苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用习题ppt课件

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用习题ppt课件，共48页。PPT课件主要包含了函数的恒成立问题，反思感悟，函数的存在性问题，课时对点练，选择题，1＋∞等内容，欢迎下载使用。

1.了解利用导数研究函数的存在性问题和恒成立问题的方法.
2.初步运用导数解决有关的存在性问题和恒成立问题.
设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0).(1)求f(x)的最小值h(t)；
∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.
令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(舍去).当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如表所示：
∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，等价于g(t)<0对t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞).
(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.λ≥f(x)恒成立⇔λ≥f(x)max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.
设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c.(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围；
∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，∴当x∈[0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2,3]时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c＞f(1)，∴当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)＜c2恒成立，∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9，∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围.
由(1)知f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞).
令f′(x)>0，即1－ln x>0，解得0e，所以f(x)的增区间为(0，e)，减区间为(e，＋∞).
(2)设g(x)＝f(x)－x，求证：g(x)≤－1；
所以t(x)＝1－ln x－x2在(0，＋∞)上是减函数，因为t(1)＝1－ln 1－12＝0，所以当x∈(0,1)时，t(x)>0，g′(x)>0；
所以g(x)≤g(1)＝－1.
当x∈(1，＋∞)时，t(x)<0，g′(x)<0，所以g(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数.
(3)设h(x)＝f(x)－x2＋2ax－4a2＋1，若存在x使得h(x)≥0，求a的最大值.
所以h(x)≤x－x2＋2ax－4a2
所以对任意x>0，h(x)<0，即不存在x使得h(x)≥0.
存在性问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化，若存在x，使得λ≥f(x)成立⇔λ≥f(x)min；若存在x，使得λ≤f(x)成立⇔λ≤f(x)max.
已知函数f(x)＝xln x＋ax＋b(a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线为3x－y－2＝0.(1)求函数f(x)的解析式；
由题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f′(x)＝ln x＋a＋1，
故f(x)＝xln x＋2x－1.
∴h′(x)≥h′(1)＝2>0，
解得－11.知识清单： (1)函数中的存在性问题. (2)函数中的恒成立问题.2.方法归纳：转化法、分离参数法、分类讨论.3.常见误区：分离参数后检验等号是否能成立.
1.若函数f(x)＝－x2＋4x＋bln x在(0，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是A.(－∞，－2] B.(－∞，－2)C.(－2，＋∞) D.[－2，＋∞)
∵f(x)＝－x2＋4x＋bln x在(0，＋∞)上是减函数，∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，
∵2x2－4x＝2(x－1)2－2≥－2，∴b≤－2.
由题意知，不等式x3－2x－a<0在[1,2]上恒成立，即a>x3－2x，令g(x)＝x3－2x，则g′(x)＝3x2－2>0在[1,2]上恒成立，因此g(x)max＝g(2)＝4，故a>4.
3.已知函数f(x)＝x2－2ln x，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是A.(－∞，e2－2) B.(－∞，e2－2]C.(－∞，1] D.(－∞，1)
由题意可知，存在x∈[1，e]，使得m≤f(x)，则m≤f(x)max.∵f(x)＝x2－2ln x，
当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，∴函数f(x)在区间[1，e]上是增函数，则f(x)max＝f(e)＝e2－2，∴m≤e2－2，因此实数m的取值范围是(－∞，e2－2].
4.(多选)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x＋1，则关于f(x)，g(x)的语句为真命题的是A.∀x∈R，f(x)>g(x)B.∃x1，x2∈R，f(x1)设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝ex－1，于是当x<0时，F′(x)<0，F(x)单调递减；当x>0时，F′(x)>0，F(x)单调递增，从而F(x)有最小值F(0)＝0，于是可以判断选项A为假命题，其余选项为真命题.
二、填空题5.若不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为____.
不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即f(x)＝ex－kx≥0恒成立，即f(x)min≥0.f′(x)＝ex－k，当k≤0时，可得f′(x)>0恒成立，f(x)单调递增，无最小值.当k>0时，x>ln k时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x6.已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为____________.
由f(x)>1，得ax－ln x>1，∵x>1，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，则g(x)在(1，＋∞)上是减函数，则g(x)∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
故∃x∈(0,1)，使得f(x)＝0，∴函数f(x)在区间[0，＋∞)上有1个零点.
(2)若f(x)>2对任意的实数x恒成立，求a的取值范围.
若f(x)>2对任意的实数x恒成立，即a>ex(2－x)恒成立，令g(x)＝ex(2－x)，则g′(x)＝ex(1－x)，令g′(x)>0，得x<1；令g′(x)<0，得x>1，∴g(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，∴g(x)max＝g(1)＝e，∴a的取值范围为(e，＋∞).
令f′(x)＝0，得x＝0；令f′(x)>0，得x>0；令f′(x)<0，得x<0，∴函数f(x)＝ex－x的增区间为(0，＋∞)，减区间为(－∞，0).
(2)当x∈[2,3]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.
9.已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中a为常数.(1)若函数f(x)在区间[－1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
由f(x)＝(x＋a)ex，得f′(x)＝(x＋a＋1)ex，∵函数f(x)在区间[－1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝(x＋a＋1)ex≥0在区间[－1，＋∞)上恒成立，即a≥－x－1在区间[－1，＋∞)上恒成立，∵当x∈[－1，＋∞)时，－x－1∈(－∞，0]，∴a≥0.即实数a的取值范围是[0，＋∞).
(2)若f(x)≥e3－xex在x∈[0,1]时恒成立，求实数a的取值范围.