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华师大版八年级上册12.5 因式分解综合训练题
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这是一份华师大版八年级上册12.5 因式分解综合训练题，共14页。试卷主要包含了下列各式变形中，是因式分解的是等内容，欢迎下载使用。
1．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1B．a2+a
C．a2+a﹣2D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
3．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a）B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C．D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
5．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10
C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
D．6ab＝2a•3b
6．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
C．6x2y3＝2x2•3y3D．x2+1＝x（x+）
7．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）
8．如果x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，那么m的值为（ ）
A．8B．﹣8C．2D．﹣2
9．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．a （x+y）＝a x+a y
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x
10．下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
11．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6B．6xy＝2x2•3y3
C．x2+2x+1＝x（x2+2）+1D．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）
12．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx
B．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
13．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ayB．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．
二．填空题（共9小题）
14．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为 ．
15．若多项式x2﹣3x+k（k为常数）的一个因式是x﹣2，则k的值为 ．
16．已知关于x的多项式2x2﹣5x+k的一个因式是x+3，则k的值是 ．
17．已知x4﹣5x3+nx﹣16有因式（x﹣1），则n＝ ．
18．如果a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，则m的值是 ．
19．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有 .（填序号）
①a（x+y）＝ax+ay；
②10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）；
③y2﹣4y+4＝（y﹣2）2；
④t2﹣16+3t＝（t﹣4）（t+4）+3t．
20．若y2﹣3y+m有一个因式为y﹣4，则m＝ ．
21．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣2，则代数式的值为 ．
22．对于多项式x3+8x2+4x﹣48，有一种分解方法，如果我们把x＝2代入多项式，发现多项式x3+8x2+4x﹣48＝0，这时可以断定多项式中有因式x﹣2（注：把x＝a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3+8x2+4x﹣48＝（x﹣2）（x2+mx+n）．可求得m＝10，n＝24，这种因式分解的方法叫做试根法，请用试根法将多项式x3﹣6x2+3x+10因式分解的结果为 ．
三．解答题（共4小题）
23．（1）试说明代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）的值与s、t的值取值有无关系；
（2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求ab的值；
（3）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
24．先阅读下面的解法，然后解答问题．
例：已知多项式3x3﹣x2+m分解因式的结果中有一个因式是（3x+1），求实数m．
解：设3x3﹣x2+m＝（3x+1）•K（K为整式）
令（3x+1）＝0，则x＝﹣，得3（﹣）3﹣（﹣）2+m＝0，∴m＝．
这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题．
（1）若多项式x2+mx﹣8分解因式的结果中有一个因式为（x﹣2），则实数m＝ ；
（2）若多项式x3+3x2+5x+n分解因式的结果中有一个因式为（x+1），求实数n的值；
（3）若多项式x4+mx3+nx﹣14分解因式的结果中有因式（x+1）和（x﹣2），求m，n的值．
25．阅读并解答：对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入多项式，发现x＝2能使多项式的值为0，由此可断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m，n后代入，就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m，n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
26．已知a，b，c为三个非零实数，x2﹣1为多项式x3+ax2+bx+c的因式，求的值．
因式分解的意义精选题26道
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1B．a2+a
C．a2+a﹣2D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
【解答】解：∵a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），
a2+a＝a（a+1），
a2+a﹣2＝（a+2）（a﹣1），
（a+2）2﹣2（a+2）+1＝（a+2﹣1）2＝（a+1）2，
∴结果中不含有因式a+1的是选项C；
故选：C．
2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
故选：C．
3．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
【解答】解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B 2x2+2x＝2x2（1+）中不是整式，故B错误；
C （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C错误；
Dx4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．
故选：D．
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a）B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C．D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
【解答】解：A、9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），从左到右的变形是因式分解，符合题意；
B、x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x，不符合题意因式分解的定义，不合题意；
C、x+2无法分解因式，不合题意；
D、y（y﹣2）＝y2﹣2y，是整式的乘法，不合题意．
故选：A．
5．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10
C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
D．6ab＝2a•3b
【解答】解：A、右边不是积的形式，故A选项错误；
B、是多项式乘法，不是因式分解，故B选项错误；
C、是运用完全平方公式，符合因式分解的定义，故C选项正确；
D、不是把多项式化成整式积的形式，故D选项错误．
故选：C．
6．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
C．6x2y3＝2x2•3y3D．x2+1＝x（x+）
【解答】解：A、是因式分解，故本选项符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
7．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
8．如果x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，那么m的值为（ ）
A．8B．﹣8C．2D．﹣2
【解答】解：设另一个因式是x+a，
则（x﹣2）（x+a）
＝x2+ax﹣2x﹣2a
＝x2+（a﹣2）x﹣2a，
∵x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，
∴a﹣2＝﹣6，
解得：a＝﹣4，
∴m＝﹣2a＝8，
故选：A．
9．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．a （x+y）＝a x+a y
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x
【解答】解：A、a （x+y）＝ax+ay，是整式的乘法运算，故此选项不合题意；
B、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故此选项不合题意；
C、10x2﹣5x＝5x（2x﹣1），正确，符合题意；
D、x2﹣16+3x，无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
10．下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、两边不相等，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是因式分解，故本选项符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
11．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6B．6xy＝2x2•3y3
C．x2+2x+1＝x（x2+2）+1D．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）
【解答】解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意；
B、不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；
故选：D．
12．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx
B．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
【解答】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、结果不是积的形式，故选项错误；
C、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），正确；
D、结果不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
13．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ayB．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．
【解答】解：A、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式乘法运算，故此选项错误；
B、x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3，不符合分解因式的定义，故此选项错误；
C、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），是分解因式，符合题意；
D、a2+1＝a（a+），不符合分解因式的定义，故此选项错误；
故选：C．
二．填空题（共9小题）
14．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为 ﹣3 ．
【解答】解：（x+1）（x﹣2）
＝x2﹣2x+x﹣2
＝x2﹣x﹣2
所以a＝﹣1，b＝﹣2，
则a+b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．若多项式x2﹣3x+k（k为常数）的一个因式是x﹣2，则k的值为 2 ．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+k＝0中得4﹣6+k＝0，
解得：k＝2．
解法二：设另一个因式为（x+p），则有x2﹣3x+k＝（x﹣2）（x+p）＝x2+（﹣2+p）x﹣2p，
∴，
解得．
故答案为：2．
16．已知关于x的多项式2x2﹣5x+k的一个因式是x+3，则k的值是 ﹣33 ．
【解答】解：设另一个因式为（2x﹣n），
则（2x﹣n）（x+3）＝2x2+（6﹣n）x﹣3n，
即2x2﹣5x+k＝2x2+（6﹣n）x﹣3n，
∴，
解得，
故答案为：﹣33．
17．已知x4﹣5x3+nx﹣16有因式（x﹣1），则n＝ 20 ．
【解答】解：设x4﹣5x3+nx﹣16＝A（x﹣1）（A为整式），
由于上式为恒等式，为方便计算取x＝1，代入得：
1﹣5+n﹣16＝0，
解得，n＝20，
故答案为：20．
18．如果a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，则m的值是 ﹣1 ．
【解答】解：∵a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，
∴a2+ma﹣6＝（a﹣3）（a+2）＝a2﹣a﹣6，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
19．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有 ②③ .（填序号）
①a（x+y）＝ax+ay；
②10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）；
③y2﹣4y+4＝（y﹣2）2；
④t2﹣16+3t＝（t﹣4）（t+4）+3t．
【解答】解：①a（x+y）＝ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，
②10x2﹣5x＝5x（2x﹣1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，
③y2﹣4y+4＝（y﹣2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，
④t2﹣16+3t＝（t﹣4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，
即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③，
故答案为：②③．
20．若y2﹣3y+m有一个因式为y﹣4，则m＝ ﹣4 ．
【解答】解：设多项式y2﹣3y+m的另一个因式为（y+k），
则y2﹣3y+m＝（y﹣4）（y+k），
∴y2﹣3y+m＝y2+（k﹣4）y﹣4k，
∴，
解得，
故答案为：﹣4．
21．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣2，则代数式的值为 81 ．
【解答】解：设另一个因式为x﹣a，
则x2﹣mx+n＝（x﹣2）（x﹣a）＝x2﹣ax﹣2x+2a＝x2﹣（a+2）x+2a，
得，
由①得：a＝m﹣2③，
把③代入②得：n＝2（m﹣2），2m﹣n＝4，，
故答案为：81．
22．对于多项式x3+8x2+4x﹣48，有一种分解方法，如果我们把x＝2代入多项式，发现多项式x3+8x2+4x﹣48＝0，这时可以断定多项式中有因式x﹣2（注：把x＝a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3+8x2+4x﹣48＝（x﹣2）（x2+mx+n）．可求得m＝10，n＝24，这种因式分解的方法叫做试根法，请用试根法将多项式x3﹣6x2+3x+10因式分解的结果为 （x﹣2）（x﹣5）（x+1） ．
【解答】解：把x＝2代入多项式，
x3﹣6x2+3x+10
＝23﹣6×22+3×2+10
＝8﹣6×4+6+10
＝8﹣24+6+10
＝0，
于是x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），
∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+mx2+nx﹣2x2﹣2mx﹣2n，
∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
∴m﹣2＝﹣6，n﹣2m＝3，﹣2n＝10，
∴m＝﹣4，n＝﹣5，
∴x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）（x﹣5）（x+1），
故答案为：（x﹣2）（x﹣5）（x+1）．
三．解答题（共4小题）
23．（1）试说明代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）的值与s、t的值取值有无关系；
（2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求ab的值；
（3）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【解答】解：（1）代数式的值与t的值取值无关系，与s的值取值有关系．
∵（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）
＝s2+2st+s﹣2ts﹣4t2﹣2t+4t2+2t
＝s2+s，
∴代数式的值与t的值取值无关系，与s的值取值有关系．
（2）（ax﹣b）（2x2﹣x+2）
＝2ax3﹣ax2+2ax﹣2bx2+bx﹣2b
＝2ax3﹣（a+2b）x2+（2a+b）x﹣2b，
∵积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，
∴2a+b＝0，﹣2b＝﹣4，
∴a＝﹣1，b＝2．
ab＝1．
（3）设另一个因式为（x+m）．
根据题意得，（x+m）（2x﹣5）＝2x2+3x﹣k，
x2﹣5x+2mx﹣5m＝2x2+3x﹣k，
x2+（2m﹣5）x﹣5m＝2x2+3x﹣k，
∴2m﹣5＝3，﹣k＝﹣5m，
∴m＝4，k＝20，
∴另一个因式：（x+4），k是20．
24．先阅读下面的解法，然后解答问题．
例：已知多项式3x3﹣x2+m分解因式的结果中有一个因式是（3x+1），求实数m．
解：设3x3﹣x2+m＝（3x+1）•K（K为整式）
令（3x+1）＝0，则x＝﹣，得3（﹣）3﹣（﹣）2+m＝0，∴m＝．
这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题．
（1）若多项式x2+mx﹣8分解因式的结果中有一个因式为（x﹣2），则实数m＝ 2 ；
（2）若多项式x3+3x2+5x+n分解因式的结果中有一个因式为（x+1），求实数n的值；
（3）若多项式x4+mx3+nx﹣14分解因式的结果中有因式（x+1）和（x﹣2），求m，n的值．
【解答】解：（1）由题意得，x2+mx﹣8＝（x﹣2）•K（K为整式），
令x﹣2＝0，则x＝2，
把x＝2代入x2+mx﹣8＝0，
得，m＝2，
故答案为：2；
（2）设：x3+3x2+5x+n＝（x+1）•A（A为整式），
若x3+3x2+5x+n＝（x+1）•A＝0，则x+1＝0或A＝0，
当x+1＝0时，x＝﹣1．
则x＝﹣1是方程x3+3x2+5x+n＝0的解，
∴（﹣1）3+3×（﹣1）2+5×（﹣1）+n＝0，即﹣1+3﹣5+n＝0，
解得，n＝3；
（3）设x4+mx3+nx﹣14＝（x+1）（x﹣2））•B（B为整式），
若x4+mx3+nx﹣14＝（x+1）（x﹣2））•B＝0，则x+1＝0，x﹣2＝0，C＝0，
当x+1＝0时，即x＝﹣1，
∴（﹣1）4+m•（﹣1）3+n•（﹣1）﹣14＝0，
即m+n＝﹣13①，
当x﹣2＝0时，即x＝2，
∴24+m•23+n•2﹣14＝0，
即4m+n＝﹣1②，
联立①②解方程组得：．
25．阅读并解答：对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入多项式，发现x＝2能使多项式的值为0，由此可断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m，n后代入，就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m，n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
【解答】解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中，
假设x＝0，代入等式得：10＝﹣2n，
∴n＝﹣5．
假设x＝1，代入等式得：1﹣5+1+10＝﹣1×（1+m+n）．
∴m+n＝﹣8．
∴m＝﹣3．
∴m＝﹣3，n＝﹣5．
（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，
可得x3+5x2+8x+4＝0，
则多项式可分解为：x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+ax+b），
假设x＝0、x＝1分别代入该等式，即可求出：a＝4，b＝4，
∴x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4）＝（x+1）（x+2）2．
26．已知a，b，c为三个非零实数，x2﹣1为多项式x3+ax2+bx+c的因式，求的值．
【解答】解：设x3+ax2+bx+c的另一个因式为（x+m），
所以（x2﹣1）（x+m）＝x3+ax2+bx+c，
即x3﹣x+mx2﹣m＝x3+ax2+bx+c，
所以a＝m，b＝﹣1，c＝﹣m．
所以＝﹣2．
1．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1B．a2+a
C．a2+a﹣2D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
3．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a）B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C．D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
5．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10
C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
D．6ab＝2a•3b
6．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
C．6x2y3＝2x2•3y3D．x2+1＝x（x+）
7．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）
8．如果x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，那么m的值为（ ）
A．8B．﹣8C．2D．﹣2
9．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．a （x+y）＝a x+a y
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x
10．下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
11．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6B．6xy＝2x2•3y3
C．x2+2x+1＝x（x2+2）+1D．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）
12．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx
B．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
13．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ayB．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．
二．填空题（共9小题）
14．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为 ．
15．若多项式x2﹣3x+k（k为常数）的一个因式是x﹣2，则k的值为 ．
16．已知关于x的多项式2x2﹣5x+k的一个因式是x+3，则k的值是 ．
17．已知x4﹣5x3+nx﹣16有因式（x﹣1），则n＝ ．
18．如果a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，则m的值是 ．
19．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有 .（填序号）
①a（x+y）＝ax+ay；
②10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）；
③y2﹣4y+4＝（y﹣2）2；
④t2﹣16+3t＝（t﹣4）（t+4）+3t．
20．若y2﹣3y+m有一个因式为y﹣4，则m＝ ．
21．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣2，则代数式的值为 ．
22．对于多项式x3+8x2+4x﹣48，有一种分解方法，如果我们把x＝2代入多项式，发现多项式x3+8x2+4x﹣48＝0，这时可以断定多项式中有因式x﹣2（注：把x＝a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3+8x2+4x﹣48＝（x﹣2）（x2+mx+n）．可求得m＝10，n＝24，这种因式分解的方法叫做试根法，请用试根法将多项式x3﹣6x2+3x+10因式分解的结果为 ．
三．解答题（共4小题）
23．（1）试说明代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）的值与s、t的值取值有无关系；
（2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求ab的值；
（3）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
24．先阅读下面的解法，然后解答问题．
例：已知多项式3x3﹣x2+m分解因式的结果中有一个因式是（3x+1），求实数m．
解：设3x3﹣x2+m＝（3x+1）•K（K为整式）
令（3x+1）＝0，则x＝﹣，得3（﹣）3﹣（﹣）2+m＝0，∴m＝．
这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题．
（1）若多项式x2+mx﹣8分解因式的结果中有一个因式为（x﹣2），则实数m＝ ；
（2）若多项式x3+3x2+5x+n分解因式的结果中有一个因式为（x+1），求实数n的值；
（3）若多项式x4+mx3+nx﹣14分解因式的结果中有因式（x+1）和（x﹣2），求m，n的值．
25．阅读并解答：对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入多项式，发现x＝2能使多项式的值为0，由此可断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m，n后代入，就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m，n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
26．已知a，b，c为三个非零实数，x2﹣1为多项式x3+ax2+bx+c的因式，求的值．
因式分解的意义精选题26道
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1B．a2+a
C．a2+a﹣2D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
【解答】解：∵a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），
a2+a＝a（a+1），
a2+a﹣2＝（a+2）（a﹣1），
（a+2）2﹣2（a+2）+1＝（a+2﹣1）2＝（a+1）2，
∴结果中不含有因式a+1的是选项C；
故选：C．
2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
故选：C．
3．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
【解答】解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B 2x2+2x＝2x2（1+）中不是整式，故B错误；
C （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C错误；
Dx4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．
故选：D．
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a）B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C．D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
【解答】解：A、9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），从左到右的变形是因式分解，符合题意；
B、x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x，不符合题意因式分解的定义，不合题意；
C、x+2无法分解因式，不合题意；
D、y（y﹣2）＝y2﹣2y，是整式的乘法，不合题意．
故选：A．
5．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10
C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
D．6ab＝2a•3b
【解答】解：A、右边不是积的形式，故A选项错误；
B、是多项式乘法，不是因式分解，故B选项错误；
C、是运用完全平方公式，符合因式分解的定义，故C选项正确；
D、不是把多项式化成整式积的形式，故D选项错误．
故选：C．
6．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
C．6x2y3＝2x2•3y3D．x2+1＝x（x+）
【解答】解：A、是因式分解，故本选项符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
7．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
8．如果x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，那么m的值为（ ）
A．8B．﹣8C．2D．﹣2
【解答】解：设另一个因式是x+a，
则（x﹣2）（x+a）
＝x2+ax﹣2x﹣2a
＝x2+（a﹣2）x﹣2a，
∵x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，
∴a﹣2＝﹣6，
解得：a＝﹣4，
∴m＝﹣2a＝8，
故选：A．
9．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．a （x+y）＝a x+a y
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x
【解答】解：A、a （x+y）＝ax+ay，是整式的乘法运算，故此选项不合题意；
B、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故此选项不合题意；
C、10x2﹣5x＝5x（2x﹣1），正确，符合题意；
D、x2﹣16+3x，无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
10．下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、两边不相等，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是因式分解，故本选项符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
11．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6B．6xy＝2x2•3y3
C．x2+2x+1＝x（x2+2）+1D．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）
【解答】解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意；
B、不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；
故选：D．
12．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx
B．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
【解答】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、结果不是积的形式，故选项错误；
C、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），正确；
D、结果不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
13．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ayB．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．
【解答】解：A、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式乘法运算，故此选项错误；
B、x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3，不符合分解因式的定义，故此选项错误；
C、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），是分解因式，符合题意；
D、a2+1＝a（a+），不符合分解因式的定义，故此选项错误；
故选：C．
二．填空题（共9小题）
14．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为 ﹣3 ．
【解答】解：（x+1）（x﹣2）
＝x2﹣2x+x﹣2
＝x2﹣x﹣2
所以a＝﹣1，b＝﹣2，
则a+b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．若多项式x2﹣3x+k（k为常数）的一个因式是x﹣2，则k的值为 2 ．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+k＝0中得4﹣6+k＝0，
解得：k＝2．
解法二：设另一个因式为（x+p），则有x2﹣3x+k＝（x﹣2）（x+p）＝x2+（﹣2+p）x﹣2p，
∴，
解得．
故答案为：2．
16．已知关于x的多项式2x2﹣5x+k的一个因式是x+3，则k的值是 ﹣33 ．
【解答】解：设另一个因式为（2x﹣n），
则（2x﹣n）（x+3）＝2x2+（6﹣n）x﹣3n，
即2x2﹣5x+k＝2x2+（6﹣n）x﹣3n，
∴，
解得，
故答案为：﹣33．
17．已知x4﹣5x3+nx﹣16有因式（x﹣1），则n＝ 20 ．
【解答】解：设x4﹣5x3+nx﹣16＝A（x﹣1）（A为整式），
由于上式为恒等式，为方便计算取x＝1，代入得：
1﹣5+n﹣16＝0，
解得，n＝20，
故答案为：20．
18．如果a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，则m的值是 ﹣1 ．
【解答】解：∵a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，
∴a2+ma﹣6＝（a﹣3）（a+2）＝a2﹣a﹣6，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
19．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有 ②③ .（填序号）
①a（x+y）＝ax+ay；
②10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）；
③y2﹣4y+4＝（y﹣2）2；
④t2﹣16+3t＝（t﹣4）（t+4）+3t．
【解答】解：①a（x+y）＝ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，
②10x2﹣5x＝5x（2x﹣1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，
③y2﹣4y+4＝（y﹣2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，
④t2﹣16+3t＝（t﹣4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，
即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③，
故答案为：②③．
20．若y2﹣3y+m有一个因式为y﹣4，则m＝ ﹣4 ．
【解答】解：设多项式y2﹣3y+m的另一个因式为（y+k），
则y2﹣3y+m＝（y﹣4）（y+k），
∴y2﹣3y+m＝y2+（k﹣4）y﹣4k，
∴，
解得，
故答案为：﹣4．
21．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣2，则代数式的值为 81 ．
【解答】解：设另一个因式为x﹣a，
则x2﹣mx+n＝（x﹣2）（x﹣a）＝x2﹣ax﹣2x+2a＝x2﹣（a+2）x+2a，
得，
由①得：a＝m﹣2③，
把③代入②得：n＝2（m﹣2），2m﹣n＝4，，
故答案为：81．
22．对于多项式x3+8x2+4x﹣48，有一种分解方法，如果我们把x＝2代入多项式，发现多项式x3+8x2+4x﹣48＝0，这时可以断定多项式中有因式x﹣2（注：把x＝a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3+8x2+4x﹣48＝（x﹣2）（x2+mx+n）．可求得m＝10，n＝24，这种因式分解的方法叫做试根法，请用试根法将多项式x3﹣6x2+3x+10因式分解的结果为 （x﹣2）（x﹣5）（x+1） ．
【解答】解：把x＝2代入多项式，
x3﹣6x2+3x+10
＝23﹣6×22+3×2+10
＝8﹣6×4+6+10
＝8﹣24+6+10
＝0，
于是x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），
∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+mx2+nx﹣2x2﹣2mx﹣2n，
∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
∴m﹣2＝﹣6，n﹣2m＝3，﹣2n＝10，
∴m＝﹣4，n＝﹣5，
∴x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）（x﹣5）（x+1），
故答案为：（x﹣2）（x﹣5）（x+1）．
三．解答题（共4小题）
23．（1）试说明代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）的值与s、t的值取值有无关系；
（2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求ab的值；
（3）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【解答】解：（1）代数式的值与t的值取值无关系，与s的值取值有关系．
∵（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）
＝s2+2st+s﹣2ts﹣4t2﹣2t+4t2+2t
＝s2+s，
∴代数式的值与t的值取值无关系，与s的值取值有关系．
（2）（ax﹣b）（2x2﹣x+2）
＝2ax3﹣ax2+2ax﹣2bx2+bx﹣2b
＝2ax3﹣（a+2b）x2+（2a+b）x﹣2b，
∵积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，
∴2a+b＝0，﹣2b＝﹣4，
∴a＝﹣1，b＝2．
ab＝1．
（3）设另一个因式为（x+m）．
根据题意得，（x+m）（2x﹣5）＝2x2+3x﹣k，
x2﹣5x+2mx﹣5m＝2x2+3x﹣k，
x2+（2m﹣5）x﹣5m＝2x2+3x﹣k，
∴2m﹣5＝3，﹣k＝﹣5m，
∴m＝4，k＝20，
∴另一个因式：（x+4），k是20．
24．先阅读下面的解法，然后解答问题．
例：已知多项式3x3﹣x2+m分解因式的结果中有一个因式是（3x+1），求实数m．
解：设3x3﹣x2+m＝（3x+1）•K（K为整式）
令（3x+1）＝0，则x＝﹣，得3（﹣）3﹣（﹣）2+m＝0，∴m＝．
这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题．
（1）若多项式x2+mx﹣8分解因式的结果中有一个因式为（x﹣2），则实数m＝ 2 ；
（2）若多项式x3+3x2+5x+n分解因式的结果中有一个因式为（x+1），求实数n的值；
（3）若多项式x4+mx3+nx﹣14分解因式的结果中有因式（x+1）和（x﹣2），求m，n的值．
【解答】解：（1）由题意得，x2+mx﹣8＝（x﹣2）•K（K为整式），
令x﹣2＝0，则x＝2，
把x＝2代入x2+mx﹣8＝0，
得，m＝2，
故答案为：2；
（2）设：x3+3x2+5x+n＝（x+1）•A（A为整式），
若x3+3x2+5x+n＝（x+1）•A＝0，则x+1＝0或A＝0，
当x+1＝0时，x＝﹣1．
则x＝﹣1是方程x3+3x2+5x+n＝0的解，
∴（﹣1）3+3×（﹣1）2+5×（﹣1）+n＝0，即﹣1+3﹣5+n＝0，
解得，n＝3；
（3）设x4+mx3+nx﹣14＝（x+1）（x﹣2））•B（B为整式），
若x4+mx3+nx﹣14＝（x+1）（x﹣2））•B＝0，则x+1＝0，x﹣2＝0，C＝0，
当x+1＝0时，即x＝﹣1，
∴（﹣1）4+m•（﹣1）3+n•（﹣1）﹣14＝0，
即m+n＝﹣13①，
当x﹣2＝0时，即x＝2，
∴24+m•23+n•2﹣14＝0，
即4m+n＝﹣1②，
联立①②解方程组得：．
25．阅读并解答：对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入多项式，发现x＝2能使多项式的值为0，由此可断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m，n后代入，就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m，n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
【解答】解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中，
假设x＝0，代入等式得：10＝﹣2n，
∴n＝﹣5．
假设x＝1，代入等式得：1﹣5+1+10＝﹣1×（1+m+n）．
∴m+n＝﹣8．
∴m＝﹣3．
∴m＝﹣3，n＝﹣5．
（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，
可得x3+5x2+8x+4＝0，
则多项式可分解为：x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+ax+b），
假设x＝0、x＝1分别代入该等式，即可求出：a＝4，b＝4，
∴x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4）＝（x+1）（x+2）2．
26．已知a，b，c为三个非零实数，x2﹣1为多项式x3+ax2+bx+c的因式，求的值．
【解答】解：设x3+ax2+bx+c的另一个因式为（x+m），
所以（x2﹣1）（x+m）＝x3+ax2+bx+c，
即x3﹣x+mx2﹣m＝x3+ax2+bx+c，
所以a＝m，b＝﹣1，c＝﹣m．
所以＝﹣2．
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