an＝0；
当n<5时，an>0.
∴当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，
∴Tn＝

11．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于(　　)
A．15 B．35 C．66 D．100
答案　C
解析　易得an＝
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，
令an>0，则2n－5>0，
∴n≥3.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.
12．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且满足＝，则等于(　　)
A. B. C. D．1
答案　D
解析　由题意，令Sn＝kn(2n＋1)，
Tn＝kn(3n＋2)，
∴＝＝＝1.
13．已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝(n∈N*)，则＋＝________.
答案　
解析　因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，
所以＋＝＝＝＝＝.
14．已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶数项的和之比为________．
答案　
解析　由题意，得等差数列共有11项，所以奇数项的和为S奇＝＝6a6，
其偶数项的和为S偶＝＝5a6，
所以其奇数项的和与偶数项的和之比为.

15．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意，得数列{an}为等差数列，a1＝6，S30＝11×40＋3×10＝470，
设数列{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式，得
S30＝30×6＋d＝470，解得d＝，
所以an＝6＋×＝n＋，
a1＋a3＋…＋a29＝＝15a15，
a2＋a4＋…＋a30＝＝15a16，
所以＝＝＝.
16．已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)因为数列是公差为2的等差数列，且＝a1＝1，所以＝1＋×2＝2n－1，所以Sn＝2n2－n，
又因为an＝Sn－Sn－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3，
又因为a1＝1符合上式，所以an＝4n－3，n∈N*.
(2)因为bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)，
当n为偶数时，Tn＝(－1)＋5＋(－9)＋13＋…＋[－(4n－7)]＋(4n－3)，
所以Tn＝[(－1)＋5]＋[(－9)＋13]＋…＋{[－(4n－7)]＋(4n－3)}＝4×＝2n，
当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝2(n－1)＋[－(4n－3)]＝1－2n，
综上可知，Tn＝