专题04 指数与对数 （知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

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专题04 指数与对数


（一）根式
(1)n次方根的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，n＞1)．
②＝
（二）有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算．
（三）对数的概念
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
提醒：指数式与对数式的关系

（四）对数的性质、换底公式与运算性质
1．对数的性质：
①loga1＝0；②a＝N；③logaab＝b(a＞0，且a≠1)．
2．换底公式：
logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．
3．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
4．对数的运算性质：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

题型一 根式的化简与求值
【典例1】（2021·江苏·高一专题练习）化简（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用配方法将被开方数配凑成完全平方形式即可求解.
【详解】解：，
故选：D．
【典例2】（2021·江苏·高一专题练习）下列各式中成立的一项（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项.
【详解】对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：D.
【典例3】（2021·江苏·高一专题练习），则实数a的取值范围_________ 
【答案】
【分析】由二次根式的化简求解
【详解】由题设得，
，
所以
所以，．
故答案为：
【规律方法】
1.根式化简或求值的注意点
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．对与()n的进一步认识
(1)对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a(a≥0)．
(2)对的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝.
(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．
题型二 指数幂的化简与求值
【典例4】（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知，，则（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出的值，再开方即可.
【详解】根据题意得，
，
因为，所以.
故选：D.
【典例5】（2021·江苏·高一专题练习）已知，则不可能满足的关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数的运算性质及基本不等式即可求解
【详解】，，
，
，
，
则有，，，
，故A. B正确；
，故C正确；
，故D错误，
故选：D.
【典例6】（2020·江苏镇江·高一期中）（1）求值：；
（2）已知，求值：.
【答案】（1）81；（2）6.
【分析】（1）（2）根据指数幂的运算性质即可求出.
【详解】（1）原式；
（2）由，而，
则，故.
【特别提醒】
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
题型三 对数的概念与性质
【典例7】（2021·天津高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】
由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】
，，
.
故选：C.
【典例8】对数式中，实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，5)　　　　　 B．(2,5)　　　　　
C．(2，＋∞)　　　　　 D．(2,3)∪(3,5)
【答案】D
【解析】由题意，得∴2 【易错提醒】
对数的底数和真数都有范围限制，不能只考虑真数范围而忽视底数的范围．
【典例9】（2015·浙江·高考真题（文））计算：_________，_________．
【答案】         
【解析】
【详解】
；.
【总结提升】
1. 对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：

并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.
2. 对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
3. 运用对数恒等式时注意事项
(1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：
①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
题型四 对数式的化简与求值
【典例10】(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A． B． C． D．
【答案】B　
【解析】
法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B．
法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故选B．
法三：因为alog34＝2，所以＝log43，所以＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故选B．
【典例11】【多选题】（2021·江苏·高一专题练习）下列运算错误的是（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据对数的运算性质逐项运算检验，即可判断各选项是否运算错误．
【详解】解：
对于A， ，所以选项A错误；
对于B，，所以选项B错误；
对于C，，所以选项C错误；
对于D，，所以选项D正确．
故选：ABC．
【典例12】（2021·江苏·高一专题练习）（1）已知，，试用表示；
（2）已知，，试用表示．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）（2）同类型题，根据指数与对数的互化及换底公式即可求解.
【详解】（1），，
，，
；
（2），，
．
【方法技巧】
1.对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
2.应用换底公式应注意的事项
(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．
3．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．
4．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：
思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．
思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．
题型五：对数的应用
【典例13】（2021·江苏·高一专题练习）设x、y、z为正实数，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，将2x，3y，4z用k表示，再用作商比较法比较大小即可．
【详解】解：为正数，
令



所以


所以，

又因为，，所以，
故选： C．
【典例14】（2021·江苏·高一专题练习）已知，，，则的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用指数与对数的运算性质进行判断即可
【详解】 ，
  
，
．
故选：B．
【典例15】（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
【典例16】（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（       ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】
由，当时，，
则.
故选：C.
题型六：指数幂、对数综合运算及应用
【典例17】（2021·江苏·高一专题练习）（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用运算法则求解即可．
【详解】


故选：D．
【典例18】（浙江·高考真题（理））已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a=___，b=____.
【答案】         
【解析】
【详解】
试题分析：设，因为，
因此
【点睛】在解方程时，要注意，若没注意到，方程的根有两个，由于增根导致错误
【典例19】（天津·高考真题（文））已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为_________．
【答案】18
【解析】
【详解】
试题分析：先把已知条件转化为ab≥2，且a＞0，b＞0；再把所求用基本不等式转化到用ab表示即可．
解：由log2a+log2b≥1得ab≥2，且a＞0，b＞0．
又3a+9b=3a+32b≥2=2，
因为a+2b≥2=2≥2=4，
所以3a+9b≥2=18．
即3a+9b的最小值为18．
故答案为18．
【典例20】（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）已知，，且，则的最小值为___________.
【答案】##
【分析】由可得，则化简后利用基本不等式可求得答案
【详解】因为，所以，
所以，
因为，，
所以

，
当且仅当，即时取等号，，
所以的最小值为，
故答案为：

一、单选题
1．（2021·江苏·高一专题练习）下列运算不正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算法则及运算性质，分选项排除即可．
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，成立，故B正确；
对于C，，成立，故C正确；
对于D，当且时，和无意义，故D错误，
故选：D．
2．（2021·江苏·高一专题练习）若则（    ）
A．10 B．15 C． D．
【答案】C
【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简求出的值，原式分子分母除以变形后，将代入计算即可．
【详解】因为
两边平方得，
即，
所以原式，
故选：C
3．（2021·江苏·高一专题练习）已知，那么用表示是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算法则求解即可.
【详解】，
故选:.
4．（2022·江苏省如皋中学高一期末）已知，则下列关系正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的单调性可比较出的大小关系，再根据基本不等式以及对数函数的单调性可得的范围，即可解出．
【详解】因为，，所以，又，
，所以．
故选：C．
二、多选题
5．（2021·江苏省滨海中学高一期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】CD
【分析】根据根式与分数指数幂的互化的知识确定正确选项.
【详解】对于A选项，，所以A选项错误.
对于B选项，，所以B选项错误.
对于C选项，，，所以C选项正确.
对于D选项，，，所以D选项正确.
故选：CD
6．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）若实数，且，则下列表述正确的是(    )
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据对数的概念和计算法则逐项计算即可判断.
【详解】，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD.
7．（2021·江苏·高一阶段练习）若，则（    ）
A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＞8lg22 D．b﹣a＜lg6
【答案】AC
【分析】由指对互化求出，进而利用对数的运算法则求出a+b和b﹣a的值，可判断ABD，且，可判断C.
【详解】解：∵，∴，∴，所以选项A正确；，选项BD错误；所以C正确.
故选：AC.
8．（2021·江苏南通·高一期中）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】求差法判断选项A；求得取值范围判断选项B；求得之间的关系判断选项C；求得取值范围判断选项D.
【详解】因为，则，
所以，故选项A判断正确；
因为，所以，故选项B判断错误；
因为，又，所以，故选项C正确；
因为，则，故选项D判断正确.
故选：ACD
三、填空题
9．（2021·江苏·高一专题练习），则_______．
【答案】##
【分析】首先求平方，再根据的符号开方可得答案.
【详解】因为，且，
所以.
故答案为：
10．（2020·山东·高考真题）若，则实数的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数运算化简为，求解的值.
【详解】
，
即，解得：.
故答案为：
11．（2022·江苏·高一）= ________
【答案】
【分析】根据对数函数换底公式及运算法则，指数运算法则进行计算.
【详解】

故答案为：
12．（2021·江苏常州·高一阶段练习）已知，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】利用对数的运算性质得到，利用基本不等式求出的最小值.
【详解】因为对数有意义，所以x>0,y>0.
由，可得：，即，当等号成立
解得：（舍去）.
所以的最小值为4.
故答案为：4.
四、解答题
13．（2021·江苏·高一专题练习）化简下列各式
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)-4
【分析】（1）利用分数指数幂和根式的性质和运算法则求解即可得到结果；
（2）利用对数的性质和运算法则求解即可得到结果．
（1）
原式；
（2）
原式．
14．（2021·江苏·高一专题练习）（1） ；
（2）
【答案】（1） ；（2）．
【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出．
（2）利用对数的运算性质即可得出．
【详解】解：（1）
．
（2）
.
15．（2021·江苏·高一专题练习）计算下列各式的值：
(1)已知，求：．
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】利用计算分子，再利用计算分母，注意开方得两个值，最后代入原式即可．
利用指数和根式的互化公式和对数的基本运算公式以及对数恒等式解题．
（1）因为，而，所以，所以．
（2）原式．
16．（2021·江苏·高一专题练习）计算求值
(1)；
(2)；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)44
(2)
(3)1
【分析】（1）由指数的运算法则计算
（2）由对数的运算法则计算
（3）将指数式转化为对数式后计算
(1)
；
(2)


；
(3)
，，
则，；
所以．
17．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）（1）已知，求的值 ；
（2）已知，分别求，，的值.
【答案】（1）4；（2），，=18
【分析】（1）利用对数式的运算化简后，变形即可得出或，再结合要是对数式有意义即可得出答案.
（2）将等式两边平方即可求处；先算出的值，即可求出的值；利用立方和公式可得，由此即可求出答案.
【详解】（1）要使对数式有意义，必须满足.
在此前提下，原等式可化为.
从而，即.
因为，上式等号两边同除以，得.
解得或
当时，，不合题意，故舍去；
当时，，符合题意，故的值是4.
（2）将两边平方，得，
得；
.
由知，从而，故=3；



18．（2021·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）（1）已知均为正数，，求的最小值；
（2）
（3）已知，求的值．
【答案】（1）9；（2）218；（3）3．
【分析】（1）由，化简得，，利用基本不等式求最值；
（2）利用幂运算的性质化简即可；
（3）由得，再结合立方和公式求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴
（当且仅当，即时，等号成立），
故的最小值为9；
（2）


（3）∵，
∴，
故