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【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§5.3 习题课 含参数的函数的最大(小)值【讲义+习题】
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习题课 含参数的函数的最大(小)值
学习目标 1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题．
一、求含参数的函数的最值
例1 已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
解 f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.
①当a>0时，f(x)在[0，a)上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．所以f(x)min＝f(a)＝－a3.
②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝0.
③当a<0时，f(x)在上是减函数，
在上是增函数．
所以f(x)min＝f ＝a3.
综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；
当a＝0时，f(x)的最小值为0；
当a<0时，f(x)的最小值为a3.
延伸探究
当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值．
解 f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.
所以f(x)在上是增函数，在上是减函数，在[a，2a]上是增函数．
因为f(－a)＝－a3，f ＝a3，f(a)＝－a3，
f(2a)＝2a3.
所以f(x)max＝f(2a)＝2a3.
f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.
反思感悟 含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练1 已知a∈R，函数f(x)＝x2，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解 f(x)＝x3－ax2，则f′(x)＝x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a.
令g(a)＝f(x)max，
①当2a≤0，即a≤0时，
f(x)在[0,2]上是增函数，
从而g(a)＝f(x)max＝f(2)＝－4a.
②当2a≥2，即a≥1时，f(x)在[0,2]上是减函数，
从而g(a)＝f(x)max＝f(0)＝0.
③当0<2a<2，即0
从而g(a)＝
综上所述，g(a)＝
二、由最值求参数的值或范围
例2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0，且当x变化时，
f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，
∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3
解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，
∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
反思感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．
跟踪训练2 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围．
解 ∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
↗
28
↘
－4
↗
∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；
当x＝1时，h(x)取极小值－4.
而h(2)＝3
∴k的取值范围为(－∞，－3]．
三、与最值有关的探究性问题
例3 已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x，
f′(x)＝1－＝，
∴所求切线的斜率为f′(2)＝，
切点为(2,2－ln 2)，
∴所求切线的方程为y－(2－ln 2)＝(x－2)，
即x－2y＋2－2ln 2＝0.
(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x在区间(0，e]上的最小值是3，
f′(x)＝a－＝.
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上是减函数，故f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，解得a＝(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a；
②当0<时，f(x)在上是减函数，在上是增函数，故f(x)min＝f ＝1＋ln a＝3，解得a＝e2，满足条件；
③当≥e，即0
反思感悟 与最值有关的探索性问题的解题思路
对于形式为“是否存在……，使得……”的探索性问题，一般只需将问题成立时的条件作为解题切入点，研究函数单调性、最值等，去求参数范围或值，若求出，则存在，否则不存在．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝2x3－ax2＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由．
解 (1)f′(x)＝6x2－2ax＝6x.
令f′(x)＝6x＝0，解得x＝0或x＝.
当a＝0时，f′(x)＝6x2≥0恒成立，函数f(x)在R上是增函数；
当a>0时，令f′(x)>0，得x>或x<0，
令f′(x)<0，得0
当a<0时，令f′(x)>0，得x>0或x<，
令f′(x)<0，得
综上所述，当a＝0时，函数f(x)在R上是增函数；
当a>0时，函数f(x)在和上是增函数，在上是减函数；
当a<0时，函数f(x)在和上是增函数，在上是减函数．
(2)存在，理由如下：
由(1)可得，当a≤0时，函数f(x)在[0,1]上是增函数．
则最小值为f＝1，不符合题意；
当a>0时，函数f(x)在上是减函数，在上是增函数；
当≥1，即a≥3时，函数f(x)在上是减函数，
f(x)的最大值为f＝1，最小值为f＝2－a＋1＝－1，
解得a＝4，满足题意；
当0<<1，即0
化为－＝－2，解得a＝3>3，不符合题意．
综上可得，a的值为4.
1.知识清单：
(1)求含参的函数的最值．
(2)由最值求参数的值或取值范围．
(3)与最值有关的探究性问题．
2.方法归纳：转化法、分类讨论．
3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏．
1．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为( )
A．1 B．4 C．－1 D．0
答案 B
解析 由题意得，f′(x)＝3ax2，则f′(1)＝3a＝6，解得a＝2，
所以f′(x)＝6x2≥0，
故f(x)在[1,2]上是增函数，则f(2)＝2×23＋c＝20，解得c＝4.
2．函数f(x)＝的最大值为( )
A．a B.e C．e1－a D．ea－1
答案 D
解析 f(x)＝，则f′(x)＝，
所以当x<1－a时，f′(x)>0，当x>1－a时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－∞，1－a)上是增函数，
在(1－a，＋∞)上是减函数，
所以f(x)max＝f＝ea－1.
3．已知函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为( )
A.－1 B. C. D.＋1
答案 A
解析 由f(x)＝，
得f′(x)＝，
当a>1时，若x>，则f′(x)<0，f(x)单调递减，
若10，f(x)单调递增，
故当x＝时，函数f(x)有最大值＝，
解得a＝<1，不符合题意．
当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数，最大值为f(1)＝，不符合题意．
当0
故a的值为－1.
4．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，则a的值为________， f(x)在
[－2,2]上的最大值为________．
答案 3 3
解析 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
－40＋a
↗
极大值a
↘
－8＋a
所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.
所以当x＝0时，f(x)取得最大值3.
1．若函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，则a等于( )
A．2 B．1 C. D．0
答案 A
解析 ∵f(x)在x＝处有最值，
∴x＝是函数f(x)的极值点．
又f′(x)＝acos x＋cos 3x，
∴f′＝acos ＋cos π＝0，解得a＝2.
2．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m等于( )
A．0 B．1 C．2 D.
答案 C
解析 y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，易知当－10，
所以函数y＝x3＋x2＋m在(－2，－1)，(0,1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，又当x＝－1时，y＝m＋，当x＝1时，y＝m＋，所以最大值为m＋＝，解得m＝2.
3．函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为( )
A．[1，] B．[1，＋∞)
C．(1，] D．(1，＋∞)
答案 A
解析 ∵f(x)＝3x－x3，
∴f′(x)＝3－3x2
＝3(1＋x)(1－x)，
令f′(x)＝0，
则x＝1或x＝－1(舍去)，
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f()＝0，f(1)＝2，
∴1≤m≤.
4．已知函数f(x)＝ln x－ax存在最大值0，则a的值为( )
A．1 B．2 C．e D.
答案 D
解析 ∵f′(x)＝－a，x>0，
∴当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，
∴当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
∴f(x)max＝f ＝ln －1＝0，解得a＝.
5．已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
答案 A
解析 f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故f(x)min＝f(0)＝1＋a.
若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1，
故选A.
6．(多选)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的值可以为( )
A．0 B. C. D．1
答案 BC
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a，
且f′(x)＝0有解，∴a＝x2.
又∵x∈(0,1)，∴0
答案 －71
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．
答案 －4
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.
即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.
f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在[－1,0)上是减函数，在[0,1]上是增函数，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
9．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
解 f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.
若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
因为x∈[0,1]，
所以只考虑x＝的情况．
①若0<<1，即0
0
(0，)
(，1)
1
f′(x)
＋
0
－
f(x)
0
↗
2a
↘
3a－1
②若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上是增函数，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0，
当0
10．已知函数f(x)＝2ex(x＋1)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t>－3)上的最小值．
解 (1)f′(x)＝2ex(x＋2)，
由f′(x)>0，得x>－2；由f′(x)<0，得x<－2.
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数．
∴f(x)的极小值为f(－2)＝－2e－2，无极大值．
(2)由(1)，知f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，
在(－∞，－2)上是减函数．
∵t>－3，∴t＋1>－2.
①当－3
②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴f(x)min＝f(t)＝2et(t＋1)．
∴f(x)min＝
11．若存在x∈，使得不等式2xln x＋x2－mx＋3≥0成立，则实数m的最大值为( )
A.＋3e－2 B.＋e＋2
C．4 D．e2－1
答案 A
解析 ∵2xln x＋x2－mx＋3≥0，
∴m≤2ln x＋x＋，
设h(x)＝2ln x＋x＋，
则h′(x)＝＋1－＝，
当≤x<1时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当10，h(x)单调递增．
∵存在x∈，m≤2ln x＋x＋成立，
∴m≤h(x)max，
∵h＝－2＋＋3e，h＝2＋e＋，
∴h>h.
∴m≤＋3e－2，m的最大值为＋3e－2.
12．已知函数f(x)＝sin－－mx在上是减函数，则实数m的最小值是( )
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 由f(x)＝sin－－mx在上是减函数，
得f′(x)＝2cos－x－m≤0，
即2cos－x≤m，
令g(x)＝2cos－x，
则g′(x)＝－4sin－1，
当x∈时，≤2x＋≤ ，
则2≤4sin≤4，
所以－5≤－4sin－1≤－3，即g′(x)<0，
所以g(x)在x∈上是减函数，
g(x)max＝g(0)＝，
所以m≥，m的最小值为.
13．已知函数f(x)＝若∃x∈R使得f＝f成立，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意可得，存在实数x≠0，
使得f＝f成立，
假设x>0，则－x<0，
所以有－kx＝ln x，
则k＝－，
令h(x)＝－，
则h′(x)＝，
令h′(x)>0，即ln x>1，解得x>e，
令h′(x)<0，即ln x<1，解得0
所以h(x)≥h(x)min＝h＝－＝－，
所以k≥－.
14．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为________．
答案 1
解析 由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，
当00；
当
解得a＝1.
15．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(a>1)，若对于任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
答案 4
解析 由题意得，f′(x)＝3ax2－3，当a>1时，令f′(x)＝3ax2－3＝0，解得x＝±，±∈
[－1,1]．
①当－1≤x<－时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
②当－0，f(x)单调递增．
所以只需f ≥0，且f(－1)≥0即可，
由f ≥0，得a·3－3·＋1≥0，解得a≥4，
由f(－1)≥0，可得a≤4，综上可得a＝4.
16．已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
解 函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，
∴f′(x)>0，
故函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴f(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间．
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当10，f(x)单调递增，
∴函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝；
③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上是减函数，其最小值为f(e)＝1＋≥2，与最小值是相矛盾．
综上所述，a的值为.
学习目标 1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题．
一、求含参数的函数的最值
例1 已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
解 f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.
①当a>0时，f(x)在[0，a)上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．所以f(x)min＝f(a)＝－a3.
②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝0.
③当a<0时，f(x)在上是减函数，
在上是增函数．
所以f(x)min＝f ＝a3.
综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；
当a＝0时，f(x)的最小值为0；
当a<0时，f(x)的最小值为a3.
延伸探究
当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值．
解 f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.
所以f(x)在上是增函数，在上是减函数，在[a，2a]上是增函数．
因为f(－a)＝－a3，f ＝a3，f(a)＝－a3，
f(2a)＝2a3.
所以f(x)max＝f(2a)＝2a3.
f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.
反思感悟 含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练1 已知a∈R，函数f(x)＝x2，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解 f(x)＝x3－ax2，则f′(x)＝x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a.
令g(a)＝f(x)max，
①当2a≤0，即a≤0时，
f(x)在[0,2]上是增函数，
从而g(a)＝f(x)max＝f(2)＝－4a.
②当2a≥2，即a≥1时，f(x)在[0,2]上是减函数，
从而g(a)＝f(x)max＝f(0)＝0.
③当0<2a<2，即0
从而g(a)＝
综上所述，g(a)＝
二、由最值求参数的值或范围
例2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0，且当x变化时，
f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，
∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3
解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，
∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
反思感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．
跟踪训练2 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围．
解 ∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
↗
28
↘
－4
↗
∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；
当x＝1时，h(x)取极小值－4.
而h(2)＝3
∴k的取值范围为(－∞，－3]．
三、与最值有关的探究性问题
例3 已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x，
f′(x)＝1－＝，
∴所求切线的斜率为f′(2)＝，
切点为(2,2－ln 2)，
∴所求切线的方程为y－(2－ln 2)＝(x－2)，
即x－2y＋2－2ln 2＝0.
(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x在区间(0，e]上的最小值是3，
f′(x)＝a－＝.
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上是减函数，故f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，解得a＝(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a；
②当0<
③当≥e，即0
反思感悟 与最值有关的探索性问题的解题思路
对于形式为“是否存在……，使得……”的探索性问题，一般只需将问题成立时的条件作为解题切入点，研究函数单调性、最值等，去求参数范围或值，若求出，则存在，否则不存在．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝2x3－ax2＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由．
解 (1)f′(x)＝6x2－2ax＝6x.
令f′(x)＝6x＝0，解得x＝0或x＝.
当a＝0时，f′(x)＝6x2≥0恒成立，函数f(x)在R上是增函数；
当a>0时，令f′(x)>0，得x>或x<0，
令f′(x)<0，得0
当a<0时，令f′(x)>0，得x>0或x<，
令f′(x)<0，得
综上所述，当a＝0时，函数f(x)在R上是增函数；
当a>0时，函数f(x)在和上是增函数，在上是减函数；
当a<0时，函数f(x)在和上是增函数，在上是减函数．
(2)存在，理由如下：
由(1)可得，当a≤0时，函数f(x)在[0,1]上是增函数．
则最小值为f＝1，不符合题意；
当a>0时，函数f(x)在上是减函数，在上是增函数；
当≥1，即a≥3时，函数f(x)在上是减函数，
f(x)的最大值为f＝1，最小值为f＝2－a＋1＝－1，
解得a＝4，满足题意；
当0<<1，即0
化为－＝－2，解得a＝3>3，不符合题意．
综上可得，a的值为4.
1.知识清单：
(1)求含参的函数的最值．
(2)由最值求参数的值或取值范围．
(3)与最值有关的探究性问题．
2.方法归纳：转化法、分类讨论．
3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏．
1．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为( )
A．1 B．4 C．－1 D．0
答案 B
解析 由题意得，f′(x)＝3ax2，则f′(1)＝3a＝6，解得a＝2，
所以f′(x)＝6x2≥0，
故f(x)在[1,2]上是增函数，则f(2)＝2×23＋c＝20，解得c＝4.
2．函数f(x)＝的最大值为( )
A．a B.e C．e1－a D．ea－1
答案 D
解析 f(x)＝，则f′(x)＝，
所以当x<1－a时，f′(x)>0，当x>1－a时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－∞，1－a)上是增函数，
在(1－a，＋∞)上是减函数，
所以f(x)max＝f＝ea－1.
3．已知函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为( )
A.－1 B. C. D.＋1
答案 A
解析 由f(x)＝，
得f′(x)＝，
当a>1时，若x>，则f′(x)<0，f(x)单调递减，
若1
故当x＝时，函数f(x)有最大值＝，
解得a＝<1，不符合题意．
当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数，最大值为f(1)＝，不符合题意．
当0
故a的值为－1.
4．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，则a的值为________， f(x)在
[－2,2]上的最大值为________．
答案 3 3
解析 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
－40＋a
↗
极大值a
↘
－8＋a
所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.
所以当x＝0时，f(x)取得最大值3.
1．若函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，则a等于( )
A．2 B．1 C. D．0
答案 A
解析 ∵f(x)在x＝处有最值，
∴x＝是函数f(x)的极值点．
又f′(x)＝acos x＋cos 3x，
∴f′＝acos ＋cos π＝0，解得a＝2.
2．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m等于( )
A．0 B．1 C．2 D.
答案 C
解析 y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，易知当－1
所以函数y＝x3＋x2＋m在(－2，－1)，(0,1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，又当x＝－1时，y＝m＋，当x＝1时，y＝m＋，所以最大值为m＋＝，解得m＝2.
3．函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为( )
A．[1，] B．[1，＋∞)
C．(1，] D．(1，＋∞)
答案 A
解析 ∵f(x)＝3x－x3，
∴f′(x)＝3－3x2
＝3(1＋x)(1－x)，
令f′(x)＝0，
则x＝1或x＝－1(舍去)，
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f()＝0，f(1)＝2，
∴1≤m≤.
4．已知函数f(x)＝ln x－ax存在最大值0，则a的值为( )
A．1 B．2 C．e D.
答案 D
解析 ∵f′(x)＝－a，x>0，
∴当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，
∴当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
∴f(x)max＝f ＝ln －1＝0，解得a＝.
5．已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
答案 A
解析 f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故f(x)min＝f(0)＝1＋a.
若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1，
故选A.
6．(多选)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的值可以为( )
A．0 B. C. D．1
答案 BC
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a，
且f′(x)＝0有解，∴a＝x2.
又∵x∈(0,1)，∴0
答案 －71
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．
答案 －4
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.
即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.
f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在[－1,0)上是减函数，在[0,1]上是增函数，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
9．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
解 f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.
若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
因为x∈[0,1]，
所以只考虑x＝的情况．
①若0<<1，即0
0
(0，)
(，1)
1
f′(x)
＋
0
－
f(x)
0
↗
2a
↘
3a－1
②若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上是增函数，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0，
当0
10．已知函数f(x)＝2ex(x＋1)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t>－3)上的最小值．
解 (1)f′(x)＝2ex(x＋2)，
由f′(x)>0，得x>－2；由f′(x)<0，得x<－2.
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数．
∴f(x)的极小值为f(－2)＝－2e－2，无极大值．
(2)由(1)，知f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，
在(－∞，－2)上是减函数．
∵t>－3，∴t＋1>－2.
①当－3
②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴f(x)min＝f(t)＝2et(t＋1)．
∴f(x)min＝
11．若存在x∈，使得不等式2xln x＋x2－mx＋3≥0成立，则实数m的最大值为( )
A.＋3e－2 B.＋e＋2
C．4 D．e2－1
答案 A
解析 ∵2xln x＋x2－mx＋3≥0，
∴m≤2ln x＋x＋，
设h(x)＝2ln x＋x＋，
则h′(x)＝＋1－＝，
当≤x<1时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当1
∵存在x∈，m≤2ln x＋x＋成立，
∴m≤h(x)max，
∵h＝－2＋＋3e，h＝2＋e＋，
∴h>h.
∴m≤＋3e－2，m的最大值为＋3e－2.
12．已知函数f(x)＝sin－－mx在上是减函数，则实数m的最小值是( )
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 由f(x)＝sin－－mx在上是减函数，
得f′(x)＝2cos－x－m≤0，
即2cos－x≤m，
令g(x)＝2cos－x，
则g′(x)＝－4sin－1，
当x∈时，≤2x＋≤ ，
则2≤4sin≤4，
所以－5≤－4sin－1≤－3，即g′(x)<0，
所以g(x)在x∈上是减函数，
g(x)max＝g(0)＝，
所以m≥，m的最小值为.
13．已知函数f(x)＝若∃x∈R使得f＝f成立，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意可得，存在实数x≠0，
使得f＝f成立，
假设x>0，则－x<0，
所以有－kx＝ln x，
则k＝－，
令h(x)＝－，
则h′(x)＝，
令h′(x)>0，即ln x>1，解得x>e，
令h′(x)<0，即ln x<1，解得0
所以h(x)≥h(x)min＝h＝－＝－，
所以k≥－.
14．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为________．
答案 1
解析 由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，
当0
当
解得a＝1.
15．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(a>1)，若对于任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
答案 4
解析 由题意得，f′(x)＝3ax2－3，当a>1时，令f′(x)＝3ax2－3＝0，解得x＝±，±∈
[－1,1]．
①当－1≤x<－时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
②当－
所以只需f ≥0，且f(－1)≥0即可，
由f ≥0，得a·3－3·＋1≥0，解得a≥4，
由f(－1)≥0，可得a≤4，综上可得a＝4.
16．已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
解 函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，
∴f′(x)>0，
故函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴f(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间．
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当1
∴函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝；
③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上是减函数，其最小值为f(e)＝1＋≥2，与最小值是相矛盾．
综上所述，a的值为.
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