专题04几何证明（19个考点）【知识梳理 解题方法 专题过关】-八年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）

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专题04几何证明（19个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．两点间的距离公式
两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．
说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
二．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
三．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

四．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
五．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
六．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
七．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
八．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
九．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
十．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
十一．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
十二．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
十三．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
十四．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
十五．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【专题过关】
一．两点间的距离公式（共4小题）
1．（2021秋•徐汇区校级期末）若点P在x轴上，点A坐标是（2，﹣1），且PA＝，则点P的坐标是　 　．
2．（2020秋•浦东新区校级期末）点C在x轴上，点C到点A（﹣1，4）与点B（2，﹣5）的距离相等，则点C的坐标为　 　．
3．（2021秋•宝山区校级期中）阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝，
根据上面材料完成下列各题：
（1）若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　 　．
（2）若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
（3）若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．





4．（2020秋•浦东新区校级期末）如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于 　 　．
二．平行线的判定与性质（共1小题）
5．（2021秋•普陀区期末）如图，已知∠ABC与∠DCB互补，AC⊥BD，如果∠A＝40°，那么∠D的度数是 　 　．

三．三角形内角和定理（共1小题）
6．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD与CE分别是斜边AB上的高和中线，那么∠DCE＝　 　度．

四．直角三角形全等的判定（共1小题）
7．（2021秋•徐汇区校级期末）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．一锐角和斜边对应相等
B．两条直角边对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
五．全等三角形的判定与性质（共5小题）
8．（2021秋•崇明区校级期末）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求证：∠AFC＝2∠ADC．





9．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，且ED⊥AB于点F，且AB＝DE，CD交AB于点M．
（1）求证：BD＝2EC；
（2）求△ACM与△BCM的面积之比．











10．（2021秋•松江区期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC＝5，AD＝2，那么AB的长是 　 　．
11．（2021秋•普陀区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．
求证：（1）DG＝DE；
（2）∠DEG＝∠DEC．




12．（2022秋•嘉定区月考）如图，在正方形ABCD中，点E为AB延长线上的一个动点，过点E作EG⊥CE，与DA的延长线相交于点G，与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：∠CEB＝∠G；
（2）试猜想：线段BF、AG、BE具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论；
（3）联结CG，与AB相交于点M，如果正方形的边长为4，设BE＝x，△CFG的面积为y，请直接写出y与x之间的函数解析式及定义域．





六．角平分线的性质（共5小题）
13．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，若△ABC的面积是48，且AC＝16，AB＝8，则点D到AB的距离是 　 　．

14．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝2，则PD＝　 　．

15．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：如图，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．过点C作直线DE，分别交AM、BN于D、E．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）求证：CD＝CE．





16．（2020秋•长宁区期末）如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5.5
17．（2020秋•奉贤区期末）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，在OA上取一点C，连接PC，使PC＝OC，BP＝PC．
（1）求证：PC∥OB；
（2）求∠CPO的度数．





七．线段垂直平分线的性质（共5小题）
18．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，且AE平分∠BAC，下列关系式不成立的是（　　）

A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE
19．（2021秋•松江区期末）如图，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAF＝　 　度．

20．（2021秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB＝CD，那么∠A＝　 　°．


21．（2021秋•虹口区校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数为（　　）

A．35° B．40° C．50° D．55°
22．（2021秋•虹口区校级期末）锐角△ABC中，∠A＝68°，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线交于O点，则∠BOC＝　 　．
八．直角三角形的性质（共1小题）
23．（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠B＝52°，那么∠ACD＝　 　．

九．含30度角的直角三角形（共4小题）
24．（2021秋•崇明区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝15°，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果AC＝4，则DF＝　 　．

25．（2021秋•虹口区校级期末）等腰△ABC，底角是30°，面积是，则△ABC的周长是 　 　．
26．（2021秋•徐汇区期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝　 　．



27．（2021秋•松江区期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长．





一十．直角三角形斜边上的中线（共4小题）
28．（2021秋•崇明区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，如果AD＝2BC，那么BC：AB的值是 　 　．
29．（2021秋•虹口区校级期末）如图，Rt△ABC，∠B＝90°，∠BAC＝72°，过C作CF∥AB，联结AF与BC相交于点G，若GF＝2AC，则∠BAG＝　 　．

30．（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE．（括号中需写本学期新学理由）




31．（2021秋•徐汇区校级期末）已知，如图，在三角形ABC中，AD是边BC边上的高，CE是中线，F是CE中点，DF垂直于CE，求证：CD＝AB．









一十一．勾股定理（共4小题）
32．（2021秋•松江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD＝4，CD＝2，那么∠A＝　 　度．

33．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝8，S3＝9，S4＝25，则S＝　 　．

34．（2021秋•普陀区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AD＝2DC，如果DC＝3，那么BD的长为 　 　．

35．（2021秋•徐汇区期末）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则AB＝　 　．
一十二．勾股定理的证明（共1小题）
36．（2021秋•崇明区校级期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，AB＜BC）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么
＝　 　．

一十三．勾股定理的逆定理（共3小题）
37．（2021秋•徐汇区期末）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三内角之比为3：4：5
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为7：24：25
D．三内角之比为1：2：3
38．（2021秋•普陀区期末）现有四块正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，选取其中三块按如图的方式围成一个三角形，如果要使这个三角形是直角三角形，那么选取的三块纸片的面积分别是（　　）

A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D．3，4，5
39．（2021秋•浦东新区期末）下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．3，3，3 B．4，8，4 C．6，8，10 D．5，5，5
一十四．勾股数（共1小题）
40．（2019秋•普陀区期末）已知以下各组数中，其中有一组不是勾股数组，那么这组数是（　　）
A．3、4、5 B．4、5、6 C．5、12、13 D．8、15、17
一十五．勾股定理的应用（共1小题）
41．（2021秋•浦东新区期末）某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：
“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．





一十六．平面展开-最短路径问题（共1小题）
42．（2021秋•徐汇区校级月考）如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边A→B→C→D的行程，若上、下行速度都是3米/分钟，横行速度是4米/分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形ABCD的面积为72m2，而且机器人走的路线较短？




一十七．等腰直角三角形（共3小题）
43．（2019秋•浦东新区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝，∠BAD＝∠ADE＝60°，AD＝5，CE平分∠ACB，DE与CE相交于点E，则DE的长等于　 　．

44．（2019秋•普陀区期末）已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，点P在斜边AC上，点D在边BC上，PB＝PD，DH⊥AC，H为垂足．求证：PH＝AC．




45．（2019秋•金山区期末）如图，在△ABC中，已知AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：AB＝AC+CD．







一十八．命题与定理（共5小题）
46．（2021秋•静安区校级期末）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是　 　．
47．（2021秋•松江区期末）下列命题中，假命题是（　　）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等
C．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
D．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
48．（2022•徐汇区校级自主招生）设动直线x＝t与函数y＝f（x）的图象交于点P（t，f（t）），与函数y＝g（x）的图象交于点Q（t，g（t）），当a≤t≤b时，总有PQ≤1恒成立，则称函数f（x）与g（x）在a≤x≤b上是“逼近函数”，则下列结论：
①函数y＝﹣与y＝在﹣1≤x≤1上是“逼近函数”；
②函数y＝5x与y＝x2+5在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③函数y＝x2﹣1与y＝2x2﹣x在0≤x≤1上是“逼近函数”，其中，正确的命题序号是 　 　．
49．（2021秋•崇明区校级期末）下列命题的逆命题中，真命题有（　　）
①全等三角形的对应角相等；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③关于某一条直线对称的两个三角形全等；
④等腰三角形的两个底角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
50．（2021秋•徐汇区校级期末）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 　 　．
一十九．轨迹（共4小题）
51．（2021秋•浦东新区期末）到点A的距离等于6cm的点的轨迹是 　 　．
52．（2021秋•松江区期末）已知两个定点A、B的距离为4厘米，到点A、B的距离之和为4厘米的点的轨迹是　 　．
53．（2021秋•徐汇区期末）以线段AB为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是 　 　．
54．（2021秋•静安区校级期末）经过定点A且半径为2cm的圆的圆心的轨迹是　 　．