2022-2023学年高一数学(人教A版2019)必修第一册 专题04 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（知识串讲+热考题型+专题训练）

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专题04 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）







知识点1 函数的单调性
1、单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。
2、单调性的图形趋势（从左往右）

上升趋势 下降趋势
3、函数的单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
4、单调性定义的等价形式:
（1）函数在区间上是增函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
（2）函数在区间上是减函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
5、定义法证明函数单调性的步骤
①取值：设，为该区间内任意的两个值，且
②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形
③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论
④判断：根据定义做出结论。
6、函数单调性的性质
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.
（4）若≥0，则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
知识点2 函数的奇偶性
1、函数奇偶性的定义
（1）奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称
（2）偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。
偶函数的性质：，可避免讨论．
2、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
知识点3 函数的周期性
1、周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．
3、函数周期性的常用结论（是不为0的常数）
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若，则（）；
知识点4 函数的对称性
1、函数对称性的常用结论
（1）若，则函数图象关于对称；
（2）若，则函数图象关于对称；
（3）若，则函数图象关于对称；
（4）若，则函数图象关于对称；
2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系
（1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称，
当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；
（2）若函数满足，则其函数图象关于点对称，
当，时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；
3、函数对称性与周期性的关系
1、若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是；
2、若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是；
3、若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是.
4、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
（1）①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为.
（2）①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为.
（3）①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为.
（4）①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为.
其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。



考点1 求函数的单调区间

【例1】（2022·全国·高一单元测试）函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．


【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．


【变式1-2】（2022·全国·高一单元测试）函数的单调增区间是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和


【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）函数的单调增区间为（ ）
A． B． C．和 D．


【变式1-4】（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间是______．


考点2 定义法证明函数的单调性

【例2】（2022·全国·高一单元测试）已知函数.判断在区间上的单调性，并用定义法证明.


【变式2-1】（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）已知函数满足，且.
（1）求和函数的解析式；
（2）用定义法证明在其定义域的单调性.


【变式2-2】（2020·陕西·榆林市第十中学高三期中（理））已知.
（1）求的解析式；
（2）试用函数单调性定义证明：在上单调递增.


【变式2-3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．


【变式2-4】（2021·安徽宿州·高一期中）已知函数对任意，总有，且对，都有.
（1）判断并用定义证明函数的单调性；
（2）解关于的不等式.


考点3 利用函数的单调性求参数

【例3】（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上具有单调性，则m的取值范围为_______.


【变式3-1】（2022·全国·高一课时练习）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


【变式3-2】（2022·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【变式3-3】（2022·全国·高一单元测试）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


考点4 函数奇偶性的判断与证明

【例4】（2022·陕西·武功县普集高级中学高一期末）下列函数中为奇函数，且在定义域上为增函数的有（ ）
A． B． C． D．


【变式4-1】（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在区间内单调递增的有（ ）
A． B． C． D．


【变式4-2】（2021·广东·金山中学高一期中）函数在其定义域内是 （ ）
A．减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．非奇非偶函数


【变式4-3】（2022·全国·高一课时练习）已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为上的奇函数 B．为上的奇函数
C．为上的偶函数 D．为上的偶函数


【变式4-4】（2021·浙江绍兴·高二期末）已知为上的函数，其中函数为奇函数，函数为偶函数，则
A．函数为偶函数 B．函数为奇函数
C．函数为偶函数 D．函数为奇函数


【变式4-5】（2021·陕西·西工大附中分校高一期中）若定义在上的函数满足：对于任意的、，恒有，则函数为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．无法判断奇偶性


【变式4-6】（2022·全国·高一课时练习）设函数对任意，都有，证明：为奇函数．


考点5 利用函数奇偶性取值求参

【例5】（2022·全国·高一课时练习）若函数是偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．


【变式5-1】（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知函数为奇函数，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2


【变式5-2】（2022·全国·高一课时练习）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．


【变式5-3】（2022·广东韶关实验中学高一期中）函数为上的奇函数，时，，则=（ ）
A． B． C．2 D．6


【变式5-4】（2021·广东·揭阳华侨高中高一期中）（多选）是奇函数，是偶函数，且，，则（ ）
A． B． C． D．


【变式5-5】（2021·山西大附中高一期中）设函数（其中为常数，），若，则（ ）
A． B． C． D．


【变式5-6】（2022·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（ ）
A．－506 B．506 C．2022 D．2024


考点6 利用函数奇偶性求解析式
【例6】（2022·江苏·高一单元测试）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．


【变式6-1】（2022·全国·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________．


【变式6-2】（2022·全国·高一单元测试）已知是偶函数，当时，，则当时，_________．


【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．


考点7 利用单调性奇偶性解不等式

【例7】（2022·全国·高一单元测试）设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


【变式7-1】（2022·全国·高一课时练习）已知是R上的奇函数，且，当，，且时，，则当时，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式7-2】（2022·全国·高一课时练习）偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．


【变式7-3】（2022·全国·高一课时练习）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或


【变式7-4】（2022·全国·高一单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


【变式7-5】（2022·全国·高一课时练习）已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


【变式7-6】（2022·四川泸州·高一期末）定义在上的函数满足，若的图像关于点对称，且函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．


考点8 利用单调性奇偶性比较大小

【例8】（2022·全国·高一课时练习）已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．


【变式8-1】（2022·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（ ）
A． B．
C． D．


【变式8-2】（2022·全国·高一课时练习）设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）
A． B．
C． D．


【变式8-3】（2021·江苏·徐州市第七中学高一期中）二次函数在区间上为偶函数，又，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．


【变式8-4】（2022·贵州遵义·高一期末）对，函数满足，.当时.设，，，则，，的大小关系为______.


考点9 利用函数的周期性求值
【例9】（2022·四川攀枝花·高一期末）已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______．


【变式9-1】（2022·全国·高一期中）已知函数的定义域是R，为偶函数，，成立，，则（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2


【变式9-2】（2022·全国·高一期中）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A． B． C． D．


【变式9-3】（2022·全国·高一课时练习）是定义在上的偶函数，是奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．


【变式9-4】（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1


考点10 函数对称性的应用

【例10】（2022·全国·高一课时练习）已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


【变式10-1】（2022·全国·高一单元测试）已知函数是偶函数，则图像的对称轴是（ ）
A． B． C． D．


【变式10-2】（2022·全国·高一单元测试）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的图象关于直线对称
C．是奇函数 D．的图象关于点对称


【变式10-3】（2022·全国·高一单元测试）设函数，若函数的图象关于点对称，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2


【变式10-4】（2022·全国·高一单元测试）（多选）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称


【变式10-5】（2022·全国·高一期中）（多选）已知函数对，都有，，且，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点（-2，0）中心对称
C． D．



1．（2022·安徽·高一期中）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·天津市第二南开中学高一期中）下列选项中正确的是（ ）
A．函数的单调增区间为
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．函数是增函数
3．（2022·全国·高一期中）若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]
5．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则=（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．（2021·内蒙古·包头市第四中学高一期中）已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ）
A． B．8 C． D．24
7．（2021·河南·高一期中）已知奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·河南·高一期中）已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．0
9．（2021·内蒙古·呼和浩特市第一中学高一期中）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·贵州毕节·高一期中）函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·江苏省西亭高级中学高一期中）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A．[－2，2] B．[－1，2] C．[0，4] D．[1，3]
12．（2021·湖北荆州·高一期中）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·湖北·黄冈中学新兴分校高一期中）已知在区间上的最大值为2，则t的值为（ ）
A．或3 B．3 C．或 D．或6
15．（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）（多选）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．， B．， C．， D．，
16．（2022·全国·高一期中）（多选）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（ ）
A． B． C．是奇函数 D．若，则
17．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知奇函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为_________．
18．（2022·贵州·凯里一中高一期中）函数，若，则实数m的取值范围是____________．
19．（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）定义在区间上的偶函数，最大值为，则__________.
20．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知函数．
（1）当时，判断函数的奇偶性；
（2）当时，判断函数在上的单调性，并证明．
21．（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）已知函数(常数).
（1）若，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;
（2）若该函数在区间上是严格减函数，且在上存在自变量，使得函数值为正，求整数的值.
22．（2022·江西·高一期中）已知函数.
（1）用定义法证明在上单调递减，在上单调递增；
（2）若的最小值是6，求a的值．