【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一再练一课(范围：§4.1～§4.3)【讲义+习题】

再练一课(范围：§4.1～§4.3)

一、单项选择题

1．在等比数列{an}中，a4＝24，a6＝6，则a5等于(　　)

A．12  B．－12  C．±12  D．15

答案　C

解析　由等比数列{an}，可知a＝a4·a6＝24×6＝144，解得a5＝±12.

2．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝9，a2＋a9＋a14＝18，则a8和a9的等比中项为(　　)

A．－6  B．6  C．±6  D．36

答案　C

解析　根据等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，

可得9＝a3＋a8＋a13＝3a8⇒a8＝3，

所以18＝a2＋a9＋a14＝a9＋2a8⇒a9＝12，

所以a8和a9的等比中项为±6.

3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－，Sn取得最大值时n的值为(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

答案　A

解析　∵a1＝10，d＝－，

∴Sn＝10n＋×＝－n2＋n，

可得对称轴为n＝，开口向下，

∵n∈N*，∴当n＝3时，Sn取得最大值为.

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝6，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，∴S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9构成等差数列，

所以2·＝S3＋，且＝6，化简解得S6＝3S3.

又∵2·＝＋，

∴S12＝10S3，从而＝.

5．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且＝，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　由＝，

＝＝＝

＝＝＝.

6．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用an表示解下n个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1.且an＝则解下6个环所需的最少移动次数为(　　)

A．13  B．16  C．31  D．64

答案　C

解析　∵a1＝1，an＝

∴a2＝2a1－1＝1，a3＝2a2＋2＝4，a4＝2a3－1＝7，

a5＝2a4＋2＝16，a6＝2a5－1＝31，

∴解下6个环所需的最少移动次数为31.

二、多项选择题

7．已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　)

A．若Sn＝n2－1，则{an}是等差数列

B．若Sn＝2n－1，则{an}是等比数列

C．若{an}是等差数列，则S99＝99a50

D．若{an}是等比数列，且a1>0，q>0，则S2n－1·S2n＋1>S

答案　BC

解析　对于A选项，若Sn＝n2－1，当n≥2时，an＝2n－1，a1＝0不满足an＝2n－1，故A错误；

对于B选项，若Sn＝2n－1，则an＝由于a1＝1满足an＝2n－1，所以{an}是等比数列，故B正确．

对于C选项，若{an}是等差数列，则S99＝＝99a50，故C正确．

对于D选项，当n＝1时，S1·S3－S＝a－a2＝－aq<0，故当n＝1时不等式不成立，故S2n－1·S2n＋1>S不成立，故D错误．

8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．关于这个问题，下列说法正确的是(　　)

A．甲得钱是戊得钱的2倍

B．乙得钱比丁得钱多钱

C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍

D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱

答案　AC

解析　依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，且a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，

∴a＝1，d＝－，即a－2d＝1－2×＝，a－d＝1－＝，a＋d＝1＋＝，a＋2d＝1＋2×＝，

∴甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：

甲得钱是戊得钱的2倍，故A正确；

乙得钱比丁得钱多－＝钱，故B错误；

甲、丙得钱的和是乙得钱的＝2倍，故C正确；

丁、戊得钱的和比甲得钱多＋－＝钱，故D错误．

三、填空题

9．在正项等比数列{an}中，若a3a5a7＝27，则log3ai＝______.

答案　9

解析　∵{an}为正项等比数列，∴若m＋n＝p＋q，则有aman＝apaq，

∴a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝a，

又a3a5a7＝27，∴a＝27，即a5＝3，

∴a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝a＝9，

∴log3ai＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a8＋log3a9

＝log3＋log3＋log3

＋log3＋log3a5

＝log39＋log39＋log39＋log39＋log33

＝2＋2＋2＋2＋1

＝9.

10．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d为______．

答案　5

解析　设偶数项和为32k，则奇数项和为27k，由32k＋27k＝59k＝354 可得k＝6，

故公差d＝＝＝5.

11．在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 022的值为________．

答案　6 066

解析　由等差数列的性质可知，为等差数列，设公差为d，

∵a1＝－2 018，∴＝－2 018，

∵－＝2d＝2，

∴d＝1，

∴＝－2 018＋2 021×1＝3，

则S2 022＝6 066.

12．已知数列满足a1＝2，an＋1＝2an＋3，则数列{an}的通项公式为________．

答案　an＝5·2n－1－3

解析　由an＋1＝2an＋3，得an＋1＋3＝2，即＝2，

则数列是以a1＋3＝5为首项，2为公比的等比数列，

∴an＋3＝5·2n－1，∴an＝5·2n－1－3.

四、解答题

13．已知Sn为等差数列的前n项和，a7＝1，S4＝－32.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求Sn的最小值．

解　(1)∵a7＝1，S4＝－32，

∴得a1＝－11，d＝2，

∴数列{an}的通项公式为an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13.

(2)Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36.

∴当n＝6时，Sn取得最小值－36.

14．已知在等差数列{an}中，a3＋a6＝17，a1a8＝－38，且a1<a8.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)如果适当调整数列{an}的前三项a1，a2，a3的顺序，能否成为等比数列，若能，求出等比数列{bn}的通项公式，若不能，请说明理由．

解　(1)由已知，得17＝a3＋a6＝a1＋a8，

又a1a8＝－38，a1<a8，

∴a1＝－2，a8＝19，

∴数列{an}的公差d＝3，∴an＝3n－5.

(2)由(1)得a1＝－2，a2＝1，a3＝4.

依题意，若调整为1，－2,4或4，－2,1，则能成为等比数列．

(ⅰ)当等比数列{bn}的前三项为b1＝1，b2＝－2，b3＝4时，公比q＝－2，bn＝(－2)n－1；

(ⅱ)当等比数列{bn}的前三项为b1＝4，b2＝－2，b3＝1时，公比q＝－，bn＝.

15．已知Sn为数列{an}的前n项和，数列{Sn}是等差数列，且S5＝9，S9＝17.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和Tn.

解　(1)∵数列{Sn}是等差数列，且S5＝9，S9＝17，

设数列{Sn}的公差为d，则d＝＝2，即Sn＝2n－1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2，

当n＝1时，a1＝S1＝1，

∴an＝

(2)当n＝1时，a1·21－S1＝21－2×1＋1＝1；

当n≥2时，an·2n－Sn＝2n＋1－2n＋1，

Tn＝2－1＋23－3＋24－5＋…＋2n＋1－(2n－1)

＝2＋23＋24＋…＋2n＋1－(1＋3＋5＋…＋2n－1)

＝2＋－

＝2n＋2－n2－6，

当n＝1时，T1＝1，也满足上式，

∴Tn＝2n＋2－n2－6.