【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第18练 等差数列的概念与通项公式【讲义+习题】

第18练　等差数列的概念与通项公式

一、选择题

1．等差数列{an}中，a1＋a8＝10，a2＋a9＝18，则数列{an}的公差为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　D

解析　设公差为d，a1＋a8＝10，a2＋a9＝18，

两式相减可得2d＝8，∴d＝4.

2．《张邱建算经》中有这样一个问题：今有某郡守赏赐下属10人，官职依次递降，赏赐随官职递降依次等差递减，前2人共得赏赐190贯，后3人共得赏赐60贯，则第5人得赏赐为(　　)

A．80贯   B．70贯

C．60贯   D．50贯

答案　C

解析　由题意可知赏赐依次构成等差数列，设等差数列为{an}，公差为d，

由题知a1＋a2＝2a1＋d＝190，a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝60，

解得a1＝100，d＝－10，则a5＝100－4×10＝60.

3．在等差数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．

则a4的值为(　　)

A．18  B．15  C．12  D．20

答案　A

解析　由题意可得a1＝3，a2＝8，a3＝13，故此等差数列的公差为5，

故a4＝a3＋d＝18.

4．若等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为(　　)

A．a8  B．a9  C．a10  D．a11

答案　B

解析　∵数列{an}中，a1＝70，d＝－9，

∴通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝70－9(n－1)＝－9n＋79，

∴|an|＝|－9n＋79|，

当n＝9时，其绝对值有最小值．

5．(多选)在无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}，则(　　)

A．b1＝－7

B．b2＝27

C．an＝8－5n

D．{bn}中的第503项是{an}中的第2 021项

答案　AC

解析　∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n，故C正确；

数列{an}中项的序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，…，

∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27，故A正确，B错误；

对于D，设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第k项，则m＝3＋4(k－1)＝4k－1，k∈N*，

∴当k＝503时，m＝4×503－1＝2 011，即数列{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项，故D错误．

二、填空题

6．已知在数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若为等差数列，则a5＝________.

答案　

解析　设等差数列的公差为d，

则＝＋4d，即1＝＋4d，解得d＝，

所以＝＋2d＝＋＝，解得a5＝.

7．若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则＝________.

答案　

解析　设等差数列a，x1，x2，x3，b的公差为m，等差数列a，y1，y2，y3，y4，y5，b的公差为n，

则有b＝a＋4m，且b＝a＋6n，

∴4m＝6n，则＝＝＝.

8．都匀文峰塔位于黔南州都匀市，始建于明代万历年间.1983年，人民政府拨款维修文峰塔，现成为塔底直径8.5米，塔高33米，七层六面的实心石塔，是贵州唯一载入《中国古塔》图册的石塔，号称“贵州第一塔”．假设该塔每上一层底面直径都减少0.9米，则该塔顶层的底面直径为______米．

答案　3.1

解析　由题意可得该塔第一层至第七层的底面直径数依次成等差数列，且首项为8.5米，公差为－0.9米，

故该塔顶层的底面直径为8.5－0.9×6＝3.1(米)．

9．已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a32＝________，a22＝________.

答案　3　

解析　设第三行的四个数的公差为d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝＝2，所以a32＝1＋2＝3，因为第二列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等差中项，所以a22＝＝＝.

三、解答题

10．已知在数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)，设bn＝(n∈N*)．

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求{an}的通项公式．

(1)证明　因为an＝2－，所以an＋1＝2－.

所以bn＋1－bn＝－＝－＝＝1，

所以{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列．

(2)解　由(1)知bn＝n，

故bn＝＝n(n∈N*)，

解得an＝1＋，

所以{an}的通项公式为an＝1＋(n∈N*)．