【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第24练 数列求和【讲义+习题】

第24练　数列求和

一、选择题

1．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋，则an等于(　　)

A．4＋   B．4－

C．2＋   D．2－

答案　B

解析　由题意可得an＋1－an＝

＝－，

所以a2－a1＝1－，a3－a2＝－，…，

an－an－1＝－，

上式累加可得an－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝1－＋－＋…＋－＝1－，

又a1＝3，所以an＝4－.

2．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1＝2，a－an＋1＝4(an－1)(n∈N*)，则S20等于(　　)

A．0  B．4  C．74  D．80

答案　C

解析　由已知得an＋1＝(an－2)2，

∵a1＝2，

∴a2＝0，a3＝4，当n≥4时，an＝4，

∴S20＝2＋0＋4×18＝74.

3．已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为(　　)

A．12  B．14  C．16  D．18

答案　B

解析　由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，

两式相加得a1＋an＝30.又因为Sn＝＝＝210，所以n＝14.

4．记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n＋1，则S100的值为(　　)

A．5 050  B．2 600  C．2 550  D．2 450

答案　B

解析　当n为奇数时，an＋2－an＝2，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列；

当n为偶数时，an＋2－an＝0，数列{a2n}是首项为2，公差为0的等差数列，即常数列．

则S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50＋×2＋50×2＝2 600.

5．(多选)如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则(　　)

A．S5＝35

B．an＋1－an＝n

C．Sn－Sn－1＝，n≥2

D.＋＋＋…＋＝

答案　ACD

解析　因为a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，

以上n个式子累加可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，

所以S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋3＋6＋10＋15＝35，故选项A正确；

由递推关系可知an＋1－an＝n＋1，

故选项B不正确；

当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝，

故选项C正确；

因为＝＝2，所以＋＋…＋＝2＋2＋…＋2

＝2＝，故选项D正确．

二、填空题

6．数列{n＋2n}的前n项和为Sn，则Sn＝________.

答案　＋2n＋1－2

解析　依题意Sn＝1＋21＋2＋22＋3＋23＋…＋n＋2n

＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(21＋22＋23＋…＋2n)

＝＋＝＋2n＋1－2.

7．已知数列{an}满足an＋1＝λan＋1，且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的前6项和为________．

答案　120

解析　因为an＋1＝λan＋1，且a1＝1，a2＝3，所以a2＝λa1＋1＝λ＋1＝3，解得λ＝2，

所以an＋1＝2an＋1，即an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，得an＝2n－1，

所以数列{an}的前6项和为(2＋22＋…＋26)－6＝－6＝120.

8．设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝sin ，n∈N*，则S2 022＝________.

答案　1

解析　由y＝sin 的最小正周期为4，即a1＋a2＋a3＋a4＝0.

由2 022＝505×4＋2，所以S2 022＝505×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝sin ＋sin π＝1.

9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＋＋…＋＝________.

答案　

解析　设公差为d，因为a3＝3，S4＝10，所以解得

所以an＝n，所以Sn＝，

所以＝＝2，

所以＋＋…＋

＝2＋2＋…＋2

＝2

＝2＝.

三、解答题

10．已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.{bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知Sn＝2n2＋n.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.

解　(1)设数列{an}的公比为q(q>0)，因为a1＋a2＝6，a1a2＝a3，

所以

解得或(舍去)，所以an＝2n；

因为{bn}的前n项和Sn＝2n2＋n，当n＝1时，b1＝S1＝3，

当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2＋n－1，

所以bn＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋n－1]＝4n－1，

当n＝1时，bn＝4n－1也成立，所以bn＝4n－1.

(2)由(1)可知an·bn＝(4n－1)·2n，

所以Tn＝3×21＋7×22＋11×23＋…＋(4n－1)×2n，①

2Tn＝3×22＋7×23＋11×24＋…＋(4n－5)×2n＋(4n－1)×2n＋1，②

①－②得－Tn＝3×21＋4×(22＋23＋…＋2n)－(4n－1)×2n＋1＝6＋4×－(4n－1)×2n＋1＝－10－(4n－5)×2n＋1，

所以Tn＝(4n－5)·2n＋1＋10.