【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第19练 等差数列的性质【讲义+习题】

第19练　等差数列的性质

一、选择题

1．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝16，a4＝6，则公差d的值是(　　)

A．2  B．1  C．－1  D．－2

答案　A

解析　∵{an}为等差数列，

∴a2，a5，a8成等差数列，

∴a2＋a8＝2a5，又a2＋a8＝16，

∴a5＝8，又a4＝6，

∴d＝a5－a4＝8－6＝2.

2．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于(　　)

A．5  B．8  C．10  D．14

答案　B

解析　在等差数列{an}中，已知a1＝2，a3＋a5＝10，

由于a1＋a7＝a3＋a5＝10，

∴a7＝8.

3．设数列{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是(　　)

A．1  B．2  C．±2  D．4

答案　B

解析　由条件a1＋a2＋a3＝3a2＝12，所以a2＝4，设公差为d，则a1a2a3＝(4－d)×4×(4＋d)＝4(16－d2)＝48，解得d＝±2，

又数列{an}单调递增，所以d＝2，所以a1＝2.

4．已知公差不为0的等差数列{an}中，a3＋a9＝am＋an(m，n∈N*)，则mn的最大值为(　　)

A．6  B．12  C．36  D．48

答案　C

解析　由题设及等差数列的性质知m＋n＝12，又m，n∈N*，所以m＋n≥2，即mn≤＝36，当且仅当m＝n＝6时等号成立．所以mn的最大值为36.

5．(多选)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{an}称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为(　　)

A．若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列

B．若{an}是等方差数列，则{}是等方差数列

C．数列{(－1)n}是等方差数列

D．若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列

答案　ACD

解析　对于A，{an}是等方差数列，可得a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，即有{a}是首项为a，公差为p的等差数列，故A正确；

对于B，例如数列{}是等方差数列，但是数列不是等方差数列，所以B不正确；

对于C，在数列{(－1)n}中，

a－a＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N*)，所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确；

对于D，把数列{an}中的项列举出来是a1，a2，…，ak，…，a2k，…，数列{akn}中的项列举出来是ak，a2k，a3k，…，因为a－a＝a－a＝…＝a－a＝p，所以a－a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp，即a－a＝kp，所以数列{akn}是等方差数列，故D正确．

二、填空题

6．已知{an}是等差数列，若a2＋a8＝10，则a3＋a5＋a7＝________.

答案　15

解析　∵{an}是等差数列，a2＋a8＝10，

∴a2＋a8＝2a5＝10，解得a5＝5，

∴a3＋a5＋a7＝3a5＝15.

7．在公差为2的等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＝4，则a1＋a3＋a5＝________.

答案　－2

解析　等差数列{an}中，a2＋a4＋a6＝4＝3a4，

∴a4＝，

∵a4＝a3＋2，

∴a3＝－2＝－，

则a1＋a3＋a5＝3a3＝3×＝－2.

8．在数列{an}中，a1＝3且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则an＝________.

答案　3n2

解析　∵点(，)在直线x－y－＝0上，即－＝，又＝，

∴{}是以为首项，为公差的等差数列，

∴＝＋(n－1)×＝n，即an＝3n2.

9．在等差数列{an}中，若a1＋a13＝2，则2a6－a5＝________.

答案　1

解析　由{an}是等差数列，得2a7＝a1＋a13＝2，解得a7＝1，

所以2a6－a5＝a6＋a6－a5＝a6＋d＝a7＝1.

三、解答题

10．已知数列{an}为等差数列．

(1)若a1－a5＋a9－a13＋a17＝17，求a3＋a15；

(2)若a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式．

解　数列{an}为等差数列．

(1)a1＋a17＝a5＋a13＝2a9，

因为a1－a5＋a9－a13＋a17＝17，

所以a9＝17，则a3＋a15＝2a9＝34.

(2)a2＋a5＋a8＝9，则3a5＝9，即a5＝3，

所以a3＋a7＝2a5＝6，a3a5a7＝－21，

即a3a7＝－7，

则有或

所以公差d＝＝2或－2，

则数列{an}的通项公式为an＝2n－7或an＝－2n＋13.