2021学年4 比例2 正比例和反比例成反比例的量教案设计

学科

数学

年级/册

六年级（下）

教材版本

人教版

课题名称

第四单元 《反比例》

教学目标

反比例关系及其图像的理解

重难点分析

重点分析

反比例关系的三层关系比较抽象，图像难理解，对于思维要求较高

难点分析

学生对于数量关系的建立及理解存在困难、抽象能力较弱。

教学方法

1.通过讲解感悟和教师示范，学生感受和体验到反比例关系的“三层含义” 通过联系实际理解反比例图像。

教学环节

教学过程

导入

一、复习引新

1、复习

（1）师：同学们，前面我们学习了正比例的意义，下面请你判断下面题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。

  李叔叔加工一种零件，加工的时间和零件总数的关系如下表。

（2）师：大家都做完了吗？咱们一起来看看，从表中可以看出，零件总数与加工时间是两种相关联的量，零件总数是随着加工时间的变化而变化的，而且零件总数与加工时间的比值也就是每小时加工零件的个数总是一定的。

= 工作效率（一定），所以零件总数与加工时间这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

（3）师：判断两种量是否成正比例关系的方法是：第一，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化；第二，这两种量中相对应的两个数的比值一定。

（4）师：同学们，数学里，既然有正比例关系，那有没有反比例关系呢？（等待片刻）答案是肯定的，今天这节课咱们就一起来研究反比例。

知识讲解

（难点突破）

二、探究新知[来源:学科网ZXXK]

（一）教学例2

把相同体积的水倒入底面积不同的长方体容器中。（因学生未学圆柱的体积，故将此题改为长方体容器）

长方体容器的底面积与水的高度的变化情况如下表。

观察上表，回答下面的问题。

1、问题（1）：表中有哪两种量。（设计意图：理解“每顶帽子用布量与数量是两种相关联的量”）

（1）师：（出示问题（1））表中有哪两种量？（等待片刻）

（2）师：表中第1行是长方体容器的底面积，第2行是水的高度，所以表中有长方体容器的底面积和水的高度这两种量。每种量还相应给出了一些数据。

（3）师：观察表中的两种量，它们是怎样变化的？（等待片刻）

（4）师：观察表格，从左往右看，容器的底面积在不断变大，相应的水的高度随着不断变小；从右往左看，容器的底面积在不断变小，相应的水的高度随着不断变大。

（5）师：看来，在这个表中，我们研究的容器的底面积和水的高度是两种相关联的量，而且是两种变化的量。（PPT出示：容器的底面积和水的高度这两种量。）

（6）师：再请你思考一下：你觉得容器的底面积和水的高度这两种量，是谁引起谁的变化呢？（等待）[来源:Z§xx§k.Com]

（7）师：对！水的高度是随着容器的底面积的变化而不断变化的。

2、问题2：水的高度是怎样随着容器的底面积的变化而不断变化的？（设计意图：理解“水的高度是随着容器的底面积的变化而不断变化的”）

（1）师：（出示问题（2））水的高度是怎样随着容器的底面积的变化而不断变化的？（等待片刻）

（2）师：从左往右看，容器的底面积不断变大，相对应的水的高度不断变小；从右往左看，容器的底面积不断变小，相对应的水的高度不断变大。大家想一想，为什么会出现这样的现象呢？（等待片刻）

（3）师：对！因为是把相同体积的水倒入底面积不同的容器里，相对应的水的高度是会随之发生变化的（PPT出现两个方框）。当水的体积不变时，容器的底面积越大，相对应的水的高度就越小；容器的底面积越小，相对应的水的高度就越大。（PPT呈现：水的高度是随着容器的底面积的大小变化而变化的。）

（4）师：同学们，今天我们在研究水的高度和容器的底面积这两种变化的量时，也发现了一个不变的量——水的体积。

（5）师：那，水的体积与水的高度、容器的底面积之间有什么关系呢？

（6）师：（等待片刻）对！水的体积，也就是长方体的体积=底面积×高

3、问题3：相对应的容器的底面积与水的高度的乘积分别是多少？（设计意图：理解“相对应的底面积与高的乘积是一定的”）

（1）师：相应的容器的底面积与水的高度的乘积分别是多少？（等待）（出示问题（3））

（2）师：通过计算，我们发现30×10=20×15=15×20…=300（PPT出示算式），水的高度与容器的底面积的乘积都等于300，这个300实际上就是水的体积，它是一定的。这里，相对应的水的高度与容器的底面积的乘积总是一定的。（PPT出现划线此句）

4、总结

（1）师：同学们，刚才我们通过研究，发现：水的高度与容器的底面积是两种相关联的量，水的高度是随着容器的底面积的大小变化而变化的，水的高度与容器的底面积的乘积总是一定的。这时我们就说，高度与底面积是成反比例的量，高度与底面积成反比例关系。（PPT出现划线的2句）

（二）补充意义理解

1、师：同学们，请你想一想生活中还有哪两种量是成反比例的量呢？（等待）

   师：相信同学们都已经有了自己的答案。

2、教学“每天看的页数×所用天数=书的总页数”

（1）师：下面，我们一起来看看小红每天看书的页数与所用天数之间的关系。

（2）师：通过观察表格，我们发现，小红看书所用天数和每天看的页数是两种相关联的量（PPT呈现），表格中，每天看的页数发生变化，相应的所用天数也随着发生变化，也就是说，所用天数是随着每天看的页数的大小变化而变化的。（PPT呈现）一起来算一算，所用天数与每天所看页数的乘积，发现都等于150，这里的150也就是小红看书的总页数（PPT呈现）。每天看的页数×所用天数=书的总页数（一定）（PPT呈现）所用天数与每天看的页数的乘积总是一定的。（PPT呈现）所以 所用天数与每天看的页数是成反比例的量， 所用天数与每天看的页数成反比例关系。（PPT呈现）

（三）小结：反比例的意义

1、师：现在我们想一想，什么是成反比例的量？（等待）

2、师：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以用下面的式子表示：xy=k（一定）。

三、反比例图像小视频

1、师：同学们，前面我们学习正比例时，知道正比例图像是一条从（0,0）出发的无限延伸的射线，这条线上所有点对应的两个量的比值都相等。那反比例图像是怎样的呢？咱们一起来看看。[来源:学科网ZXXK]

2、播放视频

课堂练习

（难点巩固）

四、巩固练习

1、生活举例

（1）师：你能举出生活中反比例关系的例子吗？（等待片刻）

（2）师：如果总价一定，单价与数量成反比例关系。单价和数量是两种相关联的量，数量是随着单价的变化而变化的， 单价×数量 = 总价（一定）单价与数量成反比例关系。

（3）师：如果长方形的面积一定，长与宽成反比例关系。长方形的长和宽是两种相关联的量，宽是随着长的变化而变化的，长×宽= 长方形的面积（一定），长方形的长与宽成反比例关系。

2、数学书P48页做一做

（1）（PPT出示题目）师：下面请看这一题，你能独立解答下面的3个问题吗？

（2）学生独立练习

（3）师：相信同学们都已经完成了，下面我们一起来看看第1题。（1）表中有哪两种量？它们是不是相关联的量？  答：表中有每天运的吨数与运货的天数这两种量，它们是两种相关联的量。 （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小，说一说这个积表示什么。1×300=2×150=3×100=4×75=5×60=6×50=300 （一定）300表示这批货物的总吨数。（3）运货的天数与每天运的吨数成反比例关系吗？为什么？ 答：运货的天数与每天运的吨数成反比例关系。 因为运货的天数与每天运的吨数是两种相关联的量， 运货的天数是随着每天运的吨数的变化而变化的，每天运的吨数×运货的天数=这批货物的总吨数（一定）所以，运货的天数与每天运的吨数成反比例关系。

3、判断：数学书P51练习九第11题中的3题

（1）（PPT出示题目）师：判断下面各题中的两种量是否成反比例关系，并说明理由。

（第1题）

（1）煤的数量一定，使用天数与每天的平均用煤量。（等待）

（2）师：使用天数与每天的平均用煤量是两种相关联的量，使用天数是随着每天的平均用煤量的变化而变化的， 每天的平均用煤量×使用天数=煤的数量（一定），所以，煤的数量一定，使用天数与每天的平均用煤量成反比例关系。

（第2题）

（3）师：（2）全班的人数一定，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数。（等待）

（4）师：组数与每组的人数是两种相关联的量，组数是随着每组的人数的变化而变化的，每组的人数×组数=全班人数（一定），所以，全班的人数一定，组数与每组的人数成反比例关系。

（第3题）

（3）在一块菜地上种的黄瓜与西红柿的面积。（等待）

（5）师：种黄瓜的面积与种西红柿的面积是两种相关联的量， 种黄瓜的面积变化，种西红柿的面积也随着变化，种黄瓜的面积＋种西红柿的面积=一块菜地的总面积（一定），所以，在一块菜地上种的黄瓜与西红柿的面积不成反比例关系。同学们，你们都做对了吗？

小结[来源:学科网]

五、全课小结

1、师：同学们，今天这节课咱们一起学习了反比例的意义，也知道了如何去判断两种量是否成反比例。其方法是：首先判断这两种量是否是两种相关联的量，一个量变化，另一个量是否也随着发生变化；再看如果这两种量的乘积一定，那么这两种量就是成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例关系可以用xy=k（一定），这样的式子表示。

2、我们还认识了反比例图像，它是一条平滑的曲线，而不是折线。

3、师：同学们，你们都学会了吗？下面我们一起来看看今天的课堂作业。