2023通化辉南县六中高一上学期10月月考数学试题含答案

高一数学试题

本试题共2页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后将答题卡交回.

注意事项：

1.答题前，请将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2.答题时，请按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草纸、试题上答题无效.

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，则集合中元素的个数是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】讨论取相同数和不同数时, 的取值即可得出答案.

【详解】当取相同数时，；当取不同数时，的取值可能为1或2,

故中共有3个元素.

故选:B .

2. 函数的定义域是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】使解析式有意义，解不等式组即可.

【详解】依题意且，

所以函数的定义域是．

故选 ：B．

3. 不等式的解集为（    ）

A. 或 B.

C. 或 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次不等式的解法求解即可.

【详解】可化为，

即，即或．

所以不等式的解集为或.

故选：A

4. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据命题的真假可得参数的取值范围，进而确定其必要不充分条件.

【详解】由命题“，”为真命题，

得，所以，

所以为该命题的一个必要不充分条件，

故选：C.

5. 设集合，，若，且，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】根据补集和交集的定义求解即可.

【详解】因为，，所以，

由解得，

因为，所以.

故选：B.

6. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题可得恒成立，由即可求出.

【详解】因为命题“，使”是假命题，

所以恒成立，所以，解得，

故实数的取值范围是．

故选：B．

7. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出当时，的值域为.由题意可知，当时，有解，此时，所以，故，然后根据的单调性对分和两种情况进行讨论即可求解.

【详解】解：由题意，当时，，

又函数的值域是，

当时，有解，此时，所以，所以，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

又，

①若，则，所以，此时，符合题意；

②若，则，所以，要使，

只须，即；

综上，.

故选：B.

8. 设x，y均为负数，且，那么有（    ）

A. 最小值为2 B. 最大值为2

C. 最小值为 D. 最大值为

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本不等式先求出的范围，进而利用对勾函数求最值即可.

【详解】设，，则，.由得.

由函数的图象得，当时，在处取得最小值，

，当且仅当时取等号成立.

综上可得，有最小值.

故选：C.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全选对5分，有选错的0分，部分选对的2分）

9. 设集合，则下列说法不正确的是（    ）

A. 若有4个元素，则 B. 若，则有4个元素

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.

【详解】（1）当时，，；

（2）当时，，；

（3）当时，，；

（4）当时，，；

故A，B，C，不正确，D正确

故选：ABC

【点睛】本题考查了集合的交、并运算，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.

10. 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．已知集合M＝{1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】利用函数定义对选项逐个判断即可.

【详解】解：在A中，当时，，故A错误；

在B中，当时，，故B错误；

C中，任取，总有，故C正确；

在D中，任取，总有，故D正确．

故选：CD．

11. 设，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断即可.

【详解】对于A，因，所以，对两边同乘，则有，故选项A一定成立；

对于B，当时，选项B不成立；

对于C，，故选项C一定成立；

对于D，由，可得，故选项D成立.

故选:ACD.

12. 下列结论正确的是（    ）

A. 设正数，满足，则的最小值为9

B. 存在函数满足，对任意的，都有

C. 不等式的解集为

D. 设函数，则“”是“方程与”都恰有两个不等实根的充要条件

【答案】AD

【解析】

【分析】利用基本不等式判断A，判断函数的奇偶性即可判断B，解分式不等式即可判断C，根据二次函数零点分布判断D；

【详解】解：对于A：因为，，所以，

，（舍）或，即，当且仅当时取等号，故A正确；

对于B：因为，而，故B错误；

对于C：由，即，解得，即不等式的解集为，故C错误；

对于D：若，则存在使得，又，即的图象开口向上，

所以恰有两个不等实根，不妨设的两个根为，，且，则，

令，则或，又，

所以无解，，有两个不等实根，所以必有两个不等实根，反之成立，故D正确；

故选：AD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 命题的否定是__.

【答案】

【解析】

【分析】题目给出了存在性命题，其否定应为全称命题．

【详解】命题的否定是：

故答案为：．

14. 设集合，，若，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据并集求解参数的范围即可.

【详解】根据题意，

.

故答案为.

15. 具有性质:的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:

（1）;

（2）;

（3）

（4）

（5）,

其中满足“倒负”变换的函数是_________．

【答案】（1），（3）

【解析】

【分析】利用给定的定义，逐一分析各个函数即可判断作答.

【详解】对于（1），，满足“倒负”变换的函数，（1）是；

对于（2），，不满足“倒负”变换的函数，（2）不是；

对于（3），当时，，当时，，，所以函数满足“倒负”变换的函数，（3）是；

对于（4），，不满足“倒负”变换的函数，（4）不是；

对于（5），，不满足“倒负”变换的函数，（5）不是.

故答案为：（1）（3）

16. 设函数，．若对任意的，存在，使得成立，则实数m的取值范围为____________．

【答案】

【解析】

【分析】由题可得，故原问题转化为存在，使得成立.

【详解】解：由题意可知，所以的最小值为2，

所以存在，使得成立,

假设对任意，都有成立，

即，,

从而有，,

由于，当且仅当时取得等号

所以，

从而当存，使得成立时，,

综上可得实数m的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题（本题共6小题，共70分；第17题10分；第18、19、20、21、22题每题12分）

17. 已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）求的值；

（3）当时，求的值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】（1）由题意可得，解不等式组可求出函数的定义域，

（2）由解析式直接代值求解即可，

（3）将代入函数解析式中求解即可

【详解】（1）若使函数有意义，需，解得或且，

故函数的定义域为

（2）

（3）因为，所以有意义，

18. 设集合，集合．

（1）若，求和

（2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）当，所以，再求和即可求出答案.

（2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，分类讨论和，即可得出答案.

【小问1详解】

，因为，所以，

所以，．

【小问2详解】

因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，

当时，，得

当时，．

解得 ，

所以实数取值范围是

19. （1）设，求的最大值；

（2）已知，，若，求的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）将转化为，用基本不等式求最大值即可；

（2）将变形为，整理后用基本不等式求最值.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值为；

（2）因为，，所以，．

又，所以，

当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．

20. 已知是二次函数，满足且.

（1）求的解析式；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，根据，求得，再由，列出方程组，求得的值，即可求解；

（2）将已知转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.

小问1详解】

设函数，

因为，可得，所以，

又，得，即，

对于任意的成立，则有解得

∴.

【小问2详解】

当时，恒成立，即恒成立；

令，

∵开口方向向上，对称轴为，

∴在内单调递减，∴，∴，

即实数的取值范围是.

21. 已知函数

（1）若的解集为，求实数a，b的值；

（2）求关于x的不等式的解集.

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）依据题给条件列出关于实数a，b的方程组，解之即可求得实数a，b的值；（2）按实数a分类讨论去求解即可解决.

【小问1详解】

因为的解集为，

所以方程的两个根为b，1（），

由根与系数关系得：，解得；

【小问2详解】

，

当，不等式可化为，则不等式的解集为；

当时，不等式化为，不等式的解集为

当时，方程的两个根分别为：，1.

当时，两根相等，故不等式的解集为；

当时，，不等式的解集为或；

当时，，不等式的解集为或，

综上：

当时，不等式的解集为

当，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或.

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

22. 某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.

（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）

（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：

①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；

②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.

哪一种方案较为合算？请说明理由.

【答案】（1）3年    （2）方案①较为合算

【解析】

【分析】（1）由，能求出该车运输3年开始盈利.

（2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.

【小问1详解】

由题意可得，即，

解得，，

该车运输3年开始盈利.；

【小问2详解】

该车运输若干年后，处理方案有两种：

①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，

，

当且仅当时，取等号，

方案①最后的利润为：（万；

②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，

，

时，利润最大，

方案②的利润为（万，

两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，

方案①较为合算.