新高考数学实战演练仿真模拟卷10（2份打包，解析版+原卷版）

新高考数学实战演练仿真模拟卷

一．选择题（共8小题）

1．已知集合，，集合．则　　

A．， B．， C． D．

【解析】解：集合，，

集合．

，．

故选：．

2．已知角终边经过点，，若，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：角终边经过点，，若，则，

，

故选：．

3．已知向量，，，，若，则实数的值为　　

A．8 B．6 C．4 D．

【解析】解：向量，，，

所以，，

又，所以，解得．

故选：．

4．在空间中，、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列判断正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，，则 D．若，，则

【解析】解：若，，则或，故错误；

若，，则或，故错误；

若，，，可将，平移至相交直线，

设它们确定的平面与、的交线分别为，，由线面垂直的性质可，所成角为，由面面垂直的定义，则，故正确；

若，，则或或，故错误．

故选：．

5．已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是　　

A．， B． C．， D．

【解析】解：由题意可得：存在实数，使得成立，

假设，则，所以有，则，令，

则，

令，即，解得，，即，解得，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以（e），

所以，

故选：．

6．定义在，上的函数满足：当时，；当时，．记函数的极大值点从小到大依次记为，，，，，并记相应的极大值为，，，，，则的值为　　

A． B． C． D．

【解析】解：当时，，，

令，解得：或，

可得的极大值点，极大值是，

当时，，

则极大值点形成首项为1，公差为2的等差数列，

极大值形成以1为首项，公比为3的等比数列，

即有，，故，

设，

，

相减可得，

，

化简可得，

故选：．

7．物理学规定音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度），我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于与之间，则声音的声波强度是声音的声波强度的　　

A．倍 B． 倍 C．100倍 D．倍

【解析】解：，

声音的声波强度，声音的声波强度，

，

故选：．

8．已知，，，，则，，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【解析】解：，，，，

，

，

，，，的大小关系为．

故选：．

二．多选题（共4小题）

9．在中，，，，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：如图示：

，

由，，，

显然点是的中点，

对于，故错误；

对于：由点是的中点，得，

故，故正确；

对于，故正确；

对于，故正确；

故选：．

10．在三棱柱中，、、分别为线段、、的中点，下列说法正确的是　　

A．平面平面 B．直线平面 

C．直线与异面 D．直线与平面相交

【解析】解：对于，在三棱柱中，、、分别为线段、、的中点，

，，

，，

平面平面，故正确；

对于，、分别为线段、的中点，

，，与相交，

直线与平面相交，故错误；

对于，、分别为线段、的中点，，

平面，平面，平面，

，直线与异面，故正确；

对于，，平面，平面，

直线平面，故错误．

故选：．

11．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，关于函数，下列说法正确的是　　

A．为偶函数 B．在上单调递增 

C．不是周期函数 D．的最大值为2

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于，函数的定义域为，且，

所以为偶函数，故正确；

对于，因为，所以的图象关于直线对称，

又是奇函数，当时，，则的部分图象如图所示，

在区间上，，

在区间上，，在区间上为减函数，故错误；

对于，为奇函数，且的图象关于直线对称，

函数的最小正周期为4，

当时，，故不是周期函数，选项正确；

对于，当时，易知的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当时，的最大值也为2，

在整个定义域上的最大值为2，故选项正确．

故选：．

12．设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数，下列说法正确的是　　

A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 

B．已知，则是间隔递增数列 

C．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2 

D．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则

【解析】对于，，因为，所以当时，，故错误；

对于，，

令在单调递增，则（1），解得，故正确；

对于，，

当时，，当时，，所以是间隔递增数列但最小间隔数不是2，故错误；

对于，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，

则，成立，

则，对于成立，且对于成立，

即，对于成立，且对于成立，

所以且，解得，故正确．

故选：．

三．填空题（共4小题）

13．已知复数为虚数单位），则　　．

【解析】解：，

．

故答案为：．

14．若，则　　．

【解析】解：，

，

，

则，

故答案为：．

15．已知函数，则函数的零点个数为　7　

【解析】解：如图示：

设，则函数等价为，

由，得，故或或，

若，则对应的有2个，

若，则对应的有2个，

若，则对应的有3个，

故函数的零点个数有7个，

故答案为：7．

16．已知函数，若存在，，，，满足，则的值为　4　．

【解析】解：当，时，是周期为1，且图象关于点对称的函数，

在区间，上有两个完整的周期，

当，，时，可看作函数图象向右平移一个单位得到的，

而函数显然是奇函数，所以此时函数图象关于点对称，

综上，函数的图象关于点对称，

又由已知，

可设，则，令显然也关于点对称，

所以已知问题可转化为求函数与函数的图象的交点的横坐标，

函数与函数的图象如图所示：

由图可知，函数与函数的图象有5个交点，除去点，

剩下的4个点都关于点对称，所以，

故答案为：4．

四．解答题（共6小题）

17．在①，②两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．在中，内角，，的对边分别为，，，已知______．

（1）求；

（2）已知函数，，求的最小值．

【解析】解：（1）若选择①：由正弦定理得，

因为，所以，

所以，又因为，

所以，

因为，，所以，

所以，，

所以．

若选择②：，

可得，整理可得，

由正弦定理可得，

由余弦定理可得，

因为，

所以．

（2）由（1）知：，可得函数，

因为，

所以，，可得，，

所以，，

所以的最小值为．

18．已知正项数列的前项和为，，，．

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足：，求数列的前项和．

【解析】解：（1）由题知：，

两式相减得：；

所以

所以；所以，

又因为，

所以

因为，

所以适合

所以．

（2）由（1）得：①；

所以②，

①②得：，

所以，

又由①式得，适合上式

所以，

所以，

所以，

．

19．过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段．目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成，到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口的总和，2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”．为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组计划对甲、乙两个项目共投资100万元，并且规定每个项目至少投资20万元．依据前期市场调研可知：甲项目的收益（单位：万元）与投资（单位：万元）满足；乙项目的收益（单位：万元）与投资（单位：万元）的数据情况如表：

设甲项目的投入为（单位：万元），两个项目的总收益为（单位：万元）．

（Ⅰ）根据上面表格中的数据，从下面四个函数中选取一个合适的函数描述乙项目的收益（单位：万元）与投资（单位：万元）的变化关系：

①；②；③； ④，其中，并求出该函数；

（Ⅱ）试问如何安排甲、乙这两个项目的投资，才能使总收益最大．

【解析】解：（Ⅰ）由表格中的数据，可知函数不单调，

①②③均为单调函数，由函数④表示乙项目的收益与投资的函数关系．

把，，代入，

得，解得．

；

（Ⅱ）设甲项目投资万元，则乙项目投资为万元，

由，得，

．

令，

对任意，恒成立，

可得在，上单调递增，则当时，有最大值为1160万元．

故对甲项目投资80万元，乙项目投资20万元，才能使总收益最大．

20．已知椭圆的离心率为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知，斜率为的直线（不过点与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【解析】解：（1）由题意可得，，解得，，

则椭圆方程为；

（2）设直线的方程为，与椭圆联立，可得，

△，即为，

设，，，，可得，，

由可得，

即为，

即，

化为，

可得，

化简可得，

则直线的方程为，

可得直线过定点．

21．如图1，在平面四边形中，，，，，．

（1）求；

（2）将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，．

（ⅰ）三棱锥中，证明：点在平面上的正投影为点；

（ⅱ）三棱锥中，点，，分别为线段，，的中点，设平面与平面的交线为，为上的点．求与平面所成角的正弦值的取值范围．

【解析】解：（1）在中：，

在中由余弦定理：，

所以，

在中由正弦定理：；，

所以．

（2）（ⅰ）证明：在中，因为，

所以，，

在中，因为，

所以，，

又因为，所以平面，

所以点在平面上的正投影为点．

（ⅱ）因为，平面，平面，

所以平面，平面与平面的交线为，所以，

以坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，

所以，

设，，，设平面的法向量，

因为，

，

所以，取，解得，

所以，平面的一个法向量为，

因为，设与平面所成角为，

所以，，

若，则；

若，则，

所以与平面所成角的正弦值的取值范围为．

22．已知函数，．

（1）若恰为的极小值点．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）求在区间上的零点个数；

（2）若，，

又由泰勒级数知：，．证明：．

【解析】解：（1）证明：（ⅰ）由题意得：，

因为为函数的极值点，所以，

令，则，在上单调递增，

因为，

所以在上有唯一的零点，

所以；

（ⅱ）由（ⅰ）知：，，，

①当时，由，，，得：，

所以在上单调递减，，

所以在区间上不存在零点；

②当时，设，则，

若，令，则，

所以在上单调递减，因为；

所以存在，满足，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

若，令，则，

所以在区间上单调递减，所以，

又因为，

所以，在上单调递减；

若，则，在上单调递减；

由得，在上单调递增，在单调递减，

因为，，

所以存在使得，

所以当时，，在上单调递增，，

当时，，在上单调递减，

因为，，所以在区间上有且只有一个零点；

综上，在区间上的零点个数为2个；

（2）因为①

对，

两边求导得：，

，

所以②

比较①②式中的系数，得：

所以．