【培优分级练】人教版数学九年级上册 24.1《圆的有关性质》培优三阶练（含解析）

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24.1圆的有关性质课后培优练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．下列语句不正确的有（        ）个．①直径是弦；②优弧一定大于劣弧；③长度相等的弧是等弧；④半圆是弧．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：①直径是弦，①正确；②在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，②错误；③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，③错误；④半圆是弧，④正确；故不正确的有个．故选：B．2．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（        ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，综上所述，四个说法中正确的只有1个，故选：A．3．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为（　　 ）A．2m B．4m C．6m D．8m【答案】B【详解】∵CD垂直平分AB，∴AD＝＝8m∴OD＝＝6m∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4m故选：B．4．如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD是（           ）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【详解】 D，E分别为AB，AC的中点，，，四边形OEAD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．5．如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，OC交AB于点D．若，⊙O的半径为5，则（        ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：如图，连接OA，OB，∵C是的中点，∴=，∴∠AOC=∠BOC，又∵OA=OB=5，AB=8，∴OC⊥AB，AD=BD=AB=4（等腰三角形的三线合一），在Rt△AOD中由勾股定理得：OD=，∴CD=OC-OD=5-3=2．故选：B．6．如图，点是⊙O的圆心，点、、在⊙O上，，则的度数是（        ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：在⊙O中，∠ACB＝∠AOB，∠AOB＝48°，∴∠ACB＝24°，故选：B．二、填空题7．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m．【答案】【详解】解：如图，连接，是中的弦的中点，且，，，设的半径长为，则，，，在中，，即，解得，即的半径长为，故答案为：．8．如图，在中，，，以为圆心，为半径的圆交于点，交于点．求弧所对的圆心角的度数_____．【答案】【详解】解：连接CD，如图所示：∵∠ACB=90°，∠B=36°，∴∠A=90°-∠B=54°，∵CA=CD，∴∠CDA=∠A=54°，∴∠ACD=180°-54°-54°=72°，∴∠DCE=90°-∠ACD=18°，故答案为：18°．9．如图，在⊙O中，点A，B，C是⊙O上的点，∠AOB=40°，则∠C的度数为_____．【答案】20°【详解】解：∵∠AOB＝40°，∠C∠AOB，∴∠C40°＝20°．故答案为：20°．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．【答案】40°【详解】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，故答案为：40°．三、解答题11．如图，已知为的直径，，为上两点，，连接，过点作，垂足为点，求证：．【答案】见解析【详解】解：连接DO并延长交⊙O于G，连接DC，DB，延长DE交⊙O于F，∵AB为⊙O的直径，∴DE=DF，，∵，∴DG⊥AC，∠C=∠B，，∵∠1+∠C=90°，∠2+∠B=90°，∴∠1=∠2，∴，∴，∴AC=DF，∴DE=AC．12．如图，在⊙O中，＝，∠BOC＝120°．求证：△ABC是等边三角形．【答案】见解析【详解】证明：∵＝，∴AB=AC，∵∠BOC＝120°．∴，∴△ABC是等边三角形．13．已知：如图，中，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，若．求证：．【答案】见解析【详解】连接，如图，AB为直径的⊙O，，，，，，又，，，，．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．如图，的半径为，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点若点、关于原点对称，则长的最小值为（        ）     A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵OA=OB，∴AB=2OP，若要使AB取得最小值，则OP需取最小值，连接OM，交于N，当点P位于点N时，OP取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=6，MQ=8，∴OM=10，又∵MN=4，∴ON=6，∴AB=2ON=12，故选：C．2．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（        ）A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm【答案】B【详解】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝14（cm），∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），∴AC＝＝＝80（cm）；如图2，同理可得，OM＝14cm，∵OC＝50cm，∴MC＝＝36（cm），在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）；综上所述，AC的长为80cm或60cm，故选：B．3．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为（        ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，∴∠FCA=∠ACO，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠FCA=∠CAO，∴CF∥AB，∵是弧的中点，∴FE⊥AB，∴∠F=∠BGE=90°，∵FC=FE=2，∴EC=，∵OE≥EC-OC即OE≥-2，的最小值为，故选：D．4．如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（      ）A．3 B． C． D．【答案】D【详解】解：取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短点P是BO的中点在中，是等边三角形在中，．5．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙OO于点F，若AC=12，AE=3，则⊙O的直径长为（　　　）A．10 B．13 C．15 D．16【答案】C【详解】解：如图，连接OF，∵DE⊥AB，AB为⊙O的直径，∴.∵D是弧AC的中点，∴，∴，∴AC=DF=12，∴EF=6，设OA=x，∵OF2=OE2+EF2，∴x2=（x-3）2+62，解得：x=7.5，∴⊙O的直径长为15，故选：C.6．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【详解】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵∠DHC=90°，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，∴BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：C．二、填空题7．如图，在△ABC中，，，，，则AD的长的最大值为______．【答案】【详解】方法1：以AB为直角边在AB的上方作等腰直角△EAB，且EA=AB，连接 DE，如图，则∠ABE=45°，由勾股定理得．∵，，∴∠CBD=45°=∠ABE，，∴∠BED+∠EBC=∠EBC+∠ABE，即∠EBD=∠ABC．∵，∴△BED∽△BAC，∴∠EDB=∠ACB=60°．　∵，∴点D的运动轨迹是以BE为弦且圆周角为60°的弧，当AD垂直平分线段BE时，AD最长，设此时AD与BE交于点O；当AD最长时，△BDE是等边三角形，边长为，则，∵AD⊥BE，∠ABE=45°，∴∠ABE=∠OAB=45°，∴OA=OB．由勾股定理得：，∴．故答案为：．方法2：如图，作DE⊥AC的延长线于点E，∵∠ACB＝60°，DC⊥BC，∴∠DCE=30°，设CD=CB=x，AC=y，则DE=x，，，在中，由勾股定理得，∴，∵，∴，∴，且当时，等号成立，∴ ，当时，AD有最大值， 且，∵，∴△ABC为等边三角形，∴当时，，又，∴．故答案为：．8．如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是_____________．【答案】【详解】解：①分析所求线段端点：是定点、是动点；②动点的轨迹：正方形的边长为10，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则，因此动点轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，如图所示：③最值模型为点圆模型；④最小值对应的线段为；⑤求线段长，连接，如图所示：在中，，正方形的边长为10，点G是边的中点，则，根据勾股定理可得，当三点共线时，最小为，接下来，求的长：连接，如图所示根据翻折可知，设，则根据等面积法可知，即整理得，解得，故答案为：．9．如图，在半径为3的中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使，连接AC、BC、CD，如果，那么CD等于______．【答案】【详解】解：如图，连OA，OB，∵B是弧AC的中点，AB＝BC＝BD，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，由垂径定理知，OB⊥AC，点E是AC的中点，设,则,由勾股定理知，， ，∴,∵AB＝2，AO＝BO=3，∴,解得， ，即 ∵∠AEB＝∠ACD＝90°，∴BE∥CD，∵点B是AD的中点，所以BE是△ACD的中位线，所以CD＝2BE＝ ．故答案为：10．在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是__________________．【答案】1﹣≤CM＜【详解】解：如图，连接OD、OC，∵AB为直径，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∵D、E分别是、的中点，∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴DE＝OD＝，∵M是弦DE的中点，∴OM＝DE＝，∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°，△OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长，∴O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长；∴CM≥1﹣，当C点在A点或B点时，CM＝，∴CM的取值范围是1﹣≤CM＜．三、解答题11．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．（1）求证：点为的中点；（2）若，，求的长；（3）若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．【答案】（1）见解析；（2）2；（3）【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴＝，即点D为的中点；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF，而OA＝OB，∴OF为△ACB的中位线，∴OF＝BC＝3，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，∵PC＝PC′，∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，∴此时PC+PD的值最小，∵＝，∴∠COD＝∠AOD＝80°，∴∠BOC＝20°，∵点C和点C′关于AB对称，∴∠C′OB＝20°，∴∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，则∠ODH＝30°，则C′H＝DH，在Rt△OHD中，OH＝OD＝，∴DH＝OH＝，∴DC′＝2DH＝，∴PC+PD的最小值为．12．已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．（1）如图1，如果，求弦的长；（2）如图2，如果E为弦的中点，求【答案】（1）；（2）【详解】如图 ，连接OC，又，即，， 则；如图2，连接，为直径，，，，又是的中位线，设，则解得：，则13．几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使的值最小，方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小．直接应用：(1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______．变式练习：(2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值．深化拓展：(3)如图4，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．(4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．）【答案】(1)10；(2)的最小值为；(3)的最小值为4；(4)见解析【解析】(1)解：连接BN，∵四边形ABCD为正方形，AC是对角线为对称轴，∴BN=DN，∴DN+NM=BN+NM≥BM∴当B、N、M三点共线时DN+NM最短=BM，∵DM=2，DC=BC=8，∴CM=DC-DM=8-2=6，在Rt△BCM中，BM=，∴DN+NM最小=10；故答案为10；(2)解：作点B关于NM的对称点B′，连接PB′，OB′，则PB=PB′，∴PA+PB=PA+PB′≥AB′，∴当A、P、B′，三点共线时PA+PB最小=AB′∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点，∴的度数为60°，∵B是的中点，∴的度数为30°，∴的度数为60°+30°=90°，∴∠AOB′=90°，∵OA=OB′=1，∴AB′=，∴PA+PB最小=；(3)解：作BE⊥AC于E，作点N关于AD的对称点N′，连接MN′∵AD平分∠CAB，点N在AB上，∴点N′在AC上，MN=MN′，，∴当点M，N′在BE上时最小=BE，∵∠CAB=45°，BE⊥AC∴∠EBA=180°-90°-45°=45°=∠CAB，∴AE=BE，∴△AEB为等腰直角三角形，∴，∴，∴最小=4；(4)作点B关于AC对称点B′，作射线DB′交AC与P，连接BP，∵点B与点B′关于AC对称，∴PB=PB′，∵PE⊥BB′∴PE平分∠BPB′，∴∠APB=∠APD．培优第三阶——中考沙场点兵一、单选题1．（2022·青海·中考真题）如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（        ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，∴OA=，∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，∴，∴，∵点C为x轴负半轴上的点，∴C，故选：C．2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（        ）A． B． C． D．【答案】D【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆∵四边形为矩形∴∵∴∴∴点M在O点为圆心，以AO为半径的园上连接OB交圆O与点N∵点B为圆O外一点∴当直线BM过圆心O时，BM最短∵，∴∴∵故选：D．3．（2022·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（        ）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【详解】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵是的直径，垂直于弦于点，∴∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵∴，解得∴BC=2OD=2x=2故选：C4．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（        ）A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】C【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度数20°．故选：C．5．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，CD是的直径，，则（        ）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】C【详解】解：∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°．故选：C．6．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（        ）A． B．4 C．6 D．【答案】A【详解】解：根据作图知CE垂直平分AC，∴，，∴，∴，即，∵线段AB是半圆O的直径，∴，在中，根据勾股定理得，，故选A．二、填空题7．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为__________．【答案】【详解】解：如图，连接，点的坐标为，，由同圆半径相等得：，是等腰三角形，，（等腰三角形的三线合一），又点位于轴正半轴，点的坐标为，故答案为：．8．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．【答案】7.5【详解】如下图所示，设球的半径为rcm，则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，∵EG过圆心，且垂直于AD，∴G为AD的中点，则AG=0.5AD=0.5×12=6cm，在中，由勾股定理可得，，即，解方程得r=7.5，则球的半径为7.5cm．9．（2022·四川雅安·中考真题）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 _____．【答案】【详解】解：∠DCE＝72°，四边形ABCD是⊙O内接四边形， 故答案为：10．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．【答案】【详解】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，，，，，，，，，，，故答案为：．三、解答题11．（2022·湖北宜昌·中考真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．(1)直接判断与的数量关系；(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．【答案】(1)；(2)这座石拱桥主桥拱半径约为【解析】(1)解：∵半径，∴．故答案为：．(2)设主桥拱半径为，由题意可知，，∴，，在中，由勾股定理，得，即，解得，∴，因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．12．（2022·江苏盐城·中考真题）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．【答案】见解析【详解】已知：如图，是的直径，是的弦，，垂足为．求证：，，．证明：如图，连接、．因为 ，，所以，．所以，．所以．13．（2022·山东泰安·中考真题）问题探究（1）在中，，分别是与的平分线．①若，，如图，试证明；②将①中的条件“”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由．迁移运用（2）若四边形是圆的内接四边形，且，，如图，试探究线段，，之间的等量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②结论成立，见解析；（2），见解析【详解】（1）①，，．又、分别是、的平分线．点D、E分别是、的中点．，．．②结论成立，理由如下：设与交于点F，由条件，得，．又．．．∴．在上截取．由∵BF=BF，∴．．．又∵CF=CF，∴．∴．（2），理由如下：∵四边形是圆内接四边形，∴．∵，∴，，∴．∴．作点B关于的对称点E，连结，，的延长线与的延长线交于点M，与交于点F，∴，．∴．∴∴∴∵AE、DC分别是、的角平分线由②得．