2021学年3.3 勾股定理的简单应用课时作业

这是一份2021学年3.3 勾股定理的简单应用课时作业

3.3 勾股定理的简单应用 知识清单1.勾股定理中的最短路径问题基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。2.勾股定理的应用问题1）梯子滑动问题；2）风吹草动和折竹抵地；3）台风和爆破问题；4）位置问题（航行和信号塔）；5）速度问题（超速和噪音问题）。实际应用中若图形中有较多边的长度不知道，可以利用方程思想，设某些边为未知数，再利用勾股定理列写等式方程，将求解边长转化为解方程。 = 1 \* GB3 ①若两直角三角形有公共边，可利用公共边列写勾股定理的等式方程。 = 2 \* GB3 ②若无公共边或公共边难以利用时，可以设2个未知数，根据两个直角三角形，列写2个等式方程，然后求解不等式组。课后培优练级练培优第一阶——基础过关练1.（2022·山西八年级期中）如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）A．20 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】将题中图案展开后，连接AC，利用勾股定理可得AC长，将中间的墙展开在平面上，则原矩形长度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求．【详解】解：展开如图得新矩形，连接AC，则其长度至少增加2MN，宽度不变，由此可得：， 根据勾股定理有：故选D．【点睛】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图．2.（2022·河南信阳·八年级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（　　　）．A．2.4m B．2.5m C．2.6m D．2.7m【答案】D【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．【详解】解：在Rt△ABC中，AB==2.5m，∴A′B=2.5m，在Rt△A′BD中，BD==2m，∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．3．（2022·广东东莞·八年级期中）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（　　）A．1.0 米 B．1.2 米 C．1.25 米 D．1.5 米【答案】A【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理解得AD的长即可．【详解】解：过点D作于点E，中（米）故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，作出正确的辅助线是解题关键．4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是（　　）A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤13【答案】C【分析】先找到筷子在杯内最短和最长时筷子所处的位置，再利用勾股定理求解，进而得到h的范围．【详解】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm．当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小，此时杯内筷子长度cm，h最小=24-13=11cm．故h的取值范围是11≤h≤12．故选C．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是找准最长最短的位置即可．5．（2022·河南八年级期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杅的高度为（　　）米．A．5 B．12 C．13 D．17【答案】B【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，理解题意设未知数列方程是解题的关键．6．（2022·西安市黄河中学八年级月考）如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　）A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米【答案】A【分析】设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，解得x=1.5．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．7．（2022·广西八年级期末）《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺． 【答案】12【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到水深．【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB'＝x尺，则水深AC＝（x−1）尺，因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52＋（x−1）2＝x2，解得：x＝13，即水深12尺，故答案为：12【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题关键．8．（2022·河南八年级期末）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺．【答案】14.5【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，根据勾股定理列方程即可得出结论．【详解】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，在Rt△OCP′中，由勾股定理得：（x-4）²+10²=x²，解得：x=14.5，故答案为：14.5．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，由勾股定理建立方程是解题的关键．9.（2022·云南广南·八年级期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．【答案】3米【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x米，则斜边为（8x）米．利用勾股定理解题即可．【详解】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，∴设BC长为x米，则AC长为（）米，∴在Rt△CBA中，有，即：，解得：，∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．10.（2022·河南·八年级阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西．（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）;（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【答案】（1）；（2）海里【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．【详解】解：（1）（海里），（海里），又AB=13海里所以，所以是直角三角形， 所以由已知得，所以，所以甲的航向为北偏东， （2）甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）乙甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）所以3分钟后甲、乙两艘巡逻船相距为：（海里）．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键．11.（2022·江西赣州·八年级期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中所在的直线上建一图书馆，本社区有两所学校，分别在点和点处，于点，于点．已知，，．问：图书室应建在距点多少米处，才能使它到两所学校的距离相等？【答案】10km【分析】设AE=x，然后用x表示出BE的长，进而可在两个直角三角形中，由勾股定理表示出CE、DE的长，然后列方程求解．【详解】解：设AE=xkm，则BE=（25-x）km，在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152，同理可得：DE2=BE2+BD2=（25-x）2+102，若CE=DE，则AE2+AC2=BE2+BD2，x2+152=（25-x）2+102，解得：x=10km；答：图书室E应该建在距A点10km处，才能使它到两所学校的距离相等．【点睛】此题主要考查的是勾股定理的应用，根据CE=DE得出AC2+AE2=BE2+DB2是解题关键．培优第二阶——拓展培优练1.（2022·重庆初二月考）圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（ ）A． B．28 C．20 D．【答案】C分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.【解析】如图所示，将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′，连接A′B,则A′B即为最短距离，A′B= (cm)故选C.点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于EF的对称点A′是解题的关键.2.（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级期中）如图，在中，，，．将折叠，使点B恰好落在边AC上．与点重合，AE为折痕，则的长为（       ）A．12 B．25 C．20 D．15【答案】D【分析】由勾股定理可求出AC，再由折叠的性质可知，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程即可求解．【详解】解：∵在中，，，， ，∵折叠，点B与点重合， ， ， ， ，设，则 ，又 ，在中， ，即 ，解得： ， ．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理列方程是解题的关键．3．（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3）A．30 B．28 C．25 D．22【答案】C【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于AB的对称点F，连接DF，根据半圆的周长求得，根据对称求得，在Rt△CDF中，勾股定理求得．【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆，∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm，在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距离约为cm．故选C．【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键．4．（2022·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为( )．A．3 B．2 C．4 D．1【答案】2【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：设CF与AB交于点H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴S△ABC=，即，∴CH=，由折叠可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH=，在△BCH中，BH=，设BE=EF=x，则EH=-x，在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2，故答案为：B．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．5．（2021·江苏八年级期中）如图，矩形ABCD中，，，E，F，Q分别是AD和BC、DC的中点，P是EF上的点，则的最小值为________．【答案】5【分析】取的中点为，连接交于点，则的最小值转为两点之间的距离最短，利用勾股定理求解．【详解】解：取的中点为，连接交于点，再连接，此时PD+PQ有最小值，如下图：由图可知，，，在中，，，由两点之间的距离最短即，的最小值为5，故答案是：5．【点睛】本题考查了动点问题，涉及到勾股定理的使用，解题的关键是把转换为两点之间的距离最短来求解，运用转换的思想．6．（2022·广州市育才中学八年级期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．【答案】80 12 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．【详解】解：作于，，m，m，即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，，，在中，m，m，重型运输卡车的速度为36千米时米秒，重型运输卡车经过的时间（秒，故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．故答案为：80，12．【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．7.（2022·陕西八年级期中）如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．【答案】5【分析】利用平面展开图有3种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【详解】解：分三种情况：如图1，,如图2，，∴AP=5， 如图3，，， 它爬行的最短路程为5，故答案为：5．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有3种情况分析得出是解题关键．8．（2022·广东·佛山市八年级阶段练习）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险﹖请说明理由．（参考数据：，，精确到1海里）【答案】（1）AC＝200海里，海里；（2）巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险，理由见解析．【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE＝x海里．根据AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，再由列式求解即可．（2），求出DF的长，再与100比较即可得到答案．【详解】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于E，∴∠CEB=∠CEA=90°， 由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，∴∠AEC=30°，∠BCE=180°-∠ABC-∠BEC=45°，∴∠BCE=∠EBC=45°，∴BE=EC，∴AC=2AE设AE＝x海里，则AC=2x海里，在Rt△AEC中，海里，∴海里，∴海里，∴，解得：x＝100，∴AC＝2x＝200海里．∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=75°过点D作DF⊥AC于点F，∴∠ADF=30°，∠FDC=90°-∠FCD=45°=∠FCD，∴AD=2AF，DF=FC 设AF＝y，则AD＝2y， ∴，∵海里 ∴y＋y＝200，解得：，∴海里；（2）由（1）得∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．【点睛】本题考查的勾股定理的应用−航海问题，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．（2022·广东·八年级课时练习）如图，烟台市正政府决定在相距50km的A、B两村之间的公路旁E点，修建一个大樱桃批发市场，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么大樱桃批发市场E应建什么位置才能符合要求？【答案】大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方求出和，列等式求解即可．【详解】解：设大樱桃批发市场E应建在离A站x千米的地方，则千米．在直角中，根据勾股定理得：，∴，在直角中，根据勾股定理得：，∴．又∵C、D两村到E点的距离相等，∴，∴，所以，解得．∴大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，掌握两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．10．（2022·河南周口市·八年级期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？【答案】（1）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．【分析】（1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论；（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．【详解】解：(1)出发秒钟时，米，米米，米米，米（米）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰(2)设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，由题意得，，解得此时AC1=20，AB1=15，此时即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．（2022·陕西长安·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）． 【答案】（1）见解析；（2）100cm【分析】(1)做出A关于BC的对称点A’，连接A’G，与BC交于点Q，由两点之间线段最短，此时A’G最短，即AQ+QG最短；(2)A’G为直角△A’EG的斜边，根据勾股定理求解即可．【详解】解：(1)如下图所示，作点A关于BC所在直线的对称点，连接，与交于点，由两点之间线段最短，此时A’G最短，则为最短路线．(2)∵，∴，∴．在中，，，∴．由对称性可知，∴．故小虫爬行的最短路线长为100cm．【点睛】本题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，本题的关键是根据对称性作出A的对称点A’，再根据两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．12．（2022·四川电子科大实验中学八年级月考）如图，在公路的同侧有两个居民点、，居民点、分别到公路的距离千米和千米，且两个居民点、相距千米．（1）要在公路边修一个污水处理站来收集处理居民点、的污水，污水处理站修在什么地方到居民点、所用的水管最短；请你在图中设计出污水处理站的位置．（保留作图痕迹，不要证明）（2）如图铺设水管的工程费用为每千米万元，为使铺设水管的费用最节省，请求出最节省的费用为多少万元？（3）要在公路边修一个汽车站，使汽车站到两个居民点、的距离相等，则点应该修在距点多远的地方（另画图并写出解答过程）【答案】（1）画图见解析；（2）万元；（3）；画图见解析【分析】（1）作点A关于CD的对称点，连接，与CD的交点即为所求；（2）AF⊥BD于点F，过点A′作，交BD延长线于点E，可得，，，利用勾股定理求得，继而由可得答案．（3）作AB的中垂线，交CD于点M，点M即为所求；设，则，由即，列方程求解可得．【详解】（1）如图1所示，点即为所求． （2）如图1，过点作于点，过点作，交延长线于点，则四边形和四边形均为矩形，，，则，，在中，，，则，所以最节省的费用为（万元）．（3）如图，作的中垂线，交于点，则点即为所求；连接、，设，则，，，即，解得：，即点在距离点的地方．【点睛】本题考查了尺规作图，轴对称的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理的应用．培优第三阶——中考沙场点兵1．（2022·广西中考模拟）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸【答案】C【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．【解析】设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，则DE=10，OE=CD=1，AE=．在Rt△ADE中，，即，解得．故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2022·广西·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：   “今有方池一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐．水深、葭长各几何？ ”．其大意是：如图，有一个水池，水面是 一个边长为 10 尺 (丈、尺是长度单位，1 丈＝10 尺) 的正方形，在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水 的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意，所列方程正 确的是(     )A．102＋(x－1)2＝x2 B．102＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2 C．52＋(x－1)2＝x2 D．52＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2【答案】C【分析】设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据勾股定理，即可求解．【详解】解：设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意得：52＋(x－1)2 ＝x2故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．3．（2022·浙江杭州·模拟预测）一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框内通过的是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理计算出门框对角线长，再与薄木板的宽比较即可．【详解】门框的对角线长为米．∵米．∴只有A选项的薄木板的宽小于，即只有A选项的薄木板可以通过．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．利用勾股定理计算出门框对角线的长是解答本题关键．4．（2022·湖北黄石·一模）如图，在渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是______海里．【答案】【分析】过点B作BN⊥AM于点N，由已知可求得BN的长；再根据勾股定理求BM的长．【详解】解：由已知得，AB=×28=14海里，∠MAB=30°，∠ABM=105°．过点B作BN⊥AM于点N．∵在直角△ABN中，∠BAN=30°∴BN=AB=7海里．在直角△BNM中，∠MBN=45°，则直角△BNM是等腰直角三角形．即BN=MN=7海里，∴BM=（海里）．故答案为：．【点睛】本题考查的是勾股定理解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、掌握勾股定理是解题的关键．5．（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室一模）《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．【答案】【分析】设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可．【详解】解：设经 x秒二人在C处相遇，这时乙共行 AC =3x，甲共行AB +BC =7x，∵AB =10，∴ BC =7x -10，又 ∵∠A =90°，∴BC2= AC2 + AB2，∴(7x -10)2=(3x)2+102，故答案是：(7x -10)2= (3x)2+102．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．6．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为_________m．【答案】【分析】根据题意可得，AD＝12m，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20m，线段AE即为滑行的最短路线长．在R t△ADE中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长．【详解】解：如图，根据题意可知：AD＝＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，线段AE即为滑行的最短路线长．在Tt△ADE中，根据勾股定理，得AE＝（m）．故答案为：【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解决本题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求最短距离．7．（2022·福建·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思为：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木之上端与墙平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．问木杆是多长？（1丈=10尺）设木杆长为x尺根据题意，可列方程为______．【答案】102+（x-1）2=x2【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x-1）尺，根据勾股定理可列出方程．【详解】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x-1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴102+（x-1）2=x2，故答案为：102+（x-1）2=x2．【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．8．（2022·浙江·杭州锦绣·育才中学附属学校一模）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．【答案】5【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝15，则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−15＝5（cm）．故答案为5．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．9．（2022·江苏扬州·一模）如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.【答案】61【详解】解: 如图①:AM2=AB2+BM2=16+(5+2)2=65;如图②:AM2=AC2+CM2=92+4=85;如图③:AM2=52+(4+2)2=61.∴蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是:61.故答案为:61.10．（2022·河南南阳·一模）如图，长方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将一边 AD 折叠，使点 A恰好落在边 BC 的点 F 处，折痕为 DE．若 AB=4，BF=2，则 AE的长是________________．【答案】【分析】设AE=x，在中，由勾股定理建立方程求解即可【详解】设AE=x，则BE=AB-AE=4-x，由折叠的性质可得：EF=AE=x，在中，由勾股定理得，BE2+BF2=EF2，即，解得，x=，即AE的长为．【点睛】本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定理列出方程．11．（2022·浙江绍兴·一模）如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距．海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东30°方向，与灯塔相距的的处；乙船位于灯塔的北偏东15°方向，与灯塔相距的处．求：(1)甲船与灯塔之间的距离；(2)两艘货船之间的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，可得为正三角形，即可得出答案；（2）过作于点，可得出为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得出答案；(1)解：如图，连接．∵甲船位于灯塔 B 的北偏东30°方向∴∠ABC=60°∵，，∴为正三角形，∴，即甲船与灯塔之间的距离为．(2)解：过作于点．∵，∴，∴为等腰直角三角形．∵，∴，又∵，∴，∴．∴两艘货船之间的距离为．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等边三角形，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．12．（2022·江苏九年级期中）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．【答案】【分析】过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，证△ACD是等腰直角三角形，得AD＝CD，由勾股定理得AC＝CD，AD＝CD＝BD，然后由AD−BD＝AB求出BD，进而求出AC，再利用路程＝速度×时间即可求解．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，∵∠BAC＝75°−30°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝CD，∴AC＝CD，∵BCAE，∴∠DBC＝∠BAE＝90°−30°＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝2BD，AD＝CD＝，∵AD−BD＝AB，∴ 海里，解得：BD＝10 海里，∴CD＝ 海里，∴AC＝CD （海里），∴小时 答：经过小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理、等腰直角三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．