【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一再练一课(范围：§4.1～4.2.2)【讲义+习题】

再练一课(范围：§4.1～4.2.2)

一、单项选择题

1．已知数列1，，，，…，，则3是这个数列的第(　　 )

A．20项  B．21项  C．22项  D．23项

答案　D

解析　由＝3＝，得2n－1＝45，即2n＝46，解得n＝23.

2．已知数列的通项公式是an＝则a2·a3等于(　　)

A．70  B．28  C．20  D．8

答案　C

解析　因为an＝

所以a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，

所以a2·a3＝20.

3．在数列中，a1＝1，an＋an＋1＝3，则数列是(　　 )

A．递增数列   B．递减数列

C．摆动数列   D．常数列

答案　C

解析　因为a1＝1，所以a2＝2，又an＋an＋1＝3，所以an＋1＋an＋2＝3，两式相减得an＋2－an＝0，故当n为奇数时，an＝1，当n为偶数时，an＝2，所以数列是摆动数列．

4．已知数列是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d等于(　　)

A．0  B．2  C．－1  D．－2

答案　D

解析　数列是等差数列，设公差为d，若a1＝2，a4＝2a3，则2＋3d＝2，解得d＝－2.

5．已知数列是等差数列，且a3＝2，a15＝30，则a9等于(　　)

A．12  B．24  C．16  D．32

答案　A

解析　令bn＝，由题意可知b3＝＝，b15＝＝2，则等差数列{bn}的公差d＝＝，

则b9＝b3＋(9－3)d＝，所以a9＝9b9＝12.

6．某同学参加《二十四节气日中影长变化规律》课题的研究，并测得冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气日中同一固定时刻校内旗杆的影长．由于不慎将大部分数据丢失如下表，

表中旗杆影长为19 m是在________节气日中同一固定时刻测得的(注：据《周髀算经》记载这十二节气日的影长依次构成等差数列)(　　)

A．谷雨   B．立夏

C．小满   D．芒种

答案　B

解析　用an表示这十二个节气日中的影长，则a1＝24，a4＝22，且是等差数列，

d＝＝＝－，an＝24－(n－1)，由an＝24－(n－1)＝，得n＝10，

第10个节气是立夏．

二、多项选择题

7．下列四个命题中，正确的有(　　)

A．数列的第k项为1＋

B．已知数列的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项

C．数列3,5,9,17,33…的一个通项公式为an＝2n－1

D．数列的通项公式为an＝，n∈N*，则数列是递增数列

答案　ABD

解析　对于A，数列的第k项为1＋，A正确；

对于B，令n2－n－50＝－8，解得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；

对于C，将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…，设该数列为，则其通项公式为bn＝2n，因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1，C错误；

对于D，an＝＝1－，则an＋1－an＝－＝>0，

因此数列是递增数列，D正确．

8．若数列满足：对任意正整数n，为递减数列，则称数列为“差递减数列”．给出下列数列，其中是“差递减数列”的有(　　)

A．an＝3n   B．an＝n2＋1

C．an＝   D．an＝ln

答案　CD

解析　对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以不为递减数列，故A错误；

对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以为递增数列，故B错误；

对于C，若an＝，则an＋1－an＝－＝，所以为递减数列，故C正确；

对于D，若an＝ln ，则an＋1－an＝ln －ln ＝ln＝ln，

由函数y＝ln在(0，＋∞)上单调递减，所以数列为递减数列，故D正确．

三、填空题

9．已知在数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2，n∈N*)，则a2 022＝________.

答案　－

解析　∵a2＝－＝－，a3＝－＝2＝a1，a4＝－＝a2，∴{an}的周期为2，∴a2 022＝a2＝－.

10．在数列中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(n∈N*)，则an＝________.

答案　2＋ln n

解析　由an＋1＝an＋ln，

得an＋1－an＝ln ＝ln－ln n，

当n≥2时，

an＝a1＋＋＋…＋

＝2＋＋＋…＋[ln n－ln]＝2＋ln n，

当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2成立．

所以an＝2＋ln n(n∈N*)．

11．已知各项都为正数的等差数列中，a5＝3，则a3a7的最大值为________．

答案　9

解析　依题意，得等差数列各项都为正数，

所以a3>0，a7>0，

所以a3a7≤2＝a＝9.

当且仅当a3＝a7＝3时等号成立．

12．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是________．

答案　144

解析　由题意及图形知，不妨构造数列表示第n行实心圆点的个数的变换规律，

其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点．

故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和．

即a1＝0，a2＝1，且当n≥3时，an＝an－1＋an－2，

故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.

四、解答题

13．设等差数列由三个数构成，三项和为21，平方和为179，求此数列．

解　由题意，设这三个数为a－d，a，a＋d，

因为三项和为21，平方和为179，

所以

解得或

所以此数列为3,7,11或11,7,3.

14．已知数列{an}是等差数列，公差为d，cn＝a－a(n∈N*)．

(1)判断数列{cn}是否为等差数列，并说明理由；

(2)如果a1＋a3＋…＋a25＝130，a2＋a4＋…＋a26＝117，试求数列{an}的公差d及通项公式．

解　(1)数列{cn}是等差数列，理由如下：

设数列{an}的公差为d，则

cn＋1－cn＝(a－a)－(a－a)

＝2a－(an＋1－d)2－(an＋1＋d)2＝－2d2，

所以数列{cn}是以－2d2为公差的等差数列．

(2)因为a1＋a3＋…＋a25＝130，a2＋a4＋…＋a26＝117，

两式相减得13d＝－13，

所以d＝－1，

因为a1＋a3＋…＋a25＝130，所以13a13＝130，

所以a13＝10＝a1＋12d＝a1－12，

所以a1＝22，

所以an＝22＋(n－1)×(－1)＝23－n.

15．首项为a1，公差为d的等差数列满足下列两个条件：

①a3＋a5＋a7＝93；

②满足an>100的n的最小值是15.

试求公差d和首项a1的值．

解　∵a3＋a5＋a7＝93，

∴3a5＝93，

∴a5＝31，

∵an>100，即an＝a5＋(n－5)d>100，

∴n>＋5，

∵满足an>100的n的最小值是15，

∴14≤＋5<15，

∴<d≤，

又d∈N*，

∴d＝7，

∴a1＝a5－4d＝3.