【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一5.2.1 基本初等函数的导数【讲义+习题】

5.2.1　基本初等函数的导数学习目标　1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．导语同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟．一、基本初等函数的求导公式问题1　回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？提示　幂函数，指数函数，对数函数，三角函数．问题2　如何求f(x)＝kx＋b的导数？提示　因为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq \f(kx＋Δx＋b－kx＋b,Δx)＝k，所以eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝k.故f′(x)＝k.知识梳理1．常见函数的导数：(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；(2)C′＝0(C为常数)；(3)(x)′＝1；(4)(x2)′＝2x；(5)(x3)′＝3x2；(6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2)；(7)(eq \r(x))′＝eq \f(1,2\r(x)).2．基本初等函数的导数：(1)(xα)′＝αxα－1(α为常数)；(2)(ax)′＝axln_a(a>0，且a≠1)；(3)(ex)′＝ex；(4)(loga x)′＝eq \f(1,x)loga e＝eq \f(1,xln a)(a>0，且a≠1)；(5)(ln x)′＝eq \f(1,x)；(6)(sin x)′＝cos_x；(7)(cos x)′＝－sin_x.注意点：对于根式f(x)＝eq \r(n,xm)，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝eq \f(m,n).例1　求下列函数的导数：(1)y＝x0(x≠0)；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x；(3)y＝lg x；(4)y＝eq \f(x2,\r(x))；(5)y＝2cos2eq \f(x,2)－1.解　(1)y′＝0.(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln eq \f(1,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln 3.(3)y′＝eq \f(1,xln 10).(4)∵y＝eq \f(x2,\r(x))＝，∴y′＝＝eq \f(3,2)eq \r(x).(5)∵y＝2cos2eq \f(x,2)－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.反思感悟　(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．(3)要特别注意“eq \f(1,x)与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．跟踪训练1　求下列函数的导数：(1)y＝2 022；(2)y＝eq \f(1,\r(3,x2))；(3)y＝4x；(4)y＝log3x.解　(1)因为y＝2 022，所以y′＝(2 022)′＝0.(2)因为y＝eq \f(1,\r(3,x2))＝，所以y′＝.(3)因为y＝4x，所以y′＝4xln 4.(4)因为y＝log3x，所以y′＝eq \f(1,xln 3).二、利用导数公式求函数的导数例2　求函数f(x)＝eq \f(1,\r(6,x5))在x＝1处的导数．解　∵f(x)＝eq \f(1,\r(6,x5))＝，∴f′(x)＝，∴f′(1)＝－eq \f(5,6).反思感悟　求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．跟踪训练2　(1)已知f(x)＝ln x，则f′(e)的值为________．答案　eq \f(1,e)解析　∵f′(x)＝eq \f(1,x)，∴f′(e)＝eq \f(1,e).(2)已知函数f(x)＝eq \f(1,x)在x＝a处的导数为－2，则实数a的值是________．答案　±eq \f(\r(2),2)解析　f′(x)＝－eq \f(1,x2)，当x＝a时，f′(a)＝－eq \f(1,a2)＝－2，即a＝±eq \f(\r(2),2).三、导数公式的应用例3　已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．解　∵y′＝eq \f(1,x)，∴k＝eq \f(1,e)，∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.延伸探究　1．已知y＝kx＋1是曲线y＝f(x)＝ln x的一条切线，则k＝____________.答案　eq \f(1,e2)解析　设切点坐标为(x0，y0)，由题意得f′(x0)＝eq \f(1,x0)＝k，又y0＝kx0＋1，y0＝ln x0，解得y0＝2，x0＝e2，所以k＝eq \f(1,e2).2．求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程．解　设切点为Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝eq \f(1,x0).又切线的斜率k＝eq \f(y0－0,x0－0)＝eq \f(ln x0,x0)，∴eq \f(ln x0,x0)＝eq \f(1,x0)，即x0＝e，∴Q(e,1)，∴k＝eq \f(1,e)，∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.反思感悟　(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪训练3　(1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为(　　)A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16答案　A解析　因为y′＝3x2，当x＝2时，y′＝12，故切线的斜率为12，切线方程为y＝12x－16.(2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为________．答案　－1解析　设切点为(x0，ln x0)，由y＝ln x得y′＝eq \f(1,x).因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.所以eq \f(1,x0)＝1，即x0＝1，所以切点为(1,0)．所以1－0＋c＝0，所以c＝－1.1．知识清单：(1)常用函数的导数．(2)基本初等函数的导数公式及应用．(3)利用导数研究曲线的切线方程．2．方法归纳：方程思想、待定系数法．3．常见误区：不化简成基本初等函数．1．(多选)下列选项正确的是(　　)A．y＝ln 2，则y′＝eq \f(1,2)B．f(x)＝eq \f(1,x2)，则f′(3)＝－eq \f(2,27)C．y＝2x，则y′＝2xln 2D．y＝log2x，则y′＝eq \f(1,xln 2)答案　BCD解析　对于A，y′＝0，故A错；对于B，∵f′(x)＝－eq \f(2,x3)，∴f′(3)＝－eq \f(2,27)，故B正确；显然C，D正确．2．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)等于(　　)A．8 B．12 C．8ln 3 D．0答案　D解析　f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常数函数，所以f′(x)＝0.所以f′(2)＝0.3．已知f(x)＝eq \r(x)，则f′(8)等于(　　)A．0 B．2eq \r(2) C.eq \f(\r(2),8) D．－1答案　C解析　f(x)＝eq \r(x)，得f′(x)＝，∴f′(8)＝eq \f(1,2)×＝eq \f(\r(2),8).4．曲线y＝eq \f(9,x)在点M(3,3)处的切线方程是________________．答案　x＋y－6＝0解析　∵y′＝－eq \f(9,x2)，∴k＝－1，∴在点(3,3)处且斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.1．下列求导运算正确的是(　　)A．(cos x)′＝－sin x B．(x3)′＝x3ln xC．(ex)′＝xex－1 D．(ln x)′＝eq \f(1,xln 10)答案　A2．函数y＝3x在x＝2处的导数为(　　)A．9 B．6 C．9ln 3 D．6ln 3答案　C解析　y′＝(3x)′＝3xln 3，故所求导数为9ln 3.3．已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于(　　)A．4 B．－4 C．5 D．－5答案　A解析　∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴α＝4.4．若函数f(x)＝cos x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值为(　　)A．0 B．－1 C．1 D．2答案　A解析　f′(x)＝－sin x，所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－sin eq \f(π,4)＋cos eq \f(π,4)＝0.5．(多选)下列各式中正确的是(　　)A．(x7)′＝7x6 B．(x－1)′＝x－2C．(eq \r(5,x2))′＝ D．(cos 2)′＝－sin 2答案　AC解析　∵B项，(x－1)′＝－x－2；D项，(cos 2)′＝0.∴BD错误．6．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　)A．(－1,1) B．(－1，－1)C．(1,1) D．(1，－1)答案　BC解析　y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．7．若曲线y＝eq \r(x)在点P(a，eq \r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．答案　4解析　因为y′＝eq \f(1,2\r(x))，所以切线方程为y－eq \r(a)＝eq \f(1,2\r(a))(x－a)，令x＝0，得y＝eq \f(\r(a),2)，令y＝0，得x＝－a，由题意知eq \f(1,2)·eq \f(\r(a),2)·a＝2，所以a＝4.8．设函数y＝f(x)是一次函数，若f(1)＝－1，且f′(2)＝－4，则f(x)＝________.答案　－4x＋3解析　∵y＝f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(1)＝a＋b＝－1，又f′(2)＝a＝－4.∴a＝－4，b＝3，∴f(x)＝－4x＋3.9．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，其导数y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为eq \f(\r(2),2).10．已知抛物线y＝x2，求过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))且与抛物线相切的直线方程．解　设切线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y＋2＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，因为y′＝2x，所以k＝2x0，又点(x0，y0)在切线上，所以xeq \o\al(2,0)＋2＝2x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(1,2)))，解得x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，所以直线方程为y＋2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))或y＋2＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.11．已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于(　　)A．2 B．0 C．1 D．－1答案　C解析　由题可知，函数y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))，直线x＋y－3＝0的斜率为－1，故－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝－1，得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝1.12．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　)A．－4 B．3 C．－2 D．1答案　D解析　由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，0))，与y轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4))，则l：x＋y＝4，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1.13．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是(　　)A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x答案　D解析　若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(ln x)′＝eq \f(1,x)>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 022(x)＝________.答案　－sin x解析　由已知得，f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 022(x)＝f2(x)＝－sin x.15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq \o\al(2,k))处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．答案　21解析　∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq \o\al(2,k))处的切线方程为y－aeq \o\al(2,k)＝2ak(x－ak)．又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1，0)，∴ak＋1＝eq \f(1,2)ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝eq \f(1,2)的等比数列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.16．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值．解　导函数y′＝(n＋1)xn，在点(1,1)处的切线斜率k＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可求得切线与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋1)，0))，则an＝lg eq \f(n,n＋1)＝lg n－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.