初中苏科版2.4 线段、角的轴对称性复习练习题

这是一份初中苏科版2.4 线段、角的轴对称性复习练习题

2.4 线段、角的轴对称性 知识清单1）垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2）垂直平分线的性质判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3）三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点；外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等。4）角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。课后培优练级练培优第一阶——基础过关练1．（2022·江苏南京·八年级期中）到三角形三个顶点距离都相等的点是（       ）A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质定理解答．【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：B．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解题的关键．2．（2022·四川达州·八年级期中）下列命题中，是假命题的是（       ）A．等腰三角形三个内角的和等于 B．等腰三角形两边的平方和等于第三边的平方C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和、角平分线的性质和垂直平分线的性质逐项判断即可．【详解】解：A、等腰三角形三个内角的和等于，是真命题，故不符合题意；B、等腰三角形两边的平方和不等于第三边的平方，是假命题，故符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，是真命题，故不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，是真命题，故不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和、角平分线的性质和垂直平分线的性质，解决此题的关键是掌握这些基本知识．3．（2022·河北承德·八年级期末）如图，在中，平分，则的面积为（       ）A．30 B．20 C．15 D．10【答案】C【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质作出辅助线，即可得出AB边上的高线长度，根据面积公式计算，【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC=3，∴S△ABD= ．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，根据性质作出辅助线是解答此题的关键．4．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）如图，OD平分，于点E，，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（       ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根据角平分线的性质，可知点D到OB和OA的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，最短距离为5，即可判断．【详解】∵OD平分，于点E，，∴D到OB的距离等于5，∴故DF的长度不可能为4，故选A．【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的线段中，垂线段最短，熟练掌握性质是本题的关键．5．（2022·福建漳州·八年级期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（       ）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形的三条高交于一点D．三角形三边的垂直平分线交于一点【答案】A【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．6．（2022·四川宜宾·八年级期末）如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（       ）A．在∠B的平分线与DE的交点处B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处【答案】C【分析】根据角平分线的性质得到水池修建在∠ABC的平分线上，根据线段的垂直平分线的性质得到水池修建在DE的垂直平分线上，从而可对各选项进行判断．【详解】解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图，则水池修建的位置应该为P点．故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．7．（2022·江苏淮安·八年级期中）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（       ）A．8 B．9 C．10 D．14【答案】D【分析】根据作图可得MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD=DB，然后可得AD+CD=10，进而可得△ACD的周长．【详解】解：根据作图可得MN是BC的垂直平分线，∵MN是BC的垂直平分线，∴CD=DB，∵AB=10，∴CD+AD=10，∴△ACD的周长=CD+AD+AC=4+10=14，故选：D．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．8．（2022·江苏盐城·三模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______．【答案】【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得．【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为，∵是两面互相平行的平面镜，∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为，又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ．故答案为：．【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．9．（2022·河北保定·八年级期末）如图中，，．通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的_____；并求的度数为_________．【答案】     垂直平分线     角平分线     ##25度【分析】（1）根据作图痕迹判断即可；（2）根据三角形内角和定理及角平分线求出∠CAD，可得结论．【详解】解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的 角平分线．∵DF垂直平分线段AB，∴DA=DB，∴∠BAD=∠B=40°，∵∠B=40°，∠C=50°，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=50°，∵AE平分∠CAD，∴∠DAE=∠CAD=25°．故答案为：垂直平分线，角平分线，25°；【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．10．（2021·江苏无锡·八年级期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长为___________．【答案】10【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，∵△BCE的周长为18，∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=18，∵BC=8，∴AC=10，故答案为：10．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的周长计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．11．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③ABCD；④ABD≌CBD．其中所有正确结论的序号是_______．【答案】①②④【分析】根据垂直平分线及全等三角形的判定和性质依次对各个结论进行判断即可得．【详解】解：∵，，∴BD垂直平分AC，①正确；在与中，，∴，④正确；由可得：，∴BD平分，②正确；③无法证明；故正确结论有：①②④，故答案为：①②④．【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质和全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．12．（2022·陕西渭南·三模）如图，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，请用尺规作图法在AC上求作一点D，使得∠ABD＝25°．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】作图见解析【分析】因为∠A＝100°，∠C＝30°，所以∠B＝50°，若使得∠ABD＝25°，则作∠B的角平分线即可．【详解】解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，∴∠B＝50°，若使得∠ABD＝25°，则作∠B的角平分线即可．作图如下：【点睛】本题考查作角平分线，解题的关键是分析题意知道作∠B的角平分线，掌握作角平分线的方法．13．（2022·广东九年级期末）如图，在中，．（1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）利用基本作作图，作线段AB的垂直平分线即可；（2）根据线段的垂直平分线的性质得AE＝BE，则∠EAB＝∠B＝60°，然后根据三角形外角性质计算∠AEC的度数．【详解】（1）分别以，为圆心，大于长为半径画弧，交于两点；作经过以上两点的直线，分别交线段于，交于，直线即为所求． （2）解：是线段的垂直平分线，，．．【点睛】本题考查了作图，基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．培优第二阶——拓展培优练1．（2022·湖南邵阳·八年级期中）如图，的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5【答案】C【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式即可得．【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为点，由角平分线的性质定理得：，的三边长分别是20，30，40，，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．2．（2022·河北·围场满族蒙古族自治县中小学教研室八年级期末）如图，已知、的角平分线、相交于点P，，，垂足分别为M、N．现有四个结论：①平分；②；③；④．其中结论正确的是（       ）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】①过点P做PD⊥AC，根据AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明即可得出结论；②根据BP和CP都是角平分线，即可得到∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-（180°-∠PCN）=-∠ABC+∠PCN=-∠ABC+∠ACN，根据外角定理，可以得到∠BPC=-∠ABC+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC，即可得到结论；③由①可得，，故∠APC=∠MPN，根据∠PMB=∠PNB=90°，所以∠MPN=180°-∠ABC，代入得∠APC＝90°﹣∠ABC，即可得出结论；④由①可得，，故S△APM+S△CPN=S△APC，即可得出结论．【详解】解：①过点P做PD⊥AC，如图所示：∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE，∴PM=PD，∵BP是∠ABC的角平分线，PN⊥BF，∴PM=PN，∴PD=PN，∵PC=PC，∴，∴∠PCD=∠PCN，故①正确；②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线以及三角形内角和为180°，∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-（180°-∠PCN），=-∠ABC+∠PCN=-∠ABC+∠CAN，∵外角定理，∴∠BPC=-∠ABC+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC，故②正确；③由①可得，，且，∴∠APC=∠MPN，∵∠PMB=∠PNB=90°以及四边形内角和为360°，∴∠MPN=180°-∠ABC，∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；③由①可得，，且，∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误；则正确的有：①②③．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线以及角度运算、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质以及严谨的推理是解决本题的关键．3．（2022·安徽·八年级期末）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则 为（    ）A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】C【分析】如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，证明△AHC≌△BCG得到CH=CG，即可证明CE平分∠BEF，即可得到∠BEC= ．【详解】解：如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，∴∠AHC=∠BGC=90°，∵∠ACB=90°，AF⊥BE，∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°，又∵∠ADE=∠BDC，∴∠CAH=∠CBG，又∵AC=BC，∴△AHC≌△BCG（AAS），∴CH=CG，∵CH⊥EF，CG⊥BE，∴CE平分∠BEF，∴∠BEC=．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，角平分线的定义，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．4．（2022·江西·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（　　）A．2 B．12 C．5 D．7【答案】B【分析】由于，关于直线为对称，所以和重合时，最小，最小值等于，即可求得的周长的最小值．【详解】解：是线段的垂直平分线，，关于直线为对称，和重合时，最小，即的周长的最小值，是线段的垂直平分线，，的最小值，的最小周长，故选：B．【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．5．（2022·内蒙古通辽·八年级期末）如图，，C为OB上的定点，M，N分别为射线OA、OB上的动点．当的值最小时，的度数为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作点C关于OA的对称点E，作EN⊥OC交OA于点M，此时CM+MN=EM+MN=EN最短，进而根据∠AOB=35°，和直角三角形两个锐角互余即可求解．【详解】解：如图：作点C关于OA的对称点E，过点E作EN⊥OC于点N，交OA于点M，∴ME=MC，∴CM+MN=EM+MN=EN，根据垂线段最短，EN最短，∵∠AOB=35°，∠ENO=CFM=90°，∴∠OMN=55°，∠OCF=55°，∴∠EMF=∠OMN=55°，∴∠E=∠MCE=35°，∴∠OCM=∠OCF-∠MCE=20°．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知直角三角形的两个锐角互余是解题关键．6．（2022·陕西安康·八年级期末）如图，的面积为24，的长为8，平分，E、F分别是和上的动点，则的最小值为____________．【答案】6【分析】在上取点，使，过点C作，垂足为H，连接、，交于，得出．根据E、F分别是和上的动点，三角形三边的关系和垂线段最短得出，求出的长即可得出的最小值．【详解】解：如图所示，在上取点，使，过点C作，垂足为H，连接、，交于．∵的面积为24，的长为8，∴，∴，∵平分，∴又∵，，∴≌（SAS），∴，∴，∵E、F分别是和上的动点，∴，∴∴当C、E、共线且点与点H重合时，即，这时的值最小，∴最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题．灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将所求最小值转化为求的长是解题的关键．7．（2022·天津八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=____（度）．【答案】50【分析】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，可知此时最小，此时，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即，∴，∵，∴，∵，，∴ ，∴ ．故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．8．（2022·重庆八中七年级期末）如图，，且，D，E分别为射线和射线上两动点，且，当有最小值时，则的面积为________．【答案】6【分析】延长，以点为圆心，为半径，作圆弧交延长线于点G，得．连接、、，，得，当点，，三点在一条直线，距离最短．过点作交于点，得，得，，，为中点时值最小．又根据，即可求出的面积．【详解】延长，以点为圆心，为半径，作圆弧交延长线于点G，连接、、∴，又∵，∴∴∴由图可知，当点，，在一条直线上，距离最短过点作交于点∴∴又∵，∴∴∴∴故答案为：6．【点睛】本题考查动点距离问题，平行线之间的距离相等，三角形全等知识点；熟练掌握动点距离最短，三角形全等是解题的关键．9．（2022.江苏八年级期中）如图，中，边的垂直平分线交于点P．（1）求证：．（2）点P是否也在边的垂直平分线上？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）在，理由见解析【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得，PA=PB，PB=PC，则PA=PB=PC．（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边AC的垂直平分线上．【详解】解：（1）证明：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．（2）∵PA=PC，∴点P在边AC的垂直平分线上．【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．10．（2022·湖北）（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：．（2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：．（3）类比应用：如图3，平分，，，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；【分析】（1）由题意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而可求出，，即可求解；（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即，即可得出答案；【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵ ，，∴：=AB：AC；（2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE又∵ AD平分∠CAE，∴ ∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中， ，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴ ，∴ ，∴AB：AC=BD：CD；（3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，∵ ∠D+∠AEB=180°，又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，在△ADC与△AEM中，，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE为∠BAM的角平分线，故 ，∴BE：CD=AB：AC；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握知识点是解题的关键；11．（2022·西城区·八年级期中）小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足．求作：线段OB上的一点C，使的周长等于线段的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到 ．对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到 ．若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．【答案】BC，DC，线段的垂直平分线的判定【分析】在线段BO上截取BD=OA，连接AD，作线段AD的垂直平分线交OD于点C，连接AC，△AOC即为所求．【详解】解：如图，△AOC即为所求．故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（2022·湖北蕲春县·八年级月考）如图1，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点.若.（1）求证：平分；（2）如图2，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，求.【答案】（1）详见解析；（2）1.【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的外角性质进行计算和代换即可.（2）连接，过作垂足为，根据AF是角平分线可得，FG垂直平分BC可得，从而可得，再由，可得，从而可得，即可得.【详解】（1）证明：设， 平分，，，，，，，又，∴，即平分.（2）解：连接，过作垂足为，由（1）可知平分，又∵，，垂直平分于点，在与中，，，∴，与中，，，∴，即，，.【点睛】本题考查了全等三角形综合，涉及了三角形角平分线性质、线段垂直平分线性质，（1）解答的关键是沟通三角形外角和内角的关系；（2）关键是作辅助线构造全等三角形转化线段和差关系.培优第三阶——中考沙场点兵1．（2022·河南·一模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（       ）A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3【答案】C【分析】利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图和全等三角形的判定与性质、角平分线性质定理的逆定理对图3进行判断．【详解】在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；在图3中，根据作法可知：AE=AF，AM=AN，在△AMF和△ANE中，， ∴△AMF≌△ANE（SAS），∴∠AMD=∠AND，∵AE=AF，AM=AN，∴ME=NF，在△MDE和△NDF中，，∴△MDE≌△NDF（AAS），所以D点到AM和AN的距离相等，∴AD平分∠BAC．综上，能判断射线AD平分∠BAC的是图1和图3．故选：C．【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（       ）A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点【答案】A【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．【详解】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．故本题选A．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键．3．（2022·江苏·淮安市八年级期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（       ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC=S△ABC得到×4×7+×4×AC=26，然后解一次方程即可．【详解】解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=4，∵S△ADB+S△ADC=S△ABC，∴×4×7+×4×AC=26，∴AC=6，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题．4．（2022·山东威海·中考真题）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(     )A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【答案】B【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果．【详解】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示：由图可得MN是法线，为入射角因为入射角等于反射角，且关于MN对称由此可得反射角为所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B故选：B．【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键．5．（2022·湖南娄底·一模）一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（       ）A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动【答案】B【分析】利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物关于镜面OC对称，形状大小，平移的速度相同，方向直线O点．【详解】根据镜面对称的性质，在平面镜中的小球与现实中的小球关于镜面对称，∵∠AOC=45，∴∠BOC=45°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动，故B正确.故选：B.【点睛】本题主要考察镜面对称，解题关键是熟练掌握镜面对称的性质．6．（2022·安徽亳州·一模）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（       ）A．6 B．6 C．3 D．3【答案】D【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，这样AP＋PQ转化为AP＋PE即可得出答案．【详解】解：如图，在BC上取E，使BE＝BQ，连接PE，过A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，当AP＋PE＝AH时最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝，∴AP＋PQ的最小为，故选：D．【点睛】本题考查两条线段和的最小值，解题的关键是作辅助线把PQ转化到BD的另一侧．7．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．【答案】40°##40度【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解．【详解】解：依题意，，∵，，，∴，．故答案为：40．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．8．（2022·上海市复旦初级中学九年级期中）某同学在使用尺规作图的方法，作过直线l外一点C作已知直线的垂线．他在直线l上取了两点A，B，分别以A，B为圆心，AC，BC长为半径画弧，两段弧的另一个交点为D，联结CD，那么直线CD即为直线l的过C点的直线．你认为它的作法对吗？　　（填“对”，“错”）；理由：　　（如果认为对，请填写相应的定理；如果认为错，写关键的理由即可）．【答案】对，到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上【分析】根据线段垂直平分线的判定定理可得出答案．【详解】根据作法可知AC=AD，BC=BD，因此A、B两点都在线段CD的垂直平分线上．所以直线CD即为直线l的过C点的直线．故答案为：对，到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．掌握这一性质是解题的关键．9．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为_________．【答案】23【分析】由作图可得：是的垂直平分线，可得再利用三角形的周长公式进行计算即可．【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ，， 故答案为：23【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键．10．（2022·河南开封·一模）如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：步骤1：连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧；步骤2：连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；步骤3：连接CD，且过A，B作直线则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是____________．【答案】线段的垂直平分线的性质定理的逆定理【分析】连接BD，AD，根据垂直平分线的判定即可解答；【详解】解：如图，连接BD，AD，∵AC=AD，BC=BD， 根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可得：A，B一定在线段CD的垂直平分线上；故答案为：线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．11．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；（2）依据证明得到，进一步可得结论．【详解】解：（1）如图，为所作的平分线；（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：在和中∵∴，∴又∵∴，∴【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．12．（2021·黑龙江绥化·中考真题）（1）如图，已知为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点．使．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在上图中，如果，则的周长是_______．【答案】（1）见解析；（2）9．【分析】（1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可；（2）根据（1）中可知，即可求得的周长．【详解】（1）作法：如图所示，①连接（用虚线），②作的垂直平分线交于，③标出点即为所求，（2）∵，∴，∴的周长＝9．【点睛】本题主要考查垂直平分线的做法－尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．13．（2020·湖南长沙·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：求作：的平分线做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C（3）画射线OC，射线OC即为所求．请你根据提供的材料完成下面问题：（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．①     ② ③     ④（2）请你证明OC为的平分线．【答案】（1）①；（2）证明见解析【分析】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由“SSS”可以证得△EOC≌△DOC；（2）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线．【详解】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线；故答案为：①；（2）如图，连接MC、NC．根据作图的过程知，在△MOC与△NOC中，，∴△MOC≌△NOC（SSS），∠AOC=∠BOC，∴OC为的平分线．【点睛】本题考查了作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．14．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)AD⊥CB′；；(2)①∠BAC=2∠DAE，理由见解析；②BE=CD+DE，理由见解析【分析】（1）先证明∠ADC=90°，再过点A作AF⊥BC于点F，根据角平分线的性质，证明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形内角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，进一步计算即可求解；②在BC上截取BG=CD，先后证明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE (SAS)，即可求解．(1)解：∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴AD⊥CB′；过点A作AF⊥BC于点F，　∵AB=AC，∴CF=BF=BC=，∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，∴AF= AD，∴△ADC≌△AFC(HL)，∴CD=CF=，故答案为：AD⊥CB′；；(2)解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：设∠ACB′=∠ACB=α=∠B，∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC，∵∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ACD=90°-∠DAE=α，∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，∴∠BAC=2∠DAE；②BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，　在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD(SAS)，∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，∴∠BAC=∠GAD，∵∠BAC=2∠DAE，∴∠GAD=2∠DAE，∴∠GAE=∠DAE，在△GAE和△DAE中，，∴△GAE≌△DAE (SAS)，∴GE=DE，∴BE=BG+GC=CD+DE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．