【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§4.2 习题课 等差数列的综合问题【讲义+习题】

习题课　等差数列的综合问题
学习目标　1.体会等差数列与一元一次函数的关系.2.掌握等差数列判断与证明的方法.3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用．
导语
当数列是等差数列时，可以根据公式进行一些计算，但对数列来说，如何判断是否为等差数列呢？
一、等差数列的通项公式与函数的关系
问题　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
提示　由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，记为d＝(n≥2)，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d＝，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列．
知识梳理
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
例1　已知数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n(n∈N*)，则实数a＝________.
答案　0
解析　∵{an}是等差数列，∴an是关于n的一次函数，又an＝an2＋n，∴a＝0.
反思感悟　熟练掌握等差数列是关于n的一次函数这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列．
跟踪训练1　等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是(　　)
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
答案　B
解析　∵a1＝20，d＝－3，
∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2>0，a8＝－1<0.
∴数列中第一个负数项是第8项．
二、等差数列的判定与证明
知识梳理
证明等差数列的方法
(1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)．
(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d.
例2　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
解　(1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，
∴＝＝＋，
∴－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，
∴an＝，n∈N*.
延伸探究　将本例中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”．
(1)试证明数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝＝.
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)解　由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n.
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2，n∈N*.
反思感悟　判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．
跟踪训练2　已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，又b1＝＝1，
∴{bn}是首项为1，公差为的等差数列．
(2)解　由(1)知bn＝n＋，
∴an－1＝，
∴an＝.
三、等差数列的实际应用
例3　有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
解　设某单位需购买电视机n台，在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，
an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元，购买台数超过18台时，每台售价440元．
到乙商场购买时，每台售价为
800×75%＝600(元)．
比较在甲、乙两家家电商场的费用
(800－20n)n－600n＝20n(10－n)．
当n<10时，(800－20n)n>600n，到乙商场购买花费较少；
当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；
当10 当n>18时，440n<600n，到甲商场购买花费较少．
因此，当购买电视机少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机为10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机多于10台时，到甲商场购买花费较少．
反思感悟　(1)在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．
(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．
跟踪训练3　我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种重量单位)．这个问题中，等差数列的通项公式an等于(　　)
A．－n＋(n∈N*，n≤5)
B.n＋(n∈N*，n≤5)
C.n＋(n∈N*，n≤5)
D．－n＋(n∈N*，n≤5)
答案　D
解析　依题意甲、乙、丙、丁、戊所分的钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，
由题意可知a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，
所以a＝－6d，
又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，所以a＝1，
所以此等差数列首项为，公差为－，
故通项公式为an＝－n＋(n∈N*，n≤5)．

1．知识清单：
(1)等差数列的通项公式与一次函数的关系．
(2)证明等差数列的方法．
(3)等差数列的实际应用．
2．方法归纳：定义法，公式法．
3．常见误区：证明等差数列时是否体现了任意性．

1．(多选)下列命题中，正确的是(　　)
A．数列6,4,2,0是公差为2的等差数列
B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)
D．数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列
答案　BCD
解析　对于A，数列6,4,2,0的公差为－2，A错误；
对于B，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以B正确；
对于CD，由于等差数列的通项公式是关于n的一次函数，即an＝kn＋b，所以CD正确．
2．下列各数列中首项为零的等差数列是(　　)
A．an＝2n B．an＝2(n－1)
C．an＝2n D．an＝2n－1
答案　B
解析　A项，首项为2；B项，该数列首项为2(1－1)＝0，符合题意；C项，D项，不是等差数列．
3．下列命题中，与命题“{an}为等差数列”不等价的是(　　)
A．an＋1＝an＋d(d为常数)
B．数列{-an}是等差数列
C．数列是等差数列
D．an＋1是an与an＋2的等差中项
答案　C
解析　对于A，即an＋1－an＝d，故A正确．
对于B，数列{-an}是等差数列，则－an＋1＝－an＋d，d为常数．故an＋1－an＝－d，－d为常数．故B正确．
对于C，数列是等差数列，则－＝d，d为常数．不能推导出{an}为等差数列．故C错误．
D正确．
4．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)，则中间两节各多少容量？在这个问题中，中间一节的容量为________升．
答案　
解析　设从最上至最下每节的容量构成等差数列{an}，公差为d，由题意知
则解得
故a5＝a1＋4d＝.


1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值为(　　)
A．52 B．50 C．51 D．49
答案　A
解析　由已知得，an＋1－an＝，n∈N*，所以{an}是首项为2，公差为的等差数列．所以a101＝2＋100×＝52.
2．已知等差数列{an}的前三项为a－1，a＋1,2a＋1，则此数列的通项公式为(　　)
A．2n－5 B．2n－3
C．2n－1 D．2n＋1
答案　C
解析　2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋1)，
解得a＝2，所以a1＝1，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
3．已知数列{an}为等差数列，则下列不一定成立的是(　　)
A．若a2>a1，则a3>a1
B．若a2>a1，则a3>a2
C．若a3>a1，则a2>a1
D．若a2>a1，则a1＋a2>a1
答案　D
解析　利用等差数列的单调性可得，若a2>a1，则公差d>0，所以等差数列{an}是递增数列，
所以a3－a1＝2d>0，a3－a2＝d>0成立，所以A，B正确；
若a3>a1，则a3－a1＝2d>0，所以a2－a1＝d>0成立，所以C正确；
a1＋a2>a1不一定成立，例如a1<0时不一定成立，所以D不一定成立．
4．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1,2]，且a4＋λa10＋a16＝15，则实数λ的最大值为(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　D
解析　∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1,2]，且a4＋λa10＋a16＝15，
∴1＋3d＋λ(1＋9d)＋1＋15d＝15，解得λ＝，
∵d∈[1,2]，λ＝＝－2＋是减函数，
∴当d＝1时，实数λ取最大值为λ＝＝－.
5．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对∀n∈N*都有2a＝a＋a，则a10等于(　　)
A．10 B. C．64 D．4
答案　D
解析　对∀n∈N*都有2a＝a＋a，由等差中项法可知，数列为等差数列，
由于a1＝1，a2＝2，则数列的公差为d＝a－a＝7，
所以a＝a＋9d＝1＋9×7＝64，因此，a10＝4.
6．(多选)下列命题中，正确的是(　　)
A．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
答案　AC
解析　A项中，∵a，b，c为等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴2·(2b)＝2a＋2c，∴2a，2b，2c成等差数列，故A正确．
C项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．故C正确．
7．已知数列的通项公式为an＝4n－102，那么数列从第________项开始值大于零．
答案　26
解析　令an＝4n－102>0，解得n>25.5，
∵n∈N*，
∴n≥26，
故从第26项开始值大于零．
8．已知在数列中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10＝________.
答案　
解析　由＝＋，得－＝，
∴数列是以＝1为首项，以为公差的等差数列，
则＝1＋(n－1)＝，
∴an＝，则a10＝＝.
9．画出数列an＝的图象，并求经过图象上所有点的直线的斜率．
解　画出图象如图所示．

由图象可得，直线的斜率k＝1.
10．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　由＝
＝＝＝
＝＋，
得－＝，
故数列是首项为1，公差为的等差数列．
(2)解　由(1)知＝＋(n－1)×＝，
所以an＝，n∈N*.

11．设{an}是等差数列，则“a1 A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　C
解析　由{an}是等差数列，可得d＝a2－a1＝a3－a2>0，所以数列{an}是递增数列，充分性成立；
若数列{an}是递增数列，则必有a1 12．已知在数列{an}中，
f(x)＝，则数列是(　　)
A．首项为，公差为的等差数列
B．首项为，公差为的等差数列
C．首项为，公差为的等差数列
D．首项为，公差为的等差数列
答案　B
解析　∵函数f(x)＝，
∴an＝f(an－1)＝，n≥2且n∈N*，
∴－＝，
又∵a1＝2，
∴数列是首项为，公差为的等差数列．
13．假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米．
答案　2029
解析　设n年后该市新建住房的面积为an万平方米．由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.令400＋50n>820，解得n>.由于n∈N*，则n≥9.所以该市在2029年新建住房的面积开始大于820万平方米．
14．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
答案　n2(n∈N*)
解析　由题设可得－＋1＝0，即－＝1，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
故通项公式为＝n，所以an＝n2(n∈N*)．

15．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2 021共2 021个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有(　　)
A．132项 B．133项 C．134项 D．135项
答案　D
解析　被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{an}，则an＝8＋15＝15n－7，令an＝15n－7≤2 021，解得n≤135，
所以该数列的项数共有135项．
16．如果数列{an}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得ak＝aiaj”，则称数列{an}具有“性质P”，已知数列{an}是无穷项的等差数列，公差为d.
(1)试写出一个具有“性质P”的等差数列；
(2)若a1＝2，公差d＝3，判断数列{an}是否具有“性质P”，并说明理由．
解　(1)an＝2n－1.
(2)若a1＝2，公差d＝3，则数列{an}不具有性质P.
理由如下：
由题知an＝3n－1，对于a1和a2，
假设存在正整数k，使得ak＝a1a2，
则有3k－1＝2×5＝10，解得k＝，与k∈N*矛盾，
所以对任意的k∈N*，ak≠a1a2.故{an}不具有性质P.