苏科版3.2 勾股定理的逆定理随堂练习题

这是一份苏科版3.2 勾股定理的逆定理随堂练习题

3.2 勾股定理的逆定理 知识清单1.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。2.勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数常见的勾股数有： = 1 \* GB3 ①3，4，5； = 2 \* GB3 ②5，12，13；③7，24，25；④8,15,17；⑤9，40，41；注：这两组勾股数的倍数也是勾股数，如：6，8，10等。在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2。课后培优练级练培优第一阶——基础过关练1.（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）下列各组数是勾股数的是（       ）A．5，12，14 B．6，8，12 C．4，5，6 D．7，24，25【答案】D【分析】根据勾股数的定义；满足的三个正整数，称为勾股数，分别对各组数据进行判断即可．【详解】解：A、∵，∴5，12，14不是勾股数，故不符合题意；B、∵，∴6，8，12不是勾股数，故不符合题意；C、∵，∴4，5，6不是勾股数，故不符合题意；D、∵，∴7，24，25是勾股数，故符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，除了验证两小边的平方和是否等于最长边的平方外，还必须每一个数都是正整数．2．（2022·宁夏·吴忠市第三中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，则∠BCD的度数是（       ）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】C【分析】连接AC，由于，利用勾股定理可求AC，并可求，而，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求∠BCD．【详解】解：如图所示，连接AC，∵，∴，又，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是连接AC，并证明是直角三角形．3．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学七年级期中）在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别记为 a，b，c，根据以下条件：①．∠A+∠B＝∠C；②．a：b：c＝3：4：5；③．a2＝c2﹣b2 ；④．∠A：∠B：∠C＝1：2：3；⑤．a=32，b=42，c=52； ⑥．a= ，b= ，c= ．能判定△ABC 为直角三角形的有 （        ） A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤⑥【答案】C【分析】根据三角形内角和定理可分析出①④的正误；根据勾股定理逆定理可分析出②③⑥的正误，根据三角形的三边关系可以分析出⑤的正误．【详解】解：①∠A+∠B＝∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形；②a：b：c＝3：4：5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，∵，∴能构成直角三角形；③ ，∴，∴能构成直角三角形；④∠A：∠B：∠C＝1：2：3；设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，∵∠A+∠B＝x+2x=3x=∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C=90°，∴能构成直角三角形；⑤，，，a+b=c 不能构成三角形，∴不能构成直角三角形； ⑥a= ，b= ，c=，，，∵，∴不能构成直角三角形；能构成直角三角形的是①②③④ 故选：C．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定和三角形的三边关系，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．4．（2022·湖北·谷城县教学研究室八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的项点上），则图中的度数为___________．【答案】90°##90度【分析】先利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，即可解答．【详解】解：由题意得：AB2=22+42=20，CB2=22+12=5，AC2=32+42=25，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC=90°，故答案为：90°．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理，及勾股定理是解题的关键．5．（2022·广西贵港·八年级期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是　　．（填写序号）（1）a：b：c＝5：12：13，（2）a＝1.5，b＝2.5，c＝2，（3）（a﹣b）2+2ab＝c2，（4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5，（5）a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n为大于1的正整数）【分析】直角三角形的判定方法，大约有以下几种：①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据两种情况进行判断即可．【解答】解：（1）（5x）2+（12x）2＝（13x）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；（2）（1.5）2+（2）2＝（2.5）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；（3）由（a﹣b）2+2ab＝c2，可得：a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；（4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5，此时∠C＝75°，不能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；（5）（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；故答案为：（1）（2）（3）（5）．【点评】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．6．（2022·广西·柳州二十一中八年级期中）如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13．(1)求AB的长(2)试判断△ABD的形状，并说明理由【答案】(1)AB=5 (2)△ABD是直角三角形，理由见解析【分析】（1）在Rt△ABC中利用勾股定理求解即可；（2）利用勾股定理的逆定理求解即可．（1）解：在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴；（2）解：△ABD是直角三角形，理由如下：在△ABD中，AB=5，AD=12，BD=13，∵，∴，∴△ABD是直角三角形．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出AB的长是解题的关键．7．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=CD=2，AD=3，∠B=90°，E是AD中点，连接CE，(1)求的长；(2)求的长．【答案】(1)AC=；(2)CE=【分析】（1）根据勾股定理求出AC即可；（2）先根据勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，再根据直角三角形的性质求出答案即可．（1）解：∵∠B=90°，AB=2，BC=1，∴，∴AC=(负值已舍)；（2）解：∵△ACD中，AC=，CD=2，AD=3，∴=5+4=9，=9，∴，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，∵E是AD中点，∴CE=AD=．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质，注意：①如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，②直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．8．（2022·山东德州·八年级期末）2021年是第七届全国文明城市创建周期的第一年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC＝90°．(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定∠ABC＝90°的依据；(2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？【答案】(1)技术人员测量的是两点之间的距离，确定的依据是勾股定理逆定理(2)17100元【分析】（1）已知即可得只需再测量两点之间的距离，利用勾股定理逆定理即可得；（2）连接，先利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理可得，然后根据四边形的面积等于与的面积之和即可得．（1）解：因为，所以技术人员测量的是两点之间的距离，确定的依据是勾股定理逆定理．（2）解：如图，连接，，，，，是直角三角形，且，四边形的面积为，又平均每平方米空地的绿化费用为150元，绿化这片空地共需的费用为（元），答：绿化这片空地共需花费17100元．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理是解题关键．9．（2022·河北沧州·八年级期末）如图，已知在中，，D是线段AC上一点，连接BD，，．(1)求证：；(2)若，求的周长．【答案】(1)见解析 (2)【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据三角形面积公式得出AC，再利用勾股定理得出AB，进而解答即可．（1）证明：∵，，，∴在中，，∴是直角三角形，，即；（2）由（1）知． ∵，∴，∴． 在中，由勾股定理可得，，∴的周长为．【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形．10．（2022·广西崇左·八年级期中）如图在中，分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，已知．(1)判断的形状，并说明理由；(2)若，，求的周长．【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)【分析】（1）由题意知，MN是线段AB的垂直平分线，由垂直平分线的性质定理可得AD=BD，则由及勾股定理逆定理即可得，从而可得是直角三角形；（2）由已知设，，则由勾股定理建立方程可求得x的值，从而可得BC的长，再由勾股定理可求得AB的长，则最后可求得的周长．（1）是直角三角形．由作图知，为线段的垂直平分线，点在上，∴，∵，∴，即，根据勾股定理的逆定理知，∴，∴是直角三角形．（2）由，设，，其中x>0，由（1）知，在中，根据勾股定理得，，即，解得，，∴，，，在中，，∴的周长为：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法、线段垂直平分线的性质定理、勾股定理及其逆定理，熟练运用这些知识是关键．11．（2022·四川宜宾·八年级期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.(1)判断△ACM的形状，并说明理由；(2)求公路AB的长.【答案】(1)△ACM是直角三角形，见解析 (2)原来的路线AB的长为16.9千米．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行解答即可；（2）根据勾股定理进行解答即可．（1）解：（1）△ACM是直角三角形，               理由是：在△ACM中，∵AM2+CM2=122+52=169，AC2=169，  ∴AM2+CM2=AC2，∴△ACM是直角三角形且∠AMC=90°；（2）设BC=AB=x千米，则BM=BC-CM=（x-5）千米，在Rt△AMB中，由已知得AB=x，BM=x-5，AM=12，由勾股定理得：AB2=BM2+AM2，∴x2=（x-5）2+122，                                        解这个方程，得x=16.9，答：原来的路线AB的长为16.9千米．【点睛】本题考查勾股定理及它的逆定理，解题关键是掌握相关定理的内容．12．（2022·云南红河·八年级期末）如图，点E在梯形ABCD的边BC上，∠B=∠C=90°，CD=CE=1，AE=2，AD=． (1)求∠AEC的度数．(2)求梯形ABCD的面积．【答案】(1)130° (2)4.5【分析】（1）连接DE，根据等腰直角三角形的性质求出∠DEC=45°，根据勾股定理求出DE，根据勾股定理的逆定理求出∠AED=90°，计算即可；（2）根据等腰直角三角形的性质求出AB、BE，根据梯形的面积公式计算，得到答案．（1）解：如图，连接，，，是等腰直角三角形，，由勾股定理，得．，，，，，是直角三角形，，．（2）由（1）得，．，，．在中，，，，．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理求出∠AED=90°是解题的关键．培优第二阶——拓展培优练1．（2022·山东·八年级课时练习）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（       ）A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理【答案】A【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案．【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解．∴这个定理指的是费马大定理 故选：A．【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识．2．（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学八年级阶段练习）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．【详解】解：∵，∴，∴A错误，B错误，C错误，D正确．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．3．（2022·江苏盐城·八年级开学考试）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有（　　）①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】①根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断①；②根据勾股定理的逆定理即可判断得出②；③根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断；④求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断④．【详解】解：①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPQ是等边三角形，所以①正确；∴PQ=PB=4，∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，∴△PCQ是直角三角形，所以②正确；∵△BPQ是等边三角形，∴∠PQB=∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以③正确；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵∠PQC=90°，PC≠2QC，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以④错误．所以正确的有①②③．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．4．（2022·江西·景德镇一中七年级期末）如图，在中，是边边上中线，点M在边上，点N在边上，并且，如果，则最大为___________．【答案】16【分析】过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME，MN，证明△BED≌△CND．可得到EM=MN，再由，可得△BEM为直角三角形，∠MBE=90°，从而得到∠BAC=90°，由直角三角形的性质可得出答案．【详解】解：如图1，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．MN，∵AC∥BE，∴∠C=∠DBE，∠DNC=∠BED，∵是边边上中线，∴BD=DC，∴△BED≌△CND，∴BE=NC，ED=DN，∵∠MDN=90°，∴MD垂直平分EN，．∴EM=MN，∵，∴∴△BEM为直角三角形，∠MBE=90°，∴∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=90°，∵AD=4，AD是边BC边上中线，∴BC=8，当AD⊥BC时，△ABC有最大值，最大值为．故答案为：16【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线、全等三角形的的判定与性质，证明∠BAC=90°是解题的关键．5．（2022·福建·莆田砺志学校八年级阶段练习）a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高．下列说法中：①能组成三角形；②能组成三角形；③c+h，a+b，h能组成直角三角形；④能组成直角三角形；正确的序号是_________．【答案】②③##③②【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可．【详解】解：，，是的三边，且，是斜边上的高，①，不符合三角形的两边之和大于第三边；∴不能组成三角形，①错误；②∵，；又、、能组成三角形，，；，，，组成三角形（这里明显是最长边）；，，能组成三角形，②正确；③，（直角三角形面积两直角边乘积的一半斜边和斜边上的高乘积的一半），，，，，，，、、能组成直角三角形；③正确；④不符合三角形的两边之和大于第三边；，，不能组成直角三角形，④错误．正确的序号是②③．故答案为：②③．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．6．（2023·四川·成都市田家炳中学八年级阶段练习）如图，点P是等边三角形ABC内的一点，PA＝，PB＝3，PC＝，则S△ABP+S△BPC＝__，AB长为__．【答案】          【分析】将△APC绕点A旋转60°得到△AEB，过点B作BF⊥AP于点F，可证△AEP是等边三角形，由勾股定理的逆定理可得∠BPE=90°，由勾股定理可求AB的长，再证明∠BPC=90°，利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：将△APC绕点A旋转60°得到△AEB，过点B作BF⊥AP于点F，∴∴是等边三角形，∴∵∴，∴∠BPE=90°，∴∠APB=150°，∴∠BPF=30°，∴BF=PB=，PF=BF=，∴AF=AP+PF=∴∵BE=2PE，∠BPE=90°，∴∠EBP=30°，∴∠BEP=90°-30°=60°，∵∠AEP=60°，∴∠APC=∠AEB=120°，∴∠BPC=360°-150°-120°=90°，∴故答案为：，【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线，构造特殊三角形是解决问题的关键．7．（2022·福建·厦门双十中学八年级期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．【答案】(1)是，理由见解析(2)BN＝12或13【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题．(1)是．理由如下：∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，∴AM2＋NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点．(2)设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，即（25−x）2＝x2＋25，解得x＝12；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．即x2＝25＋（25−x）2，解得x＝13，综上所述，BN＝12或13．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．8．（2021·宁夏固原·八年级期末）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝3642+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是　 　三角形．（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为　 　．（3）若一个三角形的三边长为a＝，b＝，c＝，其中a是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．【答案】（1）锐角；（2）13或；（3）钝角三角形，过程见解析【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；（2）分两种情况：①当x为斜边时；②当x为直角边时，斜边为12；由勾股定理即可求出x的值；（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．【详解】解：（1）∵72+82＝49+64＝113＞92，∴三角形是锐角三角形，故答案为：锐角；（2）∵这个三角形是直角三角形，①当x为斜边时∴52+122＝x2，∴x＝13；当x为直角边时，斜边为12∴52+ x2＝122，∴x=综上：x的值为13或故答案为：13或；（3）∵a2﹣b2﹣c2＝x2+3z2﹣x+y2﹣2y+＝（x﹣）2+（y﹣1）2+3z2+，∵（x﹣）2≥0，（y﹣1）2≥0，3z2≥0∴（x﹣）2+（y﹣1）2+3z2+＞0∴a2＞b2+c2，∴该三角形是钝角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理和材料问题，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能计算推理论证是解决问题的关键．9．（2022·湖北·洪湖实验初中八年级期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为______．(3)如图3中∠BCD是不是直角？请说明理由（可以适当添加字母）【答案】(1)作图见解析(2)2(3)∠BCD是直角【分析】（1）先求得正方形的边长为，再画图（2）先作出符合题意的，再根据三角形面积公式求得 （3）利用勾股定理及逆定理判断即可（1）图中正方形ABCD即为所求（2）图中即为所求，（3）如图，连接BD，在中，，在中，，在中，，，∴是直角三角形，∴ ∠BCD是直角【点睛】本题考查了三角形、正方形的面积公式，勾股定理及其逆定理以及基本作图技能，熟练掌握公式及定理是解题关键．10．（2022·湖北·枣阳市吴店镇第二中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t．(1)求△ABC为直角三角形；(2)若△ABP为直角三角形，求出t的值（写出证明过程）；(3)若△ABP为等腰三角形，直接写出t的值（不必写出证明过程）．【答案】(1)见解析(2)当为直角三角形时， 或；(3)当为等腰三角形时，或或．【分析】（1）根据勾股定理逆定理进行计算，即可解答；（2）若为直角三角形，由题意知BP=t，①当为直角时，点P与点C重合，即可得t的值，②当为直角时，CP=t-3，在中，根据勾股定理得出，在，根据勾股定理即可得t的值；（3）若为等腰三角形时，由题意知BP=t，①当时，即可得，②当时，根据可得t的值，③当BP=AP时，，，在中，根据勾股定理即可得．（1）在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，∵，∴△ABC为直角三角形；（2）若为直角三角形，由题意知BP=t，①如图1所示，当为直角时，点P与点C重合，BP=BC=3，t=3，②如图2所示，当为直角时，CP=t-3，在中，根据勾股定理，，在，根据勾股定理，，即，综上，当为直角三角形时， 或；（3）若为等腰三角形时，由题意知BP=t，①如图3所示，当时，，②如图4所示，当时，∵，∴，∴，③如图5所示，当BP=AP时，，，在中，根据勾股定理，，即，综上，当为等腰三角形时，或或．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和等腰三角形的性质．11．（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末）课本矩形一节，根据矩形的的性质得到了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中为直角，AD为斜边BC上的中线，．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使，连结BE，再证，从而就可以证明得到；(1)小聪同学还想借助图②，在任意的中，为直角，AD为斜边BC上的中线，证明结论，请你帮助小聪同学完成；(2)如图③，在中，垂足为D，如果，，，求的中线AE的长度．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连接BE，先证明△ACD≌△EBD，得到∠C=∠EBD，从而可证明∠BAC=∠ABE，然后证明△ABC≌△BAE，从而得到AE=BC，故此BC=AE=2AD，即可得证；（2）根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，根据结论可知ABC的中线AE的长度等于斜边的一半即可求解．（1）证明：如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连接BE．在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD．∴∠C=∠EBD∴∠C+∠ABC=∠ABC+∠EBD，即∠BAC=∠ABE．在△ABC和△BAE中，，∴△ABC≌△BAE．∴AE=BC．∴BC=AE=2AD∴AD＝BC．（2）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°．∵CD=1，AD=2，BD=4，∴根据勾股定理得：，，∴△ABC是直角三角形．∴AE =【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用、勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，根据△ACD≌△EBD、△ABC≌△BAE是解题的关键．培优第三阶——中考沙场点兵1.（2022·重庆·中考模拟）我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称a，b，c为一组广义勾股数，c为广义斜边数，则下面的结论：①m为正整数，则3m，4m，5m为一组勾股数；②1，2，3是一组广义勾股数；③13是广义斜边数；④两个广义斜边数的和是广义斜边数；⑤若，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；⑥两个广义斜边数的积是广义斜边数．依次正确的是（       ）A．①②③ B．①②④⑤ C．③④⑤ D．①③⑤【答案】D【分析】根据题目中所给的勾股数．广义勾股数，广义斜边数的定义，分析选项找出结论正确的即可．【详解】解：由题意可知：①m为正整数，则3m，4m，5m为一组勾股数；结论正确；②1，2，3是一组广义勾股数；∵，∴不满足，不能成为广义勾股数，故结论不正确；③13是广义斜边数；∵，∴结论正确；④两个广义斜边数的和是广义斜边数；例如，，但是7不是广义斜边数，故结论不正确；⑤若，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；∵，，满足：，故结论正确；⑥两个广义斜边数的积是广义斜边数．例如，但是4不是广义斜边数，故结论不正确；故正确的结论为：①③⑤．故选：D【点睛】本题考查勾股数．广义勾股数，广义斜边数的定义，解题的关键是理解题意，根据题干中的定义解答．2．（2022·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均落在格点上．①线段的长等于________；②在射线上有两点，，满足且，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，点，并简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明）_______________________．【答案】          图见解析，延长过格点，则点满足，取格点，连接交射线于点，则点即满足，为所求【分析】①根据勾股定理求解即可；②，延长过格点，则点满足，取格点，连接交射线于点，则点即满足，为所求【详解】①故答案为：②如图，点，点即为所求．如图，延长过格点，则点满足，则,取格点，使得，连接交射线于点，则点即满足，为所求．故答案为：延长过格点，则点满足，取格点，连接交射线于点，则点即满足，为所求．【点睛】本题考查了勾股定理与网格作图，等角的余角相等，掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键．3．（2021·江西省宜春实验中学一模）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为___里．【答案】30【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．【详解】解：∵，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：（里）．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题的关键．4．（2022·河南许昌·中考模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．(1)在图1中画一条长度为的线段，要求线段的端点在格点上；(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；(3)如图3，点A，B，C是小正方形的顶点，求的度数．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）利用勾股定理求解即可；（3）连接AC，证明△ABC是等腰直角三角形即可得到答案．（1）解：如图所示，线段AB即为所求；；（2）解：如图所示，△ABC即为所求；；（3）解：如图3所示，连接AC，∵，，，∴，，∴，∴△ABC是等腰直角三角形，∴．【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知勾股定理与勾股定理的逆定理是解题的关键．5．（2022·福建·中考模拟）（1）请你观察下列三组勾股数：；；……；分析其中的规律，直接写出第四组勾股数是________．（2）若，，，其中且是正整数．求证：以，，为边的是直角三角形．【答案】（1）9，40，41；（2）见解析【分析】（1）先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．（2）将a，b，c平方，观察结果可得，即可证明．【详解】解：（1）∵①3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1；②5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1；③7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1；∴第四组勾股数是：9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1；即9，40，41；（2）∵，，，∴，，，满足，∴以，，为边的是直角三角形．【点睛】本题考查勾股数、规律型问题，解题的关键是学会观察，学会寻找规律，利用规律解决问题．6．（2022·广东·中考模拟）中，是上一点，，，，．（1）求证：；（2）若，证明是；（3）在（2）的条件下，若是线段上的一点，且是等腰三角形，求的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或5或4【分析】（1）根据AD，CD和AC的长，结合勾股定理的逆定理证明即可；（2）根据∠ADC=90°得到∠C+∠CAD=90°，结合∠BAD=∠C得到∠BAC=90°，即可证明；（3）分BP=AB，BP=AP，AP=AB，三种情况分别求解即可．【详解】解：（1）∵AD=4，CD=8，AC=，满足，即，∴△ACD是直角三角形，即∠ADC=90°；（2）∵∠ADC=∠ADB=90°，∴∠C+∠CAD=90°，∵∠BAD=∠C，∴∠CAD+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）分三种情况，当BP=AB时，∵AD⊥BC，∴AB==，∴BP=AB=；当BP=AP时，∵AD⊥BC，∴点P为BC中点，∴BP=BC=（BD+CD）=5；当AP=AB时，∵AD⊥BC，∴BP=2BD=4；综上：BP的长为或5或4．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，余角的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质分类讨论求出BP的长．7．（2020·江苏无锡·中考模拟）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　．（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．（3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；（2）利用勾股定理计算画出即可；（3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．【详解】解：（1）填直角梯形，长方形；（2）如图，（3）证明：∵△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∠ABD＝60°，∵∠CBE＝60°，∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，即∠ABC＝∠DBE，又∵BE＝BC，∴△ABC≌△DBE，∴BE＝BC，AC＝ED；连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°，∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°，在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，∴DC2+BC2＝AC2．【点睛】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．8．（2022·河南·中考模拟）阅读下列内容，并解决问题．一道习题引发的思考：小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗?【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数．关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．【问题解答】（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；（2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数；（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．【答案】（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等【分析】（1）把直接代入，，即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论；（3）根据勾股数解答即可．【详解】（1）把代入，，得：，，，这组勾股数为；（2）表示大于1的整数，，，都是正整数，且是最大边，，是一组勾股数；（3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出．【点睛】本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，弄清题意，理解勾股数的意义是解题的关键．9．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形．（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）画一个边长为3,4,5的三角形即可；（2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可；（3）利用勾股定理，找长为、和的线段，画三角形即可；【详解】解：（答案不唯一）（1）图①（2）图②（3）图③【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理公式和构造直角三角形是解题的关键．