专题05 函数概念与性质（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

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专题05 函数概念与性质    （一）函数的概念和图象1．函数与映射的概念 函数映射两集合设A，B是非空的实数集设A，B是非空的集合A，B对应关系f：A→B如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应定义称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应为从集合A到集合B的映射记法y＝f(x)，x∈A映射f：A→B提醒：映射实质是一对一或多对一，函数是特殊的映射．2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{y| y＝f(x)，x∈A }称为函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3.函数的图象将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为，所有这些点组成的图形就是函数的图象.（二）函数的表示法（1）表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．（2）分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．（三）函数的单调性1.单调函数的定义 增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为，区间，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数单调区间I是y＝f(x)的增区间I是y＝f(x)的减区间图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 2.提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为；设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为4.函数单调性的结论(1)∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．的单调性呢？(4)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．(5)函数y＝f(x)在公共定义域内与的单调性相反．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．5．函数最值存在的两个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．（四）函数的奇偶性 1.函数的奇偶性 偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称2.提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔.②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔.3．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”.(4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．题型一  求函数的定义域【典例1】（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【典例2】（2021·江苏苏州·高一期中）若函数，则函数的定义域为（　　）A． B． C． D．【典例3】（2021·江苏·高一课时练习）（1）已知函数f(x)的定义域为[2，3]，求函数f(2x-3)的定义域；（2）已知函数f(2x-3)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域．【规律方法】1．已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．注意：函数f(g(x))的定义域指的是自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.题型二  函数的最值(值域)【典例4】（2021·江苏·高一单元测试）若函数的值域是，则函数的值域是（     ）A． B． C． D．【典例5】（2022·江苏·高一）函数的值域为___________．【典例6】（2021·江苏·高一单元测试）函数的值域为_______________．【特别提醒】求函数值域（最值）的常用方法：（1）          配方法；（2）          图象法（3）          单调性质法（4）          基本不等式法（5）          换元法题型三  分段函数及其应用【典例7】（2022·江苏·高一）已知函数，若，则实数a＝（    ）A． B． C．2 D．9【典例8】（2022·江苏·高一单元测试）已知，则使成立的x的取值范围是_____．【典例9】（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）已知函数，若，则__________.【总结提升】1.分段函数求值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．2．求参数或自变量的值解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．3．分段函数与不等式问题解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．题型四  求函数的单调区间【典例10】（2022·江苏·高一）函数的单调递减区间是（    ）A． B． C． D．【典例11】（2022·江苏南通·高一期末）函数的单调递减区间为 __．【方法技巧】1.求函数单调区间的常用方法 （1）图象法；（2）函数性质法.2．求复合函数单调区间的一般步骤(1)求函数的定义域(定义域先行)．(2)求简单函数的单调区间．(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．题型五：函数单调性的判断与证明【典例12】（2022·江苏·高一）下列函数在单调递减的是（    ）A． B．C． D．【典例13】（2022·江苏·高一）设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【方法技巧】1.判断函数单调性的方法(1)图象法；(2)性质法；(3)定义法．2．证明函数单调性的定义法：题型六：函数单调性的应用【典例14】（2022·江苏·高一单元测试）若函数在上是增函数，则与的大小关系是（    ）A． B． C． D．【典例15】（2022·江苏·高一）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（    ）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）【典例16】（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围是__________.【规律方法】1.比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．2．求解含“f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系．题型七：函数奇偶性的判断【典例17】（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）A． B． C． D．【典例18】（2021·江苏·高一单元测试）已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）A． B． C． D．【规律方法】判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．题型八：函数奇偶性的应用【典例19】（2022·江苏·高一单元测试）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（    ）A． B． C． D．【典例20】（2021·江苏·高一单元测试）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ）A． B．C． D．【典例21】（2022·江苏·高一单元测试）若为奇函数，则__________．【规律方法】已知函数奇偶性可以解决的三个问题题型九：函数奇偶性、单调性的综合应用【典例22】（2021·江苏·高一专题练习）已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　）A． B． C． D．【典例23】（2021·江苏·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，且对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是___________.【典例24】（2022·江苏·高一）设函数对任意实数，都有，且时，，．(1)求证：是奇函数；(2)求在上的最大值与最小值．一、单选题1．（2020·江苏镇江·高一期中）函数与函数的图象关于（    ）对称A．轴 B．轴 C．坐标原点 D．不能确定2．（2022·江苏·海安市曲塘中学高一开学考试）下列函数：①；②；③ ；④ ，其中与函数 是同一个函数的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．33．（2022·江苏省如皋中学高一期末）设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．4．（2021·江苏·高一专题练习）设偶函数 在区间 上单调递增， 则（    ）A． B．C． D．5．（2021·江苏·高一单元测试）设是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是（    ）A． B．C． D．6．（2021·江苏·南京市东山高级中学高一期中）函数的定义域是（    ）A． B． C． D．7．（2022·江苏·高一单元测试）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（    ）A． B． C． D．8．（2022·江苏省响水中学高一开学考试）已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．9．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．二、多选题10．（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（    ）A．， B．，C．， D．，11．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）给定函数  ， . 表示，中的较小者，记为，则（    ）A．B．函数的定义域为C．函数的值域为D．函数的单调区间有3个12．（2022·江苏·高一单元测试）下列说法不正确的是（    ）A．函数在定义域内是减函数B．若是奇函数，则一定有C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D．若的定义域为，则的定义域为13．（2021·江苏·南京师大附中高一期中）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中，与是“同象函数”的有（    ）A．， B．，C．， D．，三、填空题14．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）函数的单调递____（填“增”或“减”）区间为_______；值域为_________.15.（2021·江苏·高一专题练习）函数 的最大值为________，最小值为________.16．（2022·江苏·高一）设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是______．17．（2021·江苏·高一专题练习）若不等式对恒成立，则实数的最大值为______．18．（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）已知函数，其中，（1）若函数在单调，则实数的范围是__________；（2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，则函数的值域为__________.四、解答题19．（2021·江苏·高一专题练习）设函数（，且）对任意非零实数，，恒有．（1）求及的值；（2）判断函数的奇偶性．20．（2022·江苏·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，当时，．(1)求时，函数的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．21．（2022·江苏·高一）设函数, ，，其中，记函数的最大值减去最小值的差为．(1)求函数的解析式；(2)画出函数的图象并指出的最小值．22.（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求a，b的值；(2)判断函数的单调性并用定义加以证明；(3)求使成立的实数的取值范围．