【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第21练 等比数列的概念与通项公式【讲义+习题】

第21练　等比数列的概念与通项公式

一、选择题

1．已知数列{an}满足an＋1－2an＝0(n∈N*)，且a1＋a3＋a5＝13，那么a4＋a6＋a8等于(　　)

A．19  B．31  C．52  D．104

答案　D

解析　因为an＋1－2an＝0(n∈N*)，所以有＝2，因此数列{an}是公比q＝2的等比数列，因为a1＋a3＋a5＝13，所以a4＋a6＋a8＝a1q3＋a3q3＋a5q3＝q3(a1＋a3＋a5)＝23×13＝104.

2．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)

A．3  B．4  C．6  D．8

答案　D

解析　以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；

以2为首项的等比数列为2,4,8；

以4为首项的等比数列为4,6,9，共4个．

把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，故所求数列有8个．

3．已知数列{an}为等比数列，则“a1<0，q>1”是“{an}为递减数列”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　若等比数列{an}满足a1<0，q>1，

则an＋1－an＝a1·qn－1·(q－1)<0，故数列{an}为递减数列，

故“a1<0，q>1”是“{an}为递减数列”的充分条件；

若等比数列{an}满足a1>0,0<q<1，则数列{an}也是递减数列，

所以“a1<0，q>1”不是“{an}为递减数列”的必要条件．

综上所述，“a1<0，q>1”是“{an}为递减数列”的充分不必要条件．

4．标准对数视力表采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为(　　)

A．   B．

C．   D．

答案　D

解析　设第n行视标边长为an，第n－1行视标边长为an－1(n≥2)，

由题意可得an－1＝an(n≥2)，则＝(n≥2)，则数列{an}为首项为a，公比为的等比数列，所以a10＝a ＝a，则视力4.9的视标边长为a.

5．(多选)已知在等比数列{an}中，满足a1＝1，q＝2，则(　　)

A．数列是等差等列

B．数列是递减数列

C．数列{log2an}是等差数列

D．数列{log2an}是递减数列

答案　BC

解析　∵在等比数列{an}中，满足a1＝1，q＝2，则an＝2n－1，

∴＝>0，＝＝(常数)<1，log2an＝log22n－1＝n－1，

log2an＋1－log2an＝n－(n－1)＝1(常数)>0，

∴数列是等比数列，且为递减数列；数列是等差数列，且为递增数列．

二、填空题

6．已知等比数列{an}满足a1＝2，a4＝－16，则公比q＝________.

答案　－2

解析　∵等比数列{an}满足a1＝2，a4＝－16，

∴q3＝＝－8，解得q＝－2.

7．已知a，2a＋2,3a＋3三数成等比数列，则a＝________.

答案　－4

解析　a，2a＋2,3a＋3三数成等比数列，

则(2a＋2)2＝a(3a＋3)，

解得a＝－1或a＝－4，

当a＝－1时，即三个数为－1,0,0，不为等比数列，故舍去；

当a＝－4时，即三个数为－4，－6，－9，为等比数列，所以a＝－4.

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a，b，c成等比数列，则角B的取值范围是______________．

答案　

解析　因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，

所以cos B＝＝≥，

当且仅当a＝c时等号成立，

因为0<B<π，所以0<B≤.

9．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．

答案　64

解析　设等比数列{an}的公比为q，

由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得q＝＝，

则a1＋a1＝10，a1＝8，

则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，

所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.

三、解答题

10．已知在公比大于1的等比数列{an}中，a2＝2且6是a1＋3与a3＋4的等差中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an，求数列{bn}的通项公式．

解　(1)设公比为q，由题意可得a1q＝2,12＝(a1＋3)＋(a3＋4)，

即有12＝(a1＋3)＋(a1q2＋4)，解得a1＝1，q＝2，

则an＝a1qn－1＝2n－1，n∈N*.

(2)数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an，①

可得当n＝1时，b1＝a1＝1；

当n≥2时，b1＋2b2＋3b3＋…＋(n－1)bn－1＝an－1，②

①－②可得nbn＝an－an－1＝2n－1－2n－2＝2n－2，

则bn＝，当n＝1时，不满足等式，

所以bn＝