初中数学北师大版九年级上册6 应用一元二次方程当堂检测题

这是一份初中数学北师大版九年级上册6 应用一元二次方程当堂检测题

第16课一元二次方程 单元综合检测一、单选题1．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义即可解答．解：①ax2+bx+c=0当a=0不是一元二次方程；②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程；③x2＋＋5＝0是分式方程；④x2＋5x3﹣6＝0是一元三次方程；⑤3x2=3（x-2）2是一元一次方程；⑥12x-10=0是一元一次方程．故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．2．已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ）A．n=0 B． n=0或mn同号C．n是m的整数倍 D．mn异号【答案】B【解析】【分析】首先求出x2的值为-，再根据x2≥0确定m、n的符号即可．mx2+n=0，x2=-，∵x2≥0，∴-≥0，∴≤0，∴m、n异号，或n=0故选B．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是表示出x2的值，根据x2的取值范围确定m、n的符号．3．方程的解是（             ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】把方程化为一元二次方程的一般形式，用一元二次方程的求根公式求出方程的根．解：方程整理得：x2+3x-14=0a=1，b=3，c=-14，△=9+56=65．故选B．【点睛】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，先把方程化为一元二次方程的一般形式，计算判别式的值，再用求根公式求出方程的根．4．一元二次方程的根的情况是（   ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式解答即可．解：对于一元二次方程，∵△=，∴原方程没有实数根；故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题目，熟知根的判别式与方程的根的个数的关系是解题关键．5．解方程：①；②；③；④．较简便的解法是（ ）A．依次用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法B．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法C．依次用因式分解法、公式法、配方法和因式分解法D．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法【答案】D【解析】【分析】要看式子的特点，先看它是几项式，再看符合哪个特点从而选择合适的方法：①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法．解：①3x2-12=0符合ax2=b（a，b同号且a≠0）的特点所以用直接开平方法；②3x2-4x-2=0，等号左边有3项，需要用求根公式法；③20x2-9x-16=0，等号左边有3项，需要用求根公式法；④3（4x-1）2=7（4x-1），可以把4x-1看做是个整体，利用因式分解法解方程，故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．6．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（       ）A．人 B．人 C．人 D．人【答案】B【解析】【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，依题意得 1+x+x(1+x)=121 ，即 (1+x)2=121 ，解方程得 x1=10 ， x2=−12 （舍去）故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握传播问题的列式方法．7．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（       ）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【解析】【分析】设小道的宽度应为x m，则剩余部分可合成长为（40-2x）m，宽为（26-x）m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为864m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，依题意得：，整理，得．解得，，．（不合题意，舍去），．答：小道进出口的宽度应为2米．故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0【答案】B【解析】试题分析：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，可得：α•β=﹣6，α+β=3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，故选B．9．若关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（       ）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】【分析】设的两根分别为 可得 由关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，可得＜ 再列不等式：＜ 解不等式可得答案．解：设的两根分别为 关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，＜ ＜ ＜ ＜ 符合题意，所以不符合题意，符合题意，故选：【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元一次不等式的解法，掌握以上知识是解题的关键．10．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，则的值为（   ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】【分析】先求得x2=x+1，再代入即可得出答案．解：∵x2-x-1=0，∴x2=x+1，∴=（x+1）2+x(x+1)-5x+3=x2+2x+1+x²+x-5x+3=2x2-2x+4=2(x+1)-2x+4=2x+2-2x+4=6，故选：D．【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．二、填空题11．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．【答案】     m=﹣1     ﹣2     ﹣4     3【解析】【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．解：根据题意得，|m|+1=2且m﹣1≠0，解得m=1或﹣1且m≠1，所以，m=﹣1，m﹣1=﹣1﹣1=﹣2，所以，此方程为，所以，此方程的二次项系数为﹣2，一次项系数为﹣4，常数项为3．故答案为：m=﹣1；﹣2，﹣4，3．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．若一元二次方程的一个根为0，则___________．【答案】1【解析】【分析】把代入原方程求得a的值，结合一元二次方程的定义综合得到答案．解：把代入得：，解得：，又因为：为一元二次方程，所以：，所以：．故答案为：．【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念及一元二次方程的解，掌握相关知识点是解题关键．13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________．【答案】 且【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到2a−1≠0且Δ＝−4（2a−1）×3＞0，然后解不等式得到它们的公共部分即可．解：根据题意得：2a−1≠0且Δ＝−4（2a−1）×3＞0，解得： 且 ，故答案为： 且．【点睛】本题考查了一元二次方程a＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝−4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义及解不等式．14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．【答案】【解析】【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程．解：设平均每年增产的百分率为x；第一年粮食的产量为：300（1+x）；第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；故答案为：300（1+x）2＝363．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．15．已知方程的两个实数根分别为、，则__．【答案】-5【解析】【分析】对原式进行通分，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．解：∵方程的两个实数根分别为、，∴，，∴，故答案为：-5．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，掌握并熟练运用基本结论是解题关键．16．已知实数，满足，则的值为________．【答案】2.【解析】【分析】把看作是一个整体，假设,则原式可转化为，解方程可得(即)的值，注意为非负数.解：设，则：解得，因为，所以的值为2.【点睛】本题考查了换元法，把某个式子看成一个整体，然后用一个字母代替，进行等量代换．17．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程的解是________．【答案】或【解析】【分析】首先根据一元二次方程解的定义求出和的值，然后代入所求方程整理求解即可．解：∵方程的解为：x1=3，x2=7，∴，解得：，∵，，∴，∴，∴或，故答案为：或．【点睛】本题考查解一元二次方程的拓展应用，掌握解一元二次方程的基本方法是解题关键．18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【解析】【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．三、解答题19．解方程（1）；             （2）；（3）（配方法）；       （4）.【答案】（1），；（2），；（3），；（4）①当时， ；②当时，若， ；若，方程无解【解析】【分析】（1）根据配方法的步骤将方程常数项移动右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；（2）利用因式分解法即可求得方程的解；（3）根据配方法的一般步骤，把常数项移到等号的右边，一次项移到等号的左边，再在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，化为完全平方式，再开方即可得出答案；（4）分m=0和两种情况考虑，当时，再分△≥0和△＜0两种情况考虑，即可得到方程的解．（1）解：或，；（2）解：或，；（3）解：，；（4）解：①当时，，解得：；②当时，，若，即，；若，即，方程无解．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是能够根据方程的结构特征选择适当的解法．20．用适当的方法解一元二次方程（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），；（2），；（3），；（4），【解析】【分析】（1）先变形为，然后利用直接开平方法解方程；（2）先变形为，然后利用直接开平方法解方程；（3）运用公式法求解；（4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．原方程可化为，∴，用直接开平方法，得方程的根为，．（2）原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+，∴x2=．用直接开平方法，得原方程的根为，．（3）a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0，∴，．（4）将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．21．已知关于的方程.（1）当为何值时，方程只有一个实数根？（2）当为何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？【答案】(1)m=3;(2) ;(3) 且【解析】【分析】（1）令二次项为0，即时求解即可；（2）根据根的判别式令△=b2-4ac=0，然后求解即可；（3）根据△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，然后求解即可.（1）∵方程只有一个实数根，，解得（2）∵方程有两个相等的实数根，，，解得（3）∵方程有两个不相等的实数根，且，且，解得且.【点睛】本题考查了根的判别式．解题的关键是根据根的判别式计算的结果能分3种情况讨论．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．【答案】（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3.【解析】【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况；（2）根据根与系数的关系即可求出答案．（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1或m=3【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．23．如图，在足够大的空地上有一段长为的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中．已知矩形菜园的一边靠墙，修筑另三边一共用了木栏．若所围成的矩形菜园的面积为，求的长．【答案】2m【解析】【分析】设AB＝x米，则AD＝米，根据矩形的面积公式得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，故可求出AD的长．解：设的长为，则的长为．依题意，得，解得，．当时，（不符合题意，舍去）．当时，．∴的长为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．某企业设计了一款工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？【答案】销售单价为90元或70元时，每天的销售利润可达4000元．【解析】【分析】设销售单价降低x元，从而可得每天的销售量是件，再根据“利润（销售单价单价成本）销售量”建立方程，然后解方程即可得．设销售单价降低x元，则销售单价为元，每天的销售量是件，由题意得：，整理得：，解得或，因为要求销售单价不得低于成本，所以，解得，因此和均符合题意，则或70，答：销售单价为90元或70元时，每天的销售利润可达4000元．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．25．某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“若购买不超过40台学习机，则每台售价800元，若超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”，该学习机的进价与进货数量关系如图所示：（1）当时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台时，每台学习机可以获利多少元？（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台？【答案】（1）；（2）120；（3）该商店可能购进并销售学习机80台或30台【解析】【分析】（1）根据如果超出40台，则每超过1台，每台售价均减少5元，可列式；（2）先根据待定系数法计算直线的解析式，在计算x=60时的进价和售价，可得利润；（3）分当x＞40,和当x≤40时，分别计算每台的售价，列方程解出即可；（1）由题意可知当时，每台学习机的售价为．（2）设题图中直线的解析式为．把和代入得解得故直线解析式为．当时，进价为（元），售价为（元），则每台学习机可以获利（元）．（3）当时，每台学习机的利润是，则．解得（舍去）．当时，每台学习机的利润是，则，解得（舍去）．答：该商店可能购进并销售学习机80台或30台．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用和函数图形的知识点，准确理解是解题的关键．26．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设方程的两根是，，得出，，代入，，求出其结果是，求出即可；（2）得出，，把变形为，代入后得出，推出，求出即可．解：（1）证明：设方程的两根是，，则，，，，，即这个方程的一根大于2，一根小于2；（2），对于，2，3，，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，，和，和，．【点睛】本题考查了根与系数的应用，解（1）小题的关键是看看式子（α1-2）（β1-2）结果的符号，解（2）小题的关键是找出所求的式子的计算规律，本题题型较好，但有一定的难度．27．阅读理解:材料1:对于一个关于x的二次三项式（）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令（）,然后移项可得:,再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求的取值范围:解:令,,即;材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下:若关于x的一元二次方程（）有两个不相等的实数根､（）,则关于x的一元二次不等式（）的解集为:或,则关于x的一元二次不等式（）的解集为:;请根据上述材料,解答下列问题:（1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为-6,则_____.（2）求出代数式的取值范围．类比应用:（3）猜想:若中,,斜边（a为常数,）,则_____时,最大,请证明你的猜想．【答案】（1）或；（2）或；（3）当时,最大．【解析】【分析】（1）根据材料1:设,化为关于x的一元二次方程用根的判别式，得出y的取值范围,在列出关于a的方程解出即可；（2）设，化为，再用，然后根据材料2结论，即可求出；（3）设，，根据一元二次方程,利用根的判别式解答问题即可．解:（1）设，∴，∴,即 ，根据题意可知,∴，解得:或；（2）设，可化为，即，∴ ,即，令,解得 ,，∴或；（3）猜想:当时,最大．理由:设，，则，在中,斜边（a为常数,），∴ ，∴，∴，即，∴，即 ，∵，，∴，当时,有，∴，即当时,最大．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式､根与系数的关系及解不等式,读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系,运用类比的思想是解题的关键．28．阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：1．知识运用：试用“分组分解法”分解因式：；2．解决问题：（1）已知a，b，c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状．（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且，同时成立．①当k=1时，求a+c的值②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可）【答案】知识运用：；解决问题：（1）等腰三角形，理由见解析；（2）①；②，，【解析】【分析】知识运用：用公式法因式分解，提取公因式，再提取两者的公因式；解决问题：（1）将写成，等式左边因式分解，得，证明，是等腰三角形；（2）①由得到和，推出，就可以算出a和c的值，再算；②同①可得，根据，利用因式分解得到，同理由，得，从而可以用a表示出b、c、d．解：知识运用原式；解决问题（1），∵，∴，即，∴是等腰三角形；（2）①当时，，即，，即，若 则，把它代入，得，解得，当时，，则，当时，，则，综上：的值为6或；②当，∵，∴，∵，∴，同理由，得，由，，若，则，，，则此时k就等于0了，矛盾，不合题意，若，则，，，综上：，，．【点睛】本题考查因式分解的拓展运用，解题的关键是灵活掌握因式分解的方法．