【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第22练 等比数列的性质【讲义+习题】

第22练　等比数列的性质

一、选择题

1．若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为(　　)

A．5   B．－3

C．3   D．3或－3

答案　C

解析　依题意可知a1＝1，a5＝9，所以b2＝a＝a1a5＝9.

又奇数项的符号相同，所以b＝3.

2．设在等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于(　　)

A．5  B．10  C．20  D．40

答案　C

解析　 ∵等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，

∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10

＝log3(a1a2…a10)＝log3(a3a8)5

＝5log3(a3a8)＝5log381＝20.

3．在等比数列{an}中，a5·a7＝6，a2＋a10＝5，则等于(　　)

A.或   B.

C.   D．－或－

答案　A

解析　因为{an}是等比数列，所以a5·a7＝a2·a10＝6.

又因为a2＋a10＝5，所以a2和a10为方程x2－5x＋6＝0的两个根，

解得a2＝2，a10＝3或a2＝3，a10＝2.

若等比数列{an}的公比为q，则＝＝，所以＝或.

4．设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，sin A，sin B，sin C成等比数列，则这个三角形的形状是(　　)

A．直角三角形   B．钝角三角形

C．等边三角形   D．等腰直角三角形

答案　C

解析　 ∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，

∴2B＝A＋C，

又A＋B＋C＝180°，

∴∠B＝60°；

又sin A，sin B，sin C成等比数列，

∴sin2B＝sin Asin C，

由正弦定理得b2＝ac，

由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，

∴a2＋c2－2ac＝0，

∴a＝c.

∴这个三角形为等边三角形．

5．(多选)对任意数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)

A．若数列{an}是等差数列，则数列是等比数列

B．若数列{an}是等差数列，则数列是等差数列

C．若数列{an}是正项等比数列，则数列{lg an}是等比数列

D．若数列{an}是正项等比数列，则数列{lg an}是等差数列

答案　AD

解析　A选项，设等差数列的公差为d，因为＝2d，公比为非零常数，所以A选项正确；

B选项，不妨令an＝n， ＝2n，显然不是等差数列，所以B选项错误；

C选项，不妨令an＝1，由{an}为正项等比数列，但lg an＝0，C选项错误；

D选项，设等比数列的公比为q，因为lg an＝(n－1)lg q＋lg a1，是n的一次式，{lg an}是等差数列，所以D选项正确．

二、填空题

6．在等比数列{an}中，若a5＝10，则lg a1＋lg a9＝________.

答案　2

解析　因为数列{an}为等比数列，且a5＝10，

所以lg a1＋lg a9＝lg(a1·a9)

＝lg(a)＝lg 100＝2.

7．在正项等比数列{an}中，a＋2a6a8＋a＝100，则a5＋a9＝________.

答案　10

解析　根据题意，在正项等比数列{an}中，a6a8＝a5a9，

则a＋2a6a8＋a＝a＋2a5a9＋a＝(a5＋a9)2＝100，则a5＋a9＝10.

8．已知公比不为1的等比数列{an}满足a3a11＋a6a8＝18，若ama12＝9，则m的值为________．

答案　2

解析　由等比数列{an}，得a3a11＝a6a8，又a3a11＋a6a8＝18，所以a3a11＝a6a8＝9.

因为ama12＝9＝a3a11，所以m＝2.

9．在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个正数分别是__________．

答案　6,18

解析　设此数列为2，x，y，30.

于是有解得x＝6，y＝18.

故插入的两个正数分别为6,18.

三、解答题

10．已知数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项

与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列．

解　设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80,80＋d，80＋2d.于是得

解方程组，得或

所以这个数列是20,40,80,96,112或180,120,80,16，－48.