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2022-2023学年高一数学(人教A版2019)必修第一册 专题03 函数的定义域、解析式、值域（知识串讲+热考题型+专题训练）
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这是一份2022-2023学年高一数学(人教A版2019)必修第一册 专题03 函数的定义域、解析式、值域（知识串讲+热考题型+专题训练），文件包含专题03函数的定义域解析式值域解析版docx、专题03函数的定义域解析式值域原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
专题03 函数的定义域、解析式、值域
知识点1 求函数的定义域的依据
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围
1、分式的分母不能为零.
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中
奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.
3、零次幂的底数不能为零，即中.
4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
知识点2 函数解析式的四种求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题
（1）先令，注意分析的取值范围；
（2）反解出x，即用含的代数式表示x；
（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，
然后以x替代g(x)，便得的解析式．
4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。
例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，
可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
知识点3 求函数值域的6种常用求法
1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．
（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．
（2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．
3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.
4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．
（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．
（2）换元的作用有两个：
①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．
②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理
5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，
形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法
以为例，解题步骤如下：
第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式，
第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。
6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。
另外，此种形式还可使用分离常数法解法。
考点1 具体函数的定义域求法
【例1】（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题，函数定义域满足，解得.故选：C
【变式1-1】（2022·四川省内江市第二中学高一开学考试）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【解析】由题意知：且.故选：C.
【变式1-2】（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，解得且，
所以函数的定义域为，故选：B.
【变式1-3】（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）的定义域为_________.
【答案】
【解析】由题意，函数有意义，则满足，解得，
即函数的定义域为.
故答案为：.
【变式1-4】（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为______．
【答案】
【解析】由题意得，解得或，
所以函数的定义域是．
故答案为：.
考点2 抽象函数的定义域求法
【例2】（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵的定义域为，∴，
由，得，则函数的定义域为，故选：A.
【变式2-1】（2022·全国·高一专题练习）已知f(x)的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因f(x)的定义域是，
则在中有：，解得且，
所以函数的定义域是.答案：B
【变式2-2】（2022·全国·高一课时练习）若函数y=f(x)的定义域是[0，3]，则函数g(x)=的定义域是（ ）
A．[0，1) B．(0，1) C．[0，1] D．[0，1)∪(1，9]
【答案】A
【解析】因为函数y=f(x)的定义域是[0，3]，
所以，解得，
所以函数g(x)=的定义域是故选：A
【变式2-3】（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
即，所以，
所以，
所以函数的定义域为.故选：D
【变式2-4】（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
所以，，
所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
考点3 根据函数定义域求参数
【例3】（2022·江苏·高一）已知函数.
（1）若函数定义域为，求的取值范围；
（2）若函数值域为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）函数定义域为，
对任意都成立，
当时，显然不恒成立，不合题意；
当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，
综上，实数的取值范围为
（2）函数值域为，
能取遍所有正数，
1：，解得，
2：， 符合题意
实数的取值范围为
【变式3-1】（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】由题意，函数的定义域为，
即在上恒成立，
当时，对任意恒成立；
当时，要使恒成立，即方程无实根，
只需判别式，解得，
综上，实数的取值范围是.
【变式3-2】（2022·全国·高一课时练习）（1）若函数的定义域为，则实数a的值为______；
（2）若函数在区间上有意义，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】（1）根据题意，知关于x的不等式的解集为.
当时，不符合题意；
当时，关于x的不等式的解集为，故，所以.
综上，.
（2）根据题意，知当时，关于x的不等式恒成立.
当a＝0时，符合题意；
当a≠0时，设，根据一次函数的性质，得解得.
综上，.
故答案为：-1；
【变式3-3】（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）已知的定义域为，那么a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】依题可知，的解集为，所以，解得．
故答案为：．
【变式3-4】（2022·全国·高一课时练习）（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是___________；
（2）若函数的值域为，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】（1）当时，符合题意；
当时，欲使在上恒成立，
则,解得，
综上，实数a的取值范围是；
（2）当时，，不符合题意；
当时，欲使取遍所有正数，
只须使，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：；.
考点4 待定系数法求解析式
【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知是一次函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，设，则有，解得，
所以.故选：D
【变式4-1】（2022·全国·高一课时练习）设为一次函数，且．若，则的解析式为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，其中，则，
所以，，解得或.
当时，，此时，合乎题意；
当时，，此时，不合乎题意.
综上所述，.故选：B.
【变式4-2】（2022·全国·高一专题练习）（1）已知是一次函数，且，求；
（2）已知是二次函数，且满足，求.
【答案】（1）或 ；（2）.
【解析】（1）设，
则
因为，所以
所以解得或
所以或
（2）设
由，得
由，得
整理，得
所以 所以
所以
【变式4-3】已知函数是二次函数，，．
（1）求的解析式；
（2）解不等式．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，知此二次函数图象的对称轴为，
又因为，所以是的顶点，
所以设
因为，即
所以得
所以
（2）因为所以
化为，即或
不等式的解集为
考点5 换元法与配凑法求解析式
【例5】（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为
令，所以
所以，故选：C.
【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方法一（配凑法）∵，
∴.
方法二（换元法）令，则，∴，
∴.故选：A
【变式5-2】（2022·全国·高一课时练习）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以．故选：A
【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）已知，则函数的解析式为____．
【答案】
【解析】因为
所以.
故答案为：
【变式5-4】（2022·全国·高一课时练习）已知函数.求函数的解析式；
【答案】，．
【解析】设，则，，
所以，
所以，．
考点6 方程组法求解析式
【例6】（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令为，则，
与联立可解得，．故选：D．
【变式6-1】（2022·全国·高一专题练习）若，则______．
【答案】
【解析】由①，
将用代替得②，
由①②得.
故答案为：.
【变式6-2】（2022·全国·高一专题练习）若对任意实数，均有，求.
【答案】.
【解析】利用方程组法求解即可；
∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案为： .
【变式6-3】（2022·全国·高一单元测试）已知，，则的解析式为________．
【答案】
【解析】由题知，，①；又，②；
由①②得，，
则，
故答案为：
【变式6-4】（2022·河北·邢台市第二中学高一开学考试）已知函数满足，且，，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由①，得②，
由，得，即．
因为在上单调递增，
所以，所以，解得．故选：D.
考点7 利用函数单调性求值域
【例7】（2022·全国·高一单元测试）函数，的值域是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】任取，且，
则，
当，且时，，，
所以，即，
当，且时，，，
所以，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，
所以在上的值域为故选：A
【变式7-1】（2022·四川雅安·高一期末）的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，又在时单调递增，
所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，故选：A.
【变式7-2】（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为_______________．
【答案】
【解析】因为，，
所以此函数的定义域为，
又因为是减函数，
当
当
所以值域为
故答案为：．
【变式7-3】（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知函数，且，，则函数的值域是______.
【答案】
【解析】因为，，
所以，即，解得：
所以，
设且，
所以，
因为且，所以，
所以，即，
所以，即在上单调递减，
所以，
所以，函数的值域是
故答案为：
【变式7-4】（2022·四川凉山·高一期末）函数在区间上的最大值为______.
【答案】11
【解析】，
因为、、、在上都为增函数，
所以在上单调递增，
所以当时取得最大值，即
故答案为：.
考点8 换元法求函数值域
【例8】（2022·辽宁·高一期末）已知函数，则的最小值（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】对于函数，
任取，，
其中，所以，
所以在上递增.
，
令，则，
由于在上递增，
当时有最小值为，
所以的最小值为.故选：A
【变式8-1】（2022·全国·高一课时练习）函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则则
函数在上单调递减，在上单调递增，
，故选A．
【变式8-1】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于函数，，当且仅当时等号成立，所以.
令，
则，
由于时，递减，所以，
也即的值域为.故选：D
【变式8-3】（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．
根据对勾函数的性质，
得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以．故选：B
【变式8-4】（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的定义域为，
中，，解得，
即的定义域为，令，则
则，
当时，；当时，，
的值域为.故选：B.
【变式8-5】（2022·全国·高一课时练习）若函数的值域是，则函数的值域是________.
【答案】
【解析】因函数的值域是，从而得函数值域为，
函数变为，，
由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，
时，，而时，，时，，即，
所以原函数值域是.
故答案为：
【变式8-6】（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
∵，
∴，
∴函数的值域为，故选：D
考点9 二次型函数的值域
【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知函数f (x)，，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,对称轴,当,又因为 ,
所以函数的值域为.故选:D
【变式9-1】（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，因此该函数的对称轴为：，
因为，所以当时，函数有最小值，最小值为，
而，所以最大值为，因此值域为，故选：C
【变式9-2】（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则且
又因为，
所以，所以，
即函数的值域为，故选：B.
【变式9-3】（2022·上海市徐汇中学高一阶段练习）函数的最大值是________
【答案】
【解析】因为，当时取等号，
所以，所以.
故答案为：.
【变式9-4】（2022·浙江杭州·高一期末）已知设，则函数的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】当，即时，在上单调递增，
所以，
当，即时，
在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以；
综上：函数的最大值为1故选：B
【变式9-5】（2022·湖北·武汉市第十五中学高一期末）函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________.
【答案】或
【解析】∵
令，则，
则，其对称轴为.
该二次函数在上是增函数.
①若，由，得，
故当，即时，，解得(舍去).
②若，由，可得，
故当，即时，.
∴或(舍去).
综上可得或.
故答案为：或.
考点10 分式型函数的值域
【例10】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则该函数在上的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
在上单调递减，在，上单调递增，
是在，上的最小值，且，，
在，上的值域为，．故选：A．
【变式10-1】（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，，
令，则，
原函数化为，
该函数在上为减函数，在上为增函数，
又当时，，当时，，当时，.
∴函数的值域为，
则函数的值域为.故选：C.
【变式10-2】（2022·全国·高一课时练习）函数在区间的最大值是______．
【答案】1
【解析】∵函数，
∴函数在区间上为单调增函数
∴当时，函数取得最大值，为.
故答案为：.
【变式10-3】（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）若不等式对于一切恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于一切成立，
则等价为a⩾对于一切x∈(0,)成立，
即a⩾−x−对于一切x∈(0,)成立，
设y=−x−,则函数在区间(0,〕上是增函数
∴−x−<−−2=，
∴a⩾.故选C.
【变式10-4】（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．不存在
【答案】B
【解析】令，
函数在上是增函数，
在上也是增函数．
当，即，时，．故选：B．
【变式10-5】（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（ ）
A．［－1,0] B． C．［0,2] D．
【答案】B
【解析】解法一：因为幂函数的图象过点 ，
所以，可得，所以，．
因为，所以，故．
因此，函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．
解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，
所以．因为，所以．因为，
所以，所以，解得，
即函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．
1．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【解析】由函数解析式有意义可得且，
所以函数的定义域是且，故选：D.
2．（2022·辽宁·高一期末）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意函数的定义域为，
，所以，
解得或，
所以的定义域为.故选：B
3．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，函数的定义域为[1，10]，
则函数成立需要满足，解得.故选：B.
4．（2022·湖南·雅礼中学高一期中）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因此，函数的值域是.故选：B.
5．（2022·四川雅安·高一期末）的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，又在时单调递增，
所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，故选：A.
6．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数的定义域与值域均为，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】∵的解集为，
∴方程的解为或4，
则，，，
∴，
又因函数的值域为，
∴，∴.故选：A.
7．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）若函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数满足 ---①
所以 ---②
联立①②，得，解得，
∴，故选：A
8．（2022·全国·高一期中）若函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，即值域为，满足题意；
若，设，则需的值域包含，
，解得：；
综上所述：的取值范围为.故选：C.
9．（2022·甘肃·兰州市第二中学高一期末）已知的值域为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当，，
所以当时，，
因为的值域为R，
所以当时，值域最小需满足
所以，解得，故选：C
10．（2021·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）（多选）已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
【答案】BC
【解析】函数的定义域是，故A错误；
当时，，值域为，
当时，，值域为，故的值域为，故B正确；
当时，令，无解，
当时，令，得到，故C正确；
当时，令，解得，
当时，令，解得，
故的解集为，故D错误．
故选：BC．
11．（2022·湖北武汉·高一期末）（多选）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B． C．， D．
【答案】AB
【解析】时取等，A正确；
时取等，B正确；
，C错；
，D错.
故选：AB.
12．（2020·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数的图像经过点，则函数在上的最小值为___________.
【答案】
【解析】由题知，，解得
则，所以当时，有最小值.
故答案为：
13．（2021·湖北黄石·高一期中）函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】由题意，解得且，所以定义域为．
故答案为：．
14．（2022·河南新乡·高一期末）函数的值域为__________．
【答案】
【解析】，由，得，
因为在上单调递增，所以，即的值域为.
故答案为：
15．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）已知，那么_____.
【答案】
【解析】设，则，
所以，，则.
故答案为：.
16．（2022·上海市第三女子中学高一期末）函数的值域是______.
【答案】
【解析】，，
故答案为
17．（2022·甘肃兰州·高一期末）函数的定义域是__________，值域是__________.
【答案】
【解析】对于函数，有，即，解得，
且.
因此，函数的定义域为，值域为.
故答案为：；.
18．（2020·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知函数.
（1）用单调性定义证明函数在上为减函数；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：设对任意的，则
由题设可得，，
，即.
故函数在上为减函数..
（2）由题知，
又的定义域为关于原点对称，
是奇函数.
又由（1）得在上为减函数，
在上也是减函数.
函数在上的最大值为.
19．（2022·广东深圳·高一期末）已知二次函数.
（1）若函数满足，且.求的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值.
【答案（1）；（2）
【解析】（1）设，
由已知代入，得，
对于恒成立，
故，解得，又由，得，
所以；
（2）若对任意，不等式恒成立，
整理得：恒成立，因为a不为0，
所以，所以，
所以，
令，因为，所以，
若时，此时，
若时，，
当时，即时，上式取得等号，
综上的最大值为.
20．（2022·甘肃兰州·高一期末）求下列函数的解析式
（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）若函数，求．
【答案】（1），；（2），.
【解析】（1）因为是一次函数，设，
则，
所以，
则，解得，
所以；
（2）由函数，
令，则，
所以，
所以.
专题03 函数的定义域、解析式、值域
知识点1 求函数的定义域的依据
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围
1、分式的分母不能为零.
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中
奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.
3、零次幂的底数不能为零，即中.
4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
知识点2 函数解析式的四种求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题
（1）先令，注意分析的取值范围；
（2）反解出x，即用含的代数式表示x；
（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，
然后以x替代g(x)，便得的解析式．
4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。
例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，
可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
知识点3 求函数值域的6种常用求法
1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．
（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．
（2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．
3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.
4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．
（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．
（2）换元的作用有两个：
①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．
②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理
5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，
形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法
以为例，解题步骤如下：
第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式，
第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。
6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。
另外，此种形式还可使用分离常数法解法。
考点1 具体函数的定义域求法
【例1】（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题，函数定义域满足，解得.故选：C
【变式1-1】（2022·四川省内江市第二中学高一开学考试）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【解析】由题意知：且.故选：C.
【变式1-2】（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，解得且，
所以函数的定义域为，故选：B.
【变式1-3】（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）的定义域为_________.
【答案】
【解析】由题意，函数有意义，则满足，解得，
即函数的定义域为.
故答案为：.
【变式1-4】（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为______．
【答案】
【解析】由题意得，解得或，
所以函数的定义域是．
故答案为：.
考点2 抽象函数的定义域求法
【例2】（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵的定义域为，∴，
由，得，则函数的定义域为，故选：A.
【变式2-1】（2022·全国·高一专题练习）已知f(x)的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因f(x)的定义域是，
则在中有：，解得且，
所以函数的定义域是.答案：B
【变式2-2】（2022·全国·高一课时练习）若函数y=f(x)的定义域是[0，3]，则函数g(x)=的定义域是（ ）
A．[0，1) B．(0，1) C．[0，1] D．[0，1)∪(1，9]
【答案】A
【解析】因为函数y=f(x)的定义域是[0，3]，
所以，解得，
所以函数g(x)=的定义域是故选：A
【变式2-3】（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
即，所以，
所以，
所以函数的定义域为.故选：D
【变式2-4】（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
所以，，
所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
考点3 根据函数定义域求参数
【例3】（2022·江苏·高一）已知函数.
（1）若函数定义域为，求的取值范围；
（2）若函数值域为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）函数定义域为，
对任意都成立，
当时，显然不恒成立，不合题意；
当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，
综上，实数的取值范围为
（2）函数值域为，
能取遍所有正数，
1：，解得，
2：， 符合题意
实数的取值范围为
【变式3-1】（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】由题意，函数的定义域为，
即在上恒成立，
当时，对任意恒成立；
当时，要使恒成立，即方程无实根，
只需判别式，解得，
综上，实数的取值范围是.
【变式3-2】（2022·全国·高一课时练习）（1）若函数的定义域为，则实数a的值为______；
（2）若函数在区间上有意义，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】（1）根据题意，知关于x的不等式的解集为.
当时，不符合题意；
当时，关于x的不等式的解集为，故，所以.
综上，.
（2）根据题意，知当时，关于x的不等式恒成立.
当a＝0时，符合题意；
当a≠0时，设，根据一次函数的性质，得解得.
综上，.
故答案为：-1；
【变式3-3】（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）已知的定义域为，那么a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】依题可知，的解集为，所以，解得．
故答案为：．
【变式3-4】（2022·全国·高一课时练习）（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是___________；
（2）若函数的值域为，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】（1）当时，符合题意；
当时，欲使在上恒成立，
则,解得，
综上，实数a的取值范围是；
（2）当时，，不符合题意；
当时，欲使取遍所有正数，
只须使，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：；.
考点4 待定系数法求解析式
【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知是一次函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，设，则有，解得，
所以.故选：D
【变式4-1】（2022·全国·高一课时练习）设为一次函数，且．若，则的解析式为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，其中，则，
所以，，解得或.
当时，，此时，合乎题意；
当时，，此时，不合乎题意.
综上所述，.故选：B.
【变式4-2】（2022·全国·高一专题练习）（1）已知是一次函数，且，求；
（2）已知是二次函数，且满足，求.
【答案】（1）或 ；（2）.
【解析】（1）设，
则
因为，所以
所以解得或
所以或
（2）设
由，得
由，得
整理，得
所以 所以
所以
【变式4-3】已知函数是二次函数，，．
（1）求的解析式；
（2）解不等式．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，知此二次函数图象的对称轴为，
又因为，所以是的顶点，
所以设
因为，即
所以得
所以
（2）因为所以
化为，即或
不等式的解集为
考点5 换元法与配凑法求解析式
【例5】（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为
令，所以
所以，故选：C.
【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方法一（配凑法）∵，
∴.
方法二（换元法）令，则，∴，
∴.故选：A
【变式5-2】（2022·全国·高一课时练习）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以．故选：A
【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）已知，则函数的解析式为____．
【答案】
【解析】因为
所以.
故答案为：
【变式5-4】（2022·全国·高一课时练习）已知函数.求函数的解析式；
【答案】，．
【解析】设，则，，
所以，
所以，．
考点6 方程组法求解析式
【例6】（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令为，则，
与联立可解得，．故选：D．
【变式6-1】（2022·全国·高一专题练习）若，则______．
【答案】
【解析】由①，
将用代替得②，
由①②得.
故答案为：.
【变式6-2】（2022·全国·高一专题练习）若对任意实数，均有，求.
【答案】.
【解析】利用方程组法求解即可；
∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案为： .
【变式6-3】（2022·全国·高一单元测试）已知，，则的解析式为________．
【答案】
【解析】由题知，，①；又，②；
由①②得，，
则，
故答案为：
【变式6-4】（2022·河北·邢台市第二中学高一开学考试）已知函数满足，且，，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由①，得②，
由，得，即．
因为在上单调递增，
所以，所以，解得．故选：D.
考点7 利用函数单调性求值域
【例7】（2022·全国·高一单元测试）函数，的值域是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】任取，且，
则，
当，且时，，，
所以，即，
当，且时，，，
所以，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，
所以在上的值域为故选：A
【变式7-1】（2022·四川雅安·高一期末）的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，又在时单调递增，
所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，故选：A.
【变式7-2】（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为_______________．
【答案】
【解析】因为，，
所以此函数的定义域为，
又因为是减函数，
当
当
所以值域为
故答案为：．
【变式7-3】（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知函数，且，，则函数的值域是______.
【答案】
【解析】因为，，
所以，即，解得：
所以，
设且，
所以，
因为且，所以，
所以，即，
所以，即在上单调递减，
所以，
所以，函数的值域是
故答案为：
【变式7-4】（2022·四川凉山·高一期末）函数在区间上的最大值为______.
【答案】11
【解析】，
因为、、、在上都为增函数，
所以在上单调递增，
所以当时取得最大值，即
故答案为：.
考点8 换元法求函数值域
【例8】（2022·辽宁·高一期末）已知函数，则的最小值（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】对于函数，
任取，，
其中，所以，
所以在上递增.
，
令，则，
由于在上递增，
当时有最小值为，
所以的最小值为.故选：A
【变式8-1】（2022·全国·高一课时练习）函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则则
函数在上单调递减，在上单调递增，
，故选A．
【变式8-1】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于函数，，当且仅当时等号成立，所以.
令，
则，
由于时，递减，所以，
也即的值域为.故选：D
【变式8-3】（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．
根据对勾函数的性质，
得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以．故选：B
【变式8-4】（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的定义域为，
中，，解得，
即的定义域为，令，则
则，
当时，；当时，，
的值域为.故选：B.
【变式8-5】（2022·全国·高一课时练习）若函数的值域是，则函数的值域是________.
【答案】
【解析】因函数的值域是，从而得函数值域为，
函数变为，，
由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，
时，，而时，，时，，即，
所以原函数值域是.
故答案为：
【变式8-6】（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
∵，
∴，
∴函数的值域为，故选：D
考点9 二次型函数的值域
【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知函数f (x)，，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,对称轴,当,又因为 ,
所以函数的值域为.故选:D
【变式9-1】（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，因此该函数的对称轴为：，
因为，所以当时，函数有最小值，最小值为，
而，所以最大值为，因此值域为，故选：C
【变式9-2】（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则且
又因为，
所以，所以，
即函数的值域为，故选：B.
【变式9-3】（2022·上海市徐汇中学高一阶段练习）函数的最大值是________
【答案】
【解析】因为，当时取等号，
所以，所以.
故答案为：.
【变式9-4】（2022·浙江杭州·高一期末）已知设，则函数的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】当，即时，在上单调递增，
所以，
当，即时，
在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以；
综上：函数的最大值为1故选：B
【变式9-5】（2022·湖北·武汉市第十五中学高一期末）函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________.
【答案】或
【解析】∵
令，则，
则，其对称轴为.
该二次函数在上是增函数.
①若，由，得，
故当，即时，，解得(舍去).
②若，由，可得，
故当，即时，.
∴或(舍去).
综上可得或.
故答案为：或.
考点10 分式型函数的值域
【例10】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则该函数在上的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
在上单调递减，在，上单调递增，
是在，上的最小值，且，，
在，上的值域为，．故选：A．
【变式10-1】（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，，
令，则，
原函数化为，
该函数在上为减函数，在上为增函数，
又当时，，当时，，当时，.
∴函数的值域为，
则函数的值域为.故选：C.
【变式10-2】（2022·全国·高一课时练习）函数在区间的最大值是______．
【答案】1
【解析】∵函数，
∴函数在区间上为单调增函数
∴当时，函数取得最大值，为.
故答案为：.
【变式10-3】（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）若不等式对于一切恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于一切成立，
则等价为a⩾对于一切x∈(0,)成立，
即a⩾−x−对于一切x∈(0,)成立，
设y=−x−,则函数在区间(0,〕上是增函数
∴−x−<−−2=，
∴a⩾.故选C.
【变式10-4】（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．不存在
【答案】B
【解析】令，
函数在上是增函数，
在上也是增函数．
当，即，时，．故选：B．
【变式10-5】（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（ ）
A．［－1,0] B． C．［0,2] D．
【答案】B
【解析】解法一：因为幂函数的图象过点 ，
所以，可得，所以，．
因为，所以，故．
因此，函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．
解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，
所以．因为，所以．因为，
所以，所以，解得，
即函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．
1．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【解析】由函数解析式有意义可得且，
所以函数的定义域是且，故选：D.
2．（2022·辽宁·高一期末）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意函数的定义域为，
，所以，
解得或，
所以的定义域为.故选：B
3．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，函数的定义域为[1，10]，
则函数成立需要满足，解得.故选：B.
4．（2022·湖南·雅礼中学高一期中）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因此，函数的值域是.故选：B.
5．（2022·四川雅安·高一期末）的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，又在时单调递增，
所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，故选：A.
6．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数的定义域与值域均为，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】∵的解集为，
∴方程的解为或4，
则，，，
∴，
又因函数的值域为，
∴，∴.故选：A.
7．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）若函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数满足 ---①
所以 ---②
联立①②，得，解得，
∴，故选：A
8．（2022·全国·高一期中）若函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，即值域为，满足题意；
若，设，则需的值域包含，
，解得：；
综上所述：的取值范围为.故选：C.
9．（2022·甘肃·兰州市第二中学高一期末）已知的值域为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当，，
所以当时，，
因为的值域为R，
所以当时，值域最小需满足
所以，解得，故选：C
10．（2021·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）（多选）已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
【答案】BC
【解析】函数的定义域是，故A错误；
当时，，值域为，
当时，，值域为，故的值域为，故B正确；
当时，令，无解，
当时，令，得到，故C正确；
当时，令，解得，
当时，令，解得，
故的解集为，故D错误．
故选：BC．
11．（2022·湖北武汉·高一期末）（多选）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B． C．， D．
【答案】AB
【解析】时取等，A正确；
时取等，B正确；
，C错；
，D错.
故选：AB.
12．（2020·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数的图像经过点，则函数在上的最小值为___________.
【答案】
【解析】由题知，，解得
则，所以当时，有最小值.
故答案为：
13．（2021·湖北黄石·高一期中）函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】由题意，解得且，所以定义域为．
故答案为：．
14．（2022·河南新乡·高一期末）函数的值域为__________．
【答案】
【解析】，由，得，
因为在上单调递增，所以，即的值域为.
故答案为：
15．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）已知，那么_____.
【答案】
【解析】设，则，
所以，，则.
故答案为：.
16．（2022·上海市第三女子中学高一期末）函数的值域是______.
【答案】
【解析】，，
故答案为
17．（2022·甘肃兰州·高一期末）函数的定义域是__________，值域是__________.
【答案】
【解析】对于函数，有，即，解得，
且.
因此，函数的定义域为，值域为.
故答案为：；.
18．（2020·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知函数.
（1）用单调性定义证明函数在上为减函数；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：设对任意的，则
由题设可得，，
，即.
故函数在上为减函数..
（2）由题知，
又的定义域为关于原点对称，
是奇函数.
又由（1）得在上为减函数，
在上也是减函数.
函数在上的最大值为.
19．（2022·广东深圳·高一期末）已知二次函数.
（1）若函数满足，且.求的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值.
【答案（1）；（2）
【解析】（1）设，
由已知代入，得，
对于恒成立，
故，解得，又由，得，
所以；
（2）若对任意，不等式恒成立，
整理得：恒成立，因为a不为0，
所以，所以，
所以，
令，因为，所以，
若时，此时，
若时，，
当时，即时，上式取得等号，
综上的最大值为.
20．（2022·甘肃兰州·高一期末）求下列函数的解析式
（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）若函数，求．
【答案】（1），；（2），.
【解析】（1）因为是一次函数，设，
则，
所以，
则，解得，
所以；
（2）由函数，
令，则，
所以，
所以.
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