【培优分级练】北师大版数学九年级上册 第26课《图形的相似单元综合检测》培优三阶练（含解析）

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第26课 图形的相似 单元综合检测一、单选题1．已知＝5，则的值是（       ）A． B．﹣ C． D．【答案】A【分析】由=5，可得b=5a，然后代入，即可求出其值．【解析】解： ， ，且 ，则 ，故选：A．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确运用基本性质．本题中要先确定a与b的关系，再确定a-b与a+b的关系．2．已知点C是线段AB的黄金分割点，且，若AB＝2，则BC＝（       ）A． B． C．－1 D．【答案】A【分析】由黄金分割的定义求出AC的长，即可求解．【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=2，∴，∴BC=AB-AC=3-，故选：A．【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．3．如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝2，DE＝3.6，则EF的值为（　　）A．1.8 B．2.4 C．4.8 D．5.4【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出答案．【解析】∵，∴．∵，，，∴，∴．故选：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容是解题的关键．4．已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为（       ）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】根据相似多边形的性质得最长边的长为三角形的周长×，依此列式计算即可求解．【解析】解：∵一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，∴它的最长边的长为36×=16．故选：C．【点睛】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．5．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ）A．4．5米 B．6米 C．3米 D．4米【答案】B【解析】如图：∵CD∥BE，∴△ACD∽△ABE，∴AC：AB=CD：BE，∴1：4=1.5：BE，∴BE=6m．∴树的高度为6m．故选B.6．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④，其中单独能够判定的个数为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知△ABC与△ABD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.【解析】解：：①∵，∠A为公共角，∴；②∵，∠A为公共角，∴；③虽然，但∠A不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似；④∵，∴，又∵∠A为公共角，∴．综上，单独能够判定的个数有3个，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.7．如图，和是位似图形，点是位似中心，点，，分别是，，的中点．若的面积为，周长为，则下列说法正确的是（       ）A．的面积为 B．的面积为C．的周长为 D．的周长为【答案】C【分析】根据位似图形的性质，线段中点的意义求解即可.【解析】∵和是位似图形，点是位似中心，点，，分别是，，的中点，∴和是位似比为1:2，∵位似图形的周长之比等于位似比，∴的周长为，∵位似图形的面积之比等于位似比的平方，∴的周长为，故选C.【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟记位似图形的基本性质是解题的关键.8．如图，在中，，中线，相交于点．，交于点．，则的长为（       ） A．5 B．6 C．10 D．12【答案】D【分析】首先根据GE∥CD得到△AGF∽△ADC、△FEG∽△FBD，求出AD=6，然后利用直角三角形斜边的中线性质得出结果．【解析】解：∵GE∥CD，∴△AGE∽△ADC，△FEG∽△FBD，∴ ，∴,又∵BD=CD，∴，∴DF=2GF=2，∴DG=DF+GF=3∴AD=2DG=6，在直角△ABC中，∠BAC=90°，∴BC=2AD=12，故选D．【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定以及直角三角形的性质，根据平行得到相似三角形是解决问题的关键．9．如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点F，点G，若BE平分AC，则＝（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两直线平行得内错角相等，由相似三角形判定可得，再由相似三角形的的性质得，再根据全等三角形的判定得，即，设，即，可得，根据线段边的关系得，，，即可得出最后的结果．【解析】如图：∵，为边上的高线，∴且，，，在和中，，，，∴，∴，又∵，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，设，∴，∴，∴，，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形和全等三角形的判定与性质是解题的关键．10．如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，交于点，连接交于点，连接下列四个结论中：①∽；②；③平分；④，其中正确的结论是（       ）A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC，进而说明△CMG≌△CDG，可得S△CEG=S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，可得②不正确；③由折叠可得：∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，结论③成立；④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，所以∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD=45°，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°，则EH⊥CG；利用勾股定理可得EG2-EH2=GH2；由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，M，H，C四点共圆，所以∠HMC=∠HEC=45°，通过△CMH≌△CDH，可得∠CDH=∠CMH=45°，这样，∠GDH=45°，因为∠GHQ=∠CHP=45°，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2=GQ•GD，从而说明④成立．【解析】四边形是正方形，．由折叠可知：，．，，，．，．，∽．故正确；过点作于，由折叠可得：，，，，在和中，，≌．，．，≌，，，不正确；由折叠可得：，，，，即平分．正确；连接，，，如图， ≌，≌，，，，，．．由折叠可得：，．．由折叠可知：．．，，，，，，四点共圆，．在和中，，≌．，，，，．，∽，，，．正确；综上可得，正确的结论有：．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．二、填空题11．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______．【答案】【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．【解析】解：设这条道路的实际长度为，则：，解得．故答案是：．【点睛】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．12．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则____．【答案】【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，用分数表示为，据此解题．【解析】∵点是线段的黄金分割点，且，，．故答案为：．【点睛】本题考查黄金分割点，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．已知，如图，在中，，且．若，则__________，__________．【答案】     2     3【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，由得到，由得到，即．【解析】解：证明：，，而，FG=1，∴，即，，，即，故答案为：2，3．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．14．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．【答案】①③④【分析】根据SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF＝AC，根据等边对等角推出即可①正确；不正确，采用反证法，假设，可以证明△ACF≌△AFD，即可证明∠DAF=∠CAF，由题意无法得出此结论，判断②错误；根据∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，推出△ADE∽△FDB即可判断③正确；根据△AEF≌△ABC，得出∠EAF＝∠BAC，求出∠EAD＝∠CAF，根据相似三角形性质得出∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，即可判断④正确【解析】解：在△AEF和△ABC中∵，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠C，∴①正确；不正确，理由是：假设，∵△AEF≌△ABC∴∠AFD=∠C，AF=AC，∴△ACF≌△AFD，∴∠DAF=∠FAC，原题中无AF为∠BAC平分线这一条件，∴②错误；∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，∴△ADE∽△FDB，∴③正确；∵△AEF≌△ABC，∴∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF，∴∠EAD＝∠CAF，∵△ADE∽△FBD，∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，∴④正确；故答案为：①③④【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，根据条件判定△AEF≌△ABC是解题关键．15．如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是_________里．【答案】8【分析】设这座方城每面城墙的长为里，根据题意得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】解：设这座方城每面城墙的长为里，由题意得，，，，里，里，，，，，，答：这座方城每面城墙的长为8里，故答案为：8．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，坐标原点O为位似中心．A与，B与是对应顶点．已知，则的长为________．【答案】【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【解析】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，坐标原点O为位似中心，A（-6，2），A1（3，-1），∴△ABC与△A1B1C1的相似比为：，∵BC=5，∴B1C1的长为：5×=，故答案为：．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．17．如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是_____．【答案】【分析】过点P作交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证，再证，可得，再利用平行线分线段成比例得，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论．【解析】如图：过点P作交DC延长线于点E，在和中故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出辅助线，列出比例式．18．如图，线段，射线于点，射线于点，点为的中点，为射线上一动点，将沿翻折得到，、的延长线分别交射线、于点、，连接．请探究下列问题：（1）的值为______；（2）当∽时，______．【答案】     36     【分析】（1）由折叠的性质得出，，，证明△，得出，，证明，得出比例线段，则可得出答案；（2）由相似三角形的性质求出，由直角三角形的性质可得出答案．【解析】解：（1）点为的中点，，，，，，将沿翻折得到△，，，，，在和△中，，△，，，，，，，，，；故答案为：36；（2）当△△时，，由（1）知，，，，，为的垂直平分线，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题19．已知线段a、b、c满足且．(1)求线段a、b、c的长；(2)若线段x是线段a、b的比例中项（），求线段x的长．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）设，则，，，再代入解方程求出的值，由此即可得；（2）根据比例中项的定义可得一个关于的方程，解方程即可得．（1）解：设，则，，，，，解得，则，，．（2）解：线段是线段、的比例中项，且，，，解得或（舍去），经检验，是所列分式方程的解，即线段的长为．【点睛】本题考查了比例的性质、比例中项、解分式方程的应用，熟练掌握比例的性质是解题关键．20．如图，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4．(1)AB＝3，求BC；(2)EF＝7.5，BE的长．【答案】(1)6(2)5【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算求解即可．（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算求解即可．(1)解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵AD＝2，DE＝4，AB＝3，∴，解得BC＝6，∴BC的长为6；(2)解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，∴，解得BE＝5，∴BE的长为5．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键在于熟练掌握平行线分线段成比例定理．21．如图，在中，点D在BC边上，点E在AC边上，且，．求证：【答案】见解析【分析】根据等腰三角形的性质由AB=AD推出根，由题意可知，进而根据相似三角形的判定定理进行证明即可．【解析】∵AB＝AD∴∠B＝∠ADB∵∠DEC＝∠B∴∠ADB＝∠DEC∴∠AED＝∠ADC又∵∠DAE＝∠CAD∴【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是结合图形找到使的条件：∠AED＝∠ADC，∠DAE＝∠CAD．22．李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在点（如图所示），人在点正好在镜中看到树尖；第二次他把镜子放在处，人在处正好看到树尖．已知李师傅眼睛距地面的高度为，量得为，为，为，求树高．【答案】这棵古树的高为10m【分析】根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，所以可得△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，再根据相似三角形的性质解答．【解析】解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，设AB＝x，BC＝y∴ 解得．∴这棵古树的高为10m．【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．23．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．(1)以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2；(2)求出△A'B'C'的面积．【答案】(1)图见解析(2)6【分析】（1）把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A'、B'、C'的坐标，然后描点即可；（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A'B'C'的面积．(1)解：如图，△A'B'C'为所作；(2)△A'B'C'的面积＝4×4﹣×2×4﹣×2×2﹣×2×4＝6．【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握以原点为位似中心的对应点的坐标的关系是解决问题的关键．24．如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．(1)求证：△ABP∽△PCD；(2)若PC=2，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)CD的长为【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD；（2）由（1）的结论△ABP∽△PCD 可得，从而可以求出线段CD的长．（1）证明：∵等边三角形ABC，∴∠B=∠C=60°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD；（2）解：等边三角形边长为3，PC=2，由（1）得△ABP∽△PCD，，∴，∴CD=．答：CD的长为．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD．25．如图，在矩形中，E是边的中点，于点F．(1)求证：．(2)已知，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据等角的余角相等可得，即可证明，根据相似三角形的性质即可得证；（2）勾股定理求得，由（1）的比例式即可求解．（1）证明：∵四边形为矩形，，∴，∴，∴，∴．（2）∵E为的中点，∴，∴．∵，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．26．如图，在正方形中，，为边上的两个三等分点，点关于的对称点为，的延长线交于点．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）设与的交点为，根据题意可得，，即可求证；（2）先证明，可得，，从而得到，再过点作，连接，可得，再由，可得，从而得到，再根据四边形的性质可得，从而得到，可证得△△，从而得到，再根据，可得，即可求证．（1）证明：设与的交点为，，为边上的两个三等分点，，，点关于的对称点为，，；（2）解：，，，，在和中，，，，，，∵，，如图，过点作，连接，，，，，，，，，∴，，又，，，，，点关于的对称点为，，，，，，，，，，又，△△，，，，，，，，．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键．27．如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE．(1)直接写出CE与AB的位置关系；(2)如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；(3)如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长．【答案】(1)CE⊥AB，理由见解析(2)一致，理由见解析(3)【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得结论；（2）通过证明，可得，由余角的性质可得结论；（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得，即可求解．（1）如图，延长CE交AB于H，∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，∵DE=CD，∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，∴CE⊥AB；（2）在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下：如图2，延长交于H，由旋转可得：CD=，=AD，∵∠ADC=∠ADB=90°，∴，∵，∴,，∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，∴∠DA+∠AGH=90°，∴∠AHC=90°，；（3）如图3，过点D作DH于点H，∵△BED绕点D顺时针旋转30°，∴，，，∴AD=2DH，AH=DH=，，由（2）可知：，，∵AD⊥BC，CD=，∴DG=1，CG=2DG=2，∴CG=FG=2，，∴AG=2GF=4，∴AD=AG+DG=4+1=5，∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．