高考数学(理数)三轮冲刺强化练习第1讲《函数与方程的思想》（解析版）

这是一份高考数学(理数)三轮冲刺强化练习第1讲《函数与方程的思想》（解析版），共8页。
方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式中的系数等问题.
热点题型探究
热点1 函数与方程思想在不等式中的应用
例1 (1)(新疆昌吉市教育共同体高三月考)若关于x的不等式1＋acsx≥eq \f(2,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))在R上恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－eq \f(1,3)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(2,3)D．1
答案 B
解析 1＋acsx≥eq \f(2,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝eq \f(2,3)(2cs2x－1)，令csx＝t∈[－1,1]，并代入不等式，则问题转化为不等式4t2－3at－5≤0在t∈[－1,1]上恒成立，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＋3a－5≤0，,4－3a－5≤0))⇒－eq \f(1,3)≤a≤eq \f(1,3).故选B.
(2)已知f(x)＝lg2x，x∈[2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为( )
A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 因为x∈[2,16]，所以f(x)＝lg2x∈[1,4]，即m∈[1,4]．不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立．构造函数g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g1＞0，,g4＞0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＋x－22＞0，,4x－2＋x－22＞0，))
解得x＜－2或x＞2.
(3)(山东省烟台市高三一模)若函数f(x)＝ex－e－x＋sin2x，则满足f(2x2－1)＋f(x)>0的x的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))) B．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞)
答案 B
解析 函数f(x)＝ex－e－x＋sin2x的定义域为R，且满足f(－x)＝e－x－ex＋sin(－2x)＝－(ex－e－x＋sin2x)＝－f(x)，
∴f(x)为R上的奇函数；又f′(x)＝ex＋e－x＋2cs2x≥2＋2cs2x≥0恒成立，∴f(x)为R上的单调增函数；又f(2x2－1)＋f(x)>0，得f(2x2－1)>－f(x)＝f(－x)，∴2x2－1>－x，即2x2＋x－1>0，解得xeq \f(1,2)，所以x的取值范围是(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).故选B.
函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质破解问题．
1．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y≥0B．x＋y≤0
C．x－y≤0D．x－y≥0
答案 B
解析 把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数f(t)＝2t－5－t，其为R上的增函数，所以有x≤－y，故选B.
2．已知a，b，c依次为方程2x＋x＝0，lg2x＝2和lg eq \s\d8(\f(1,2)) x＝x的实根，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞cB．b＞a＞c
C．c＞b＞aD．b＞c＞a
答案 D
解析 由lg2b＝2，得b＝4，由2x＋x＝0，lg eq \s\d8(\f(1,2)) x＝x，得2x＝－x，lg2x＝－x，在同一坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝－x，y＝lg2x的图象(图略)，观察交点的横坐标，可得b＞c＞a.
3．(宁夏银川一中高三二模)已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞)B．[－1,4)
C．[－1，＋∞)D．[－1,6]
答案 C
解析 不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，等价于a≥eq \f(y,x)－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))2，对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，令t＝eq \f(y,x)，则1≤t≤3，∴a≥t－2t2在[1,3]上恒成立，令s＝－2t2＋t＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))2＋eq \f(1,8)，∴t＝1时，smax＝－1，∴a≥－1，a的取值范围是[－1，＋∞)，故选C.
热点2 函数与方程思想在数列中的应用
例2 (1)(衡水市第十三中学高三质检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)＝4f(x＋2)，当x∈[0，2)时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋x＋1，x∈[0，1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15(|x－\f(3,2)|)，x∈[1，2，))设f(x)在[2n－2,2n)上的最大值为an(n∈N*)，且{an}的前n项和为Sn，若Sn