期中模拟预测卷03（测试范围：第1章-第6章）-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（北师大版）

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2022-2023学年九年级数学上学期期中模拟预测卷03
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
考生注意：
1． 本试卷26道试题，满分120分，考试时间100分钟．
2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．如图所示，几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：如图所示，几何体的左视图是：．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．
2．若反比例函数的图象过点（1，﹣2）、（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2＜0，那么y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1＜y2＜0
【分析】先利用待定系数法求得反比例函数解析式，即可判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．
【解答】解：∵反比例函数y＝经过点（1，﹣2），
∴k＝1×（﹣2）＝﹣2＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴A（x1，y1）、B（x2，y2）两点均位于第二象限，
∴y1＜y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
3．已知一元二次方程x2﹣kx+3＝0有一个根为1，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
【分析】把x＝1代入方程，即可得出一个关于k的一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣kx+3＝0得：1﹣k+3＝0，
解得：k＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．
4．如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，BE、CD相交于点O，则S△DOE＝2，则S△BOC＝（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC，DE∥BC，得到△DOE∽△COB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴＝（）2，即＝，
解得，S△BOC＝8，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
5．为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉50条鱼做记号，然后放回湖里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后，再捕捞第二次，鱼共200条，有10条做了记号，则估计湖里有多少条鱼（　　）
A．400 条 B．500 条 C．800 条 D．1000 条
【分析】根据题意，设湖中鱼大约由x条，根据用样本估计总体的方法可得＝，解可得答案．
【解答】解：设湖中鱼大约有x条，
则有＝，
得x＝1000条，
经检验x＝1000是方程的解．
故选：D．
【点评】本题考查用样本估计总体的方法的运用，注意根据题意，找到两者的关系，列方程求解可得答案．
6．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连接小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（　　）

A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④
【分析】设小长方形的长为2，宽为1．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断．
【解答】解：设小长方形的长为2，宽为1．则图①中的三角形的三边长分别为：2，2，2，
图②中的三角形的三边长分别为：2，，5，
图③中的三角形的三边长分别为：2，2，4
图④中的三角形的边长分别为：，，5，
只有①④的三角形的三边成比例，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】对于函数来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．
【解答】解：反比例函数的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，
∴k＞1．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式中k的意义不理解，直接认为k＜0，错选A．
8．如图，在一块长方形草地上修建两条互相垂直且宽度相同的平行四边形通道，其中∠KHB＝60°，已知AB＝20米，BC＝30米，四块草地总面积为503m2，设GH为x米，则可列方程为（　　）

A．（20﹣2x）（30﹣3x）＝503 B．
C．20x+30x﹣x2＝97 D．
【分析】设GH为x米，根据矩形和平行四边形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：过H作HM⊥LG于M，
∵∠KHB＝60°，LG⊥MH，
∴∠HGM＝∠KHB＝60°，
∵∠HMG＝90°，
∴HM＝x，
∵长方形的面积＝20×30＝600（cm）2，
∴四块草地总面积为503m2，
∴通道的面积为：20x+30x﹣x2＝97，
故选：D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．如图，点A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y＝的图象于点C，则△OAC的面积为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据反比例函数k的几何意义即可解决问题．
【解答】解：∵AB⊥x轴，点A是反比例函数y＝的图象上一点，点B是反比例函数y＝的图象上一点，
∴S△AOB＝3，S△BOC＝1，
∴S△AOC＝S△AOB﹣S△BOC＝3﹣1＝2，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）

A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【分析】通过作图观察即可得出答案．
【解答】解：画图如下，
，
由图可知最后会与原有矩形重合，
∴四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，
故选：A．
【点评】本题考查了图形的变换，解题关键在于又空间想象能力．
二．填空题（共8小题，每题4分，满分24分）
11．如果5a＝4b，那么＝　　．
【分析】根据比的比性质可直接求解．
【解答】解：∵5a＝4b，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例性质是解题的关键．
12．如图，四边形ABCD是正方形，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于　55°　．

【分析】作NF⊥BC于F，即可证得△BEC≌△FMN，根据全等三角形的对应角相等即可求证．
【解答】解：作NF⊥BC于F．
则在直角△BEC和直角△FMN中，∠B＝∠NFM＝90°，
∴在Rt△BEC和Rt△FMN中，
∴，
∴△BEC≌△FMN
∴∠MNF＝∠MCE＝35°
∴∠ANM＝90°﹣∠MNF＝55°
故答案是：55°

【点评】本题主要考查了正方形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
13．如图，直线y＝﹣x+m与双曲线相交于A，B两点，直线y＝x与双曲线相交于C，D两点，BD∥x轴，AD∥y轴，则四边形ACBD面积的最小值为 　8　．

【分析】联立方程组求得C（1，1），D（﹣1，﹣1），得出CD＝2，由BD∥x轴，AD∥y轴，可得A（﹣1，3），B（3，﹣1），进而得出AD＝BD＝4，再运用勾股定理及两点间距离公式可得出AB＝4，AC＝BC，根据线段垂直平分线的判定可得CD⊥AB，利用“对角线垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半”即可求得答案．
【解答】解：由题意得，
解得：，，
∴C（1，1），D（﹣1，﹣1），
∴CD＝＝2，
∵BD∥x轴，AD∥y轴，
∴A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∴AD＝BD＝4，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝4，
∵AC＝＝2，
BC＝＝2，
∴AC＝BC，
∴CD垂直平分AB，
∴四边形ACBD面积＝AB×CD＝×4×2＝8，
故答案为：8．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，四边形的面积，线段垂直平分线的判定，运用“对角线垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半”是解题关键．
14．关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个根为1，则方程的另一根为 　﹣3　．
【分析】设方程的另一个根为x2，根据韦达定理即可得到结论．
【解答】解：设方程的另一个根为x2，
根据题意得x2+1＝﹣2，
解得：x2＝﹣3．
故方程的另一个根为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
15．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.0m，测得AB＝1.5m，BC＝10.5m，则建筑物CD的高是 　8　m．

【分析】先由CD⊥AC于点C，BE⊥AC于点E证明∠ACD＝∠ABE＝90°，而∠A是△ACD和△ABE的公共角，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ABE，再根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长即可．
【解答】解：∵BE＝1.0m，AB＝1.5m，BC＝10.5m，
∴AC＝AB+BC＝1.5+10.5＝12（m），
∵CD⊥AC于点C，BE⊥AC于点E，
∴∠ACD＝∠ABE＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABE，
∴＝，
∴CD＝＝＝8（m），
∴建筑物CD的高是8m，
故答案为：8．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、利用相似三角形的有关知识解决实际问题等知识与方法，根据相似三角形的判定理证明△ACD∽△ABE是解题的关键．
16．在▱ABCD中，E是AD上一点，，连接BE、AC相交于F，则下列结论：①；②；③；④，正确的是 　②③④　．

【分析】由线段的数量关系可得，故①错误；通过证明△AEF∽△CBF，可得＝（）2＝，＝＝，故②③正确；由面积的数量关系可得＝＝，故④正确，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵，
∴，
∴，故①错误；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝（）2＝，＝＝，故②③正确；
∴S△ABF＝S△AEF，S△BFC＝S△ABF，
∴S△BFC＝S△AEF，
∴S△ABC＝S△AEF＝S△ACD，
∴S四边形CDEF＝S△AEF，
∴＝＝，故④正确，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
17．如图，小芸用灯泡O照射一个矩形相框ABCD，在墙上形成矩形影子A′B′C′D′．现测得OA＝20cm，OA′＝50cm，相框ABCD的面积为80cm2，则影子A′B′C′D′的面积为　500　cm2．
【分析】易得对应点到对应中心的比值，那么面积比为对应点到对应中心的比值的平方，据此求解可得．
【解答】解：∵OA：OA′＝2：5，
可知OB：OB′＝2：5，
∵∠AOB＝∠A′OB′，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴AB：A′B′＝2：5，
∴矩形ABCD的面积：矩形A′B′C′D′的面积为4：25，
又矩形ABCD的面积为80cm2，则矩形A′B′C′D′的面积为500cm2．
故答案为：500cm2．
【点评】本题考查中心投影与位似图形的性质，用到的知识点为：位似比为对应点到对应中心的比值，面积比为位似比的平方．
18．如图四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为　0.18　（精确到0.01）

【分析】根据三角形面积计算公式，找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系，并进行求解．
【解答】解：如图，

过P作PE⊥CD于E，PF⊥BC于F，
∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝1，
∴∠PCE＝30°，
∴BF＝PB＝，
由勾股定理得：PF＝＝，PE＝FC＝，
S△BPD＝S四边形PBCD﹣S△BCD＝S△PBC+S△PDC﹣S△BCD＝××1+××1﹣×1×1＝≈0.18，
故答案为：0.18．
【点评】本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形．解决本题的关键是找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系．

三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解方程：
（1）x2﹣7x+6＝0
（2）x（5x+4）﹣（5x+4）＝0．
【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）方程分解因式得：（x﹣1）（x﹣6）＝0，
可得x﹣1＝0或x﹣6＝0，
解得：x1＝1，x2＝6；
（2）方程分解因式得：（x﹣1）（5x+4）＝0，
可得x﹣1＝0或5x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝2﹣x1x2，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m﹣1，x1•x2＝m2，结合x1+x2＝2﹣x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≤．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2m﹣1，x1•x2＝m2．
∵x1+x2＝2﹣x1x2，即2m﹣1＝2﹣m2，
整理得：m2+2m﹣3＝0，
∴（m+3）（m﹣1）＝0，
解得：m1＝﹣3，m2＝1（不合题意，舍去）．
答：m的值为﹣3．
【点评】考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2＝2﹣x1x2，找出关于m的一元二次方程．
21．如图，在一面与地面垂直的围墙的同一侧有一根高10米的旗杆AB和一个高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直．为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光的照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米；而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，求电线杆的高度．

【分析】过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式：＝，即＝，由此求得CD即电线杆的高度即可．
【解答】解：过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．
则MB＝EF＝2米，ND＝GH＝3米，ME＝BF＝10米，NG＝DH＝5米．
∴AM＝10﹣2＝8（米），
由平行投影可知，＝，
即＝，
解得CD＝7，
即电线杆的高度为7米．

【点评】本题考查了相似三角形的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
22．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求y与x（10≤x≤24）的函数表达式；
（2）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？

【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把y＝10代入y＝中，即可求得结论．
【解答】解：（1）设双曲线CD解析式为：y＝（k≠0），
∵C（10，20），
∴k＝200，
∴双曲线CD的解析式为：y＝（10≤x≤24）；
（2）把y＝10代入y＝中，
解得：x＝20，
∴20﹣10＝10，
答：恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答时应注意临界点的应用．
23．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P、Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（2）如果P、Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ与△ABC相似？

【分析】设运动时间为t秒，则AP＝tcm，BP＝AB﹣AP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）分△PBQ∽△ABC及△QBP∽△ABC两种情况考虑，利用相似三角形的判定定理，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设运动时间为t秒，则AP＝tcm，BP＝AB﹣AP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）依题意得：BP2+BQ2＝PQ2，
即（5﹣t）2+（2t）2＝（2）2，
整理得：t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t1＝﹣1（不合题意，舍去），t2＝3．
答：3秒后，PQ的长度等于cm．
（2）当△PBQ∽△ABC时，＝，
即＝，
解得：t＝；
当△QBP∽△ABC时，＝，
即＝，
解得：t＝．
答：秒或秒后，△PBQ与△ABC相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出关于t的一元二次方程；（2）分△PBQ∽△ABC及△QBP∽△ABC两种情况，求出t值．
24．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y（千克）
…
34.8
32
29.6
28
…
售价x（元/千克）
…
22.6
24
25.2
26
…
（1）求y与x的函数关系式．
（2）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．
（3）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
【分析】（1）我们根据表中的信息，根据待定系数法可求函数关系式；
（2）代入x＝23.5即可求出结论；
（3）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论
【解答】解：（1）设y与x之间的一次函数关系式为y＝kx+b，
则，
解得：，
所以，y与x之间的关系式为：y＝﹣2x+80；

（2）当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33．
答：当天该水果的销售量为33千克．

（3）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
解得：x1＝35，x2＝25．
∵20≤x≤32，
∴x＝25．
答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于B（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝x﹣2向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点C，且△ABC的面积为16，求平移后的直线的函数表达式；
（3）在第一象限内，直接写出不等式≥x﹣2的解集．

【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝，将B点坐标代入直线y＝x﹣2中求出m的值，确定出B点坐标，将B点坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例函数解析式；
（2）设平移后的直线交y轴于H，根据两平行线间的距离相等，可得C到AB的距离与H到AB的距离相等，根据等底等高的三角形的面积相等，可得b的值，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据图象，找出在第一象限内双曲线落在直线上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，
将B（m，2）代入直线y＝x﹣2中得：m﹣2＝2，
解得：m＝4，
则B（4，2），
将B（4，2）代入y＝，得k＝4×2＝8，
则反比例解析式为y＝；

（2）设平移后的直线交y轴于H．
∴S△ABH＝S△ABC＝16，
∵S△ABH＝×AH×4＝16，
∴AH＝8，
∵A（0，﹣2），
∴H（0，6），
∴平移后的直线的解析式为y＝x+6；

（3）∵直线y＝x﹣2与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于B（4，2），
∴不等式≥x﹣2的解集是0＜x≤4．

【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，坐标与图形变化﹣平移以及数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
26．（1）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”．但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺规进行三等分的．如图a，∠AOB＝90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三等分．仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的∠MON三等分（已知∠MON＝45°）．（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）

（2）数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y＝的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB＝∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
①设P（a，）、R（b，），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）．
②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB＝∠AOB．

【分析】（1）边ON上取一点A，用尺规以OA为一边向∠MON的外部作等边△OAB，用尺规作出∠AOB的角平分线OC，再用尺规作出∠CON的角平分线OD，则射线OD、OC将∠MON三等分．
（2）①直线OM是正比例函数，可利用所给的坐标得到M的坐标，代入函数解析式即可；
②根据所给的点的坐标得到Q的坐标，看是否符合（1）中的函数解析式；运用矩形的性质，作图过程中的条件，外角与不相邻内角的关系，即可求证．
【解答】解：（1）
我们在边ON上取一点A，用尺规以OA为一边向∠MON的外部作等边△OAB，用尺规作出∠AOB的角平分线OC，再用尺规作出∠CON的角平分线OD，则射线OD、OC将∠MON三等分．
（2）①设直线OM的函数关系式为y＝kx，P（a，）、R（b，）．（1分）
则M（b，），
∴k＝÷b＝．（2分）
∴直线OM的函数关系式为y＝x．（3分）
②∵Q的坐标（a，）、满足y＝x，
∴点Q在直线OM上．
∵四边形PQRM是矩形，
∴SP＝SQ＝SR＝SM＝PR．
∴∠SQR＝∠SRQ．（5分）
∵PR＝2OP，
∴PS＝OP＝PR．
∴∠POS＝∠PSO．（6分）
∵∠PSQ是△SQR的一个外角，
∴∠PSQ＝2∠SQR．
∴∠POS＝2∠SQR．（7分）
∵QR∥OB，
∴∠SOB＝∠SQR．（8分）
∴∠POS＝2∠SOB．（9分）
∴∠SOB＝∠AOB．（10分）
【点评】本题考查了反比例函数的应用，过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．注意使用作图过程中利用的条件．