【考点全掌握】人教版数学七年级上册-第3课时-有理数的运算-同步精品课堂（知识清单+例题讲解+课后练习）

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第三课时——有理数的运算（答案卷）

知识点一：有理数的加法运算法则：
1. 同号相加：同号相加， 符号 不变， 绝对值 相加。同为正数相加时，和 大于 每一
个加数，同为负数相加时，和 小于 每一个加数。
2. 异号相加：异号相加，取绝对值 较大 的数的符号，再把 绝对值 做差。
3. 与0相加：任何数与0相加都等于 任何数本身 。
特别提示：有理数加法运算技巧：一定二求三加减：第一步定和的符号，第二步求加数的
绝对值，第三步根据加法法则把绝对值相加或者相减。
知识点二：有理数的加法运算律：
1. 加法交换律：交换加数的位置，和 不变 。。
2. 加法结合律：三个加数相加时，先把 前两个 加数相加或先把 后两个 加数相加，和
不变。即：
特别提示：简便运算小技巧：
（1） 互为相反数的两个数可先相加。
（2） 同分母或者分母成倍数的分数可先相加。
（3） 和为整数的数可先相加。
（4） 符号相同的数可先相加。
（5） 带分数可分拆成整数部分和分数部分然后分别相加。（两部分符号与原符号 一致 ）

【类型一：加法基本运算】
1．计算：
（1）|﹣7|+|﹣9| （2）（﹣7）+（﹣3）
（3）（+4.85）+（﹣3.25） （4）（﹣7）+（+10）+（﹣1）+（﹣2）
（5）（﹣2.6）+（﹣3.4）+（+2.3）+1.5+（﹣2.3）
（6）．
【分析】（1）先去绝对值，再按照有理数的加法运算顺序计算．
（2）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算．
（3）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算．
（4）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算．
（5）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算．
（6）先去小括号，后去中括号，再按照有理数的加法运算顺序计算．
【解答】解：（1）原式＝7+9＝；
（2）原式＝﹣7﹣3＝﹣＝＝﹣；
（3）原式＝4.85﹣3.25＝1.6；
（4）原式＝﹣7+10﹣1﹣2＝0；
（5）原式＝﹣2.6﹣3.4+2.3+1.5﹣2.3＝﹣4.5；
（6）原式＝，
＝﹣3.36+[7.36+]＝﹣3.36+7.36+＝1+4＝5．
2．（1）+（﹣）++（﹣）+（﹣）；
（2）（﹣0.5）+3+2.75+（﹣5）
（3）7+（﹣6.9）+（﹣3.1）+（﹣8.7）
（4）．
【分析】（1）利用加法交换律简化运算求解．
（2）利用加法交换律简化运算求解．
（3）利用加法交换律简化运算求解．
（4）先运用绝对值求解，再运用有理数加法法则求解即可．
【解答】解：（1）+（﹣）++（﹣）+（﹣）
＝+（﹣）+（﹣）+（﹣）+
＝0﹣1+
＝﹣；
（2）解：原式＝[（﹣）+（﹣5）]+（3+2）
＝﹣6+6
＝0；
（3）解：原式＝[（﹣6.9）+（﹣3.1）]+[（﹣8.7）+7]
＝﹣10+（﹣1.7）
＝﹣11.7；
（4）解：原式＝
＝
＝2．
【类型二：有理数加法的实际应用】
3．下表是某商店四个季度的盈亏状况（盈利为正，单位：万元）
季度
一
二
三
四
盈利
+128.5
﹣140
﹣95.5
+280
求这个商店该年的盈亏状况．
【分析】此题直接把四个季度的盈利数据利用有理数的加法法则求和即可求出这个商店该年的盈亏状况．
【解答】解：128.5+（﹣140）+（﹣95.5）+280
＝128.5﹣140﹣95.5+280
＝173（万元）．
∴这个商店该年的盈利173万元．
4．某学校在一次数学考试中，记录了第三小组八名学生的成绩，以60分为及格，高于60分记正数，不足60分记负数，这八名学生的成绩分别为：+3分，+5分，0分，﹣6分，﹣2分，﹣3分，+8分，+6分，总计超过或不足多少分？这八名学生的总分是多少？
【分析】让8名学生的成绩相加即可得到总计超过或不足多少分；加上8个60即为总分．
【解答】解：3+5﹣6﹣2﹣3+8+6＝11分；
这八名学生的总分是8×60+11＝491分．
答：总计超过11分，总分为491分．
5．8筐蔬菜，以每筐50千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下：+3，﹣6，+4，+2，﹣1，﹣4，+5，﹣4，总计是超过多少千克或不足多少千克？8筐蔬菜的总重量是多少千克？
【分析】“正”和“负”相对，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，把称重记录的数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；求8筐蔬菜的总重量，可以用8×50加上正负数的和即可．
【解答】解：3﹣6+4+2﹣1﹣4+5﹣4＝﹣1（千克），8×50﹣1＝399（千克）．
答：总计不足1千克，总重量399千克．

知识点一：有理数的减法运算法则：
减去一个数等于加上这个数的 相反数 。
（1） 较大的数－较小的数＝正数。即则 ＞ 0。
（2） 较小的数－较大的数＝负数。即 ＜ 0。
（3） 相等的数的差等于0。即 ＝ 0。

【类型一：减法基本运算】
6．计算：
（1）（﹣12）﹣（﹣15）； （2）0﹣2020；
（3）（﹣7.5）﹣5.6； （4）（﹣）﹣（﹣）；
（5）（﹣2）﹣（﹣3）； （6）（﹣5）﹣（﹣7）﹣（﹣6）﹣10．
【分析】根据有理数的加法法则计算即可，有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）．
【解答】解：（1）（﹣12）﹣（﹣15）；
解：原式＝（﹣12）+15
＝+（15﹣12）
＝3．
（2）0﹣2 020；
解：原式＝0+（﹣2 020）
＝﹣2 020．
（3）（﹣7.5）﹣5.6；
解：原式＝（﹣7.5）+（﹣5.6）
＝﹣13.1．
（4）（﹣）﹣（﹣）；
解：原式＝（﹣）+（+）
＝﹣（﹣）
＝﹣．
（5）（﹣2）﹣（﹣3）；
解：原式＝（﹣2）+3
＝．
（6）（﹣5）﹣（﹣7）﹣（﹣6）﹣10．
解：原式＝（﹣5）+7+6+（﹣10）
＝﹣2．
7．计算：
（1）﹣2﹣（+10）； （2）0﹣（﹣3.6）；
（3）（﹣30）﹣（﹣6）﹣（+6）﹣（﹣15）；
（4）（﹣3）﹣（﹣2）﹣（+1）﹣（+1.75）．
【分析】根据有理数的减法法则计算即可．
【解答】解：（1）﹣2﹣（+10）＝﹣2+（﹣10）＝﹣（10+2）＝﹣12；
（2）0﹣（﹣3.6）＝0+3.6＝3.6；
（3）（﹣30）﹣（﹣6）﹣（+6）﹣（﹣15）＝﹣30+6﹣6+15＝﹣15；
（4）（﹣3）﹣（﹣2）﹣（1）﹣（+1.75）＝﹣+＝﹣+1＝．
【类型二：有理数减法的实际应用】
8．某服装店购进10件羊毛衫，实际销售情况如表所示：（售价超出成本为正，不足记为负）
件数（件）
3
2
2
1
2
钱数（元）
﹣10
﹣20
+20
+30
+40
（1）这批羊毛衫销售中，最高售价的一件与最低售价的一件相差多少元？
（2）通过计算求出这家服装店在这次销售中盈利或者亏损多少元？
【分析】（1）用最大的数减去最小的数即可：
（2）首先由进货量和进货单价计算出进货的成本，然后再根据售价计算出赚了多少钱．
【解答】解：（1）40﹣（﹣20）＝60（元），
答：最高售价的一件与最低售价的一件相差60元；
（2）3×（﹣10）+2×（﹣20）+2×20+1×30+2×40
＝80（元），
答：该这家服装店在这次销售中是盈利了，盈利80元．
9．全班学生分成五个组进行游戏，每个组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束时，各组的分数如下；
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
100
150
﹣400
350
﹣100
（1）第一名超出第二名多少分？
（2）第一名超出第五名多少分？
【分析】（1）用最高的第四组的分数减去第二组的分数，然后根据有理数的减法运算进行计算即可得解；
（2）用最高的第四组的分数减去第三组的分数，根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：（1）第一名为第四组，第二名为第二组，
350﹣150＝200（分）；
（2）第一名为第四组，第五名为第三组，
350﹣（﹣400）＝350+400＝750（分）．


知识点一：有理数的加减法混合运算法则：
根据有理数的减法运算法则把混合运算中的减法运算变成 加法运算 ，再根据有理数的加法运算法则计算总体结果。从 左至右 算起，有括号的先算 括号 。

【类型一：加减混合运算】
10．①（﹣5）+9+（﹣4）；
②（﹣）+3.25+2+（﹣5.875）+1.15
③（﹣33）+|﹣56|+|﹣44|+（﹣67）；
④（+7.563）+[（﹣3.76）+（﹣3.563）+（﹣0.03）+（﹣1.24）]．
【分析】①根据有理数的加减混合运算的运算方法，求出算式的值是多少即可．
②③④应用加法交换律和加法结合律，求出每个算式的值各是多少即可．
【解答】解：①（﹣5）+9+（﹣4）
＝4﹣4
＝0
②（﹣）+3.25+2+（﹣5.875）+1.15
＝（﹣﹣5.875）+（3.25+2+1.15）
＝﹣6+7
＝1
③（﹣33）+|﹣56|+|﹣44|+（﹣67）
＝（﹣33）+56+44+（﹣67）
＝（﹣33﹣67）+（56+44）
＝﹣100+100
＝0
④（+7.563）+[（﹣3.76）+（﹣3.563）+（﹣0.03）+（﹣1.24）]
＝（+7.563﹣3.563）+（﹣3.76﹣1.24）﹣0.03
＝4﹣5﹣0.03
＝﹣1﹣0.03
＝﹣1.03
11．①（﹣5）﹣（﹣2.25）﹣（﹣2）﹣（+5）；
②（5﹣12）﹣（13﹣5）．
③0﹣（﹣2）+（﹣7）﹣（+1）+（﹣10）；
④﹣0.5﹣5﹣1+3﹣4+2．
【分析】①④应用加法交换律和加法结合律，求出每个算式的值各是多少即可．
②③根据有理数的加减混合运算的运算方法，求出每个算式的值各是多少即可．
【解答】解：①（﹣5）﹣（﹣2.25）﹣（﹣2）﹣（+5）
＝（﹣5+2）﹣（﹣2.25+5）
＝﹣2﹣3.5
＝﹣6
②（5﹣12）﹣（13﹣5）
＝﹣7﹣8
＝﹣15
③0﹣（﹣2）+（﹣7）﹣（+1）+（﹣10）
＝2﹣7﹣1﹣10
＝﹣16
④﹣0.5﹣5﹣1+3﹣4+2
＝（﹣0.5﹣1﹣4）+（﹣5+3）+2
＝﹣6﹣2+2
＝﹣8+2
＝﹣5
【类型二：有理数加减法混合运算实际应用】
12．一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：+6，﹣2，+10，﹣8，﹣7，+11，﹣10．
（1）守门员是否回到了原来的位置？
（2）守门员离开球门的位置最远是多少？
（3）守门员一共走了多少路程？
【分析】（1）只需将所有数加起来，看其和是否为0即可；
（2）计算每一次跑后的数据，绝对值最大的即为所求；
（3）将所有绝对值相加即可．
【解答】解：（1）根据题意得：6﹣2+10﹣8﹣7+11﹣10＝0．
答：回到了原来的位置．
（2）第一次离开6米，第二次离开4米，第三次离开14米，第四次离开6米，第五次离开1米，第六次离开10米，第七次离开0米，
则守门员离开守门的位置最远是14米；
（3）总路程＝|+6|+|﹣2|+|+10|+|﹣8|+|﹣7|+|+11|+|﹣10|＝54米．
13．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
星期
一
二
三
四
五
六
日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
+3
﹣5
﹣2
+11
﹣7
+13
+5
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
【分析】（1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；
（2）根据第一周实际销售柚子的数量相加计算即可；
（3）将总数量乘以价格差解答即可．
【解答】解：（1）13﹣（﹣7）＝13+7＝20（千克）．
答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克．
（2）3﹣5﹣2+11﹣7+13+5+100×7
＝18+700
＝718（千克）．
答：小王第一周实际销售柚子的总量是718千克．
（3）718×（8﹣3）
＝718×5
＝3590（元）．
答：小王第一周销售柚子一共收入3590元．
14．在我市创建“卫生城市”某天，市交警大队的一辆警车在东西方向的街上巡视，警车从喷泉广场A处出发，规定向东方向为正，当天行驶记录如下（单位：千米）：
+11，﹣8，+7，﹣16，+6，﹣7，+5，﹣3．
（1）最后警车是否回到喷泉广场A处？若没有，在喷泉广场A处何方？距喷泉广场A处多远？
（2）若警车行驶1千米耗油0.2升，出发时油箱中有油8升，问在当天巡视中，油箱中的油够不够？若不够，途中还需补充多少升油？
【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得答案；
（2）根据行车就耗油，可得耗油量，根据油量与耗油量的差，可得答案．
【解答】解：（1）没有，
11﹣8+7﹣16+6﹣7+5﹣3＝﹣5（千米）．
答：警车在喷泉的西方，距喷泉广场A处5千米处．
（2）11+8+7+16+6+7+5+3＝63（千米），
63×0.2＝12.6（升）
12.6﹣8＝4.6（升）．
答：途中还需补充4.6升．
【类型三：利用有理数的加减法计算数轴上两点之间的距离与点的移动】
技巧提示：求数轴上两点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值。
求数轴上的点的移动用原数加减移动单位可得到移动后表示的数，右边移动加上移动单位，左边移动减去移动单位。
15．数轴上表示﹣6和4的点分别是A和B，则线段AB的长度是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣10 D．10
【分析】计算数轴上两点间距离．
【解答】解：AB＝4﹣（﹣6）＝10．
故选：D．
16．数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和3，点P到A、B两点的距离之和为6，则点P表示的数是（　　）

A．﹣3 B．﹣3或5 C．﹣2 D．﹣2或4
【分析】根据AB的距离为4，小于6，分点P在点A的左边和点B的右边两种情况分别列出方程，然后求解即可．
【解答】解：∵AB＝|3﹣（﹣1）|＝4，点P到A、B两点的距离之和为6，
设点P表示的数为x，
∴点P在点A的左边时，﹣1﹣x+3﹣x＝6，
解得：x＝﹣2，
点P在点B的右边时，x﹣3+x﹣（﹣1）＝6，
解得：x＝4，
综上所述，点P表示的数是﹣2或4．
故选：D．
17．点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（　　）
A．﹣2或1 B．﹣2或2 C．﹣2 D．1
【分析】根据绝对值的意义，列方程求解即可．
【解答】解：由题意得，
|2a+1|＝3，
解得，a＝1或a＝﹣2，
故选：A．
18．在数轴上与表示数2的点距离4个单位长度的点表示的数是（　　）
A．﹣2 B．2或﹣6 C．6 D．﹣2或6
【分析】分在表示数2的点的左边和右边两种情况进行讨论，即可得出答案．
【解答】解：当在表示数2的点的左边时，则距离4个单位长度的点表示的数是2﹣4＝﹣2，
当在表示数2的点的右边时，则距离4个单位长度的点表示的数是2+4＝6，
∴在数轴上与表示数2的点距离4个单位长度的点表示的数是﹣2或6，
故选：D．
19．数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（　　）
A．4 B．﹣4或10 C．﹣10 D．4或﹣10
【分析】根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可．
【解答】解：点A表示的数是﹣3，左移7个单位，得﹣3﹣7＝﹣10，
点A表示的数是﹣3，右移7个单位，得﹣3+7＝4．
所以点B表示的数是4或﹣10．
故选：D．
20．数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发爬了4个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（　　）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．±8
【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解．由于点A与原点0的距离为4，那么A应有两个点，记为A1，A2，分别位于原点两侧，且到原点的距离为4，这两个点对应的数分别是﹣4和4，在数轴上画出A1，A2点如图所示．
【解答】解：设A点表示的有理数为x．因为点A与原点O的距离为4，即|x|＝4，所以x＝4或x＝﹣4．

故选：C．
21．一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位，再向左移动7个单位长度，这时点所对应的数是（　　）
A．3 B．1 C．﹣2 D．﹣4
【分析】数轴上的点平移和其对应的数的大小变化规律：左减右加．
【解答】解：根据题意，得0+3﹣7＝﹣4．
故选：D．
【绝对值与加减法运算】
22．已知|x|＝2，|y|＝5，且x＞y，则x+y＝　 　．
【分析】先求得x、y的值，然后根据x＞y分类计算即可．
【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝5，
∴x＝±2，y＝±5．
∵x＞y，
∴x＝2，y＝﹣5或x＝﹣2，y＝﹣5．
∴x+y＝2+（﹣5）＝﹣3或x+y＝﹣2+（﹣5）＝﹣7．
故答案为：﹣3或﹣7．
23．已知|x|＝3，|y|＝7，且x+y＞0，则x﹣y的值等于 　 　．
【分析】先根据绝对值的化简法则得出x与y的值，再根据x+y＞0，分类讨论计算即可．
【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝7
∴x＝3或x＝﹣3；y＝7或y＝﹣7，
又∵x+y＞0，
∴当x＝3，y＝7时，x﹣y＝3﹣7＝﹣4；
当x＝﹣3，y＝7时，x﹣y＝﹣3﹣7＝﹣10；
故答案为：﹣4或﹣10．
24．若|m|＝5，|n|＝7，m+n＜0，则m﹣n的值是 　 　．
【分析】根据绝对值的定义求出m，n的值，根据m+n＜0，分两种情况分别计算即可．
【解答】解：∵|m|＝5，|n|＝7，
∴m＝±5，n＝±7，
∵m+n＜0，
∴当m＝5，n＝﹣7时，m﹣n＝5+7＝12；
当m＝﹣5，n＝﹣7时，m﹣n＝﹣5+7＝2；
故答案为：12或2．
25．已知|a|＝9，|b|＝3，则|a﹣b|＝b﹣a，则a+b的值为 　 　．
【分析】根据绝对值的定义求出a，b的值，根据|a﹣b|＝b﹣a，得到a≤b，然后分两种情况分别计算即可．
【解答】解：∵|a|＝9，|b|＝3，
∴a＝±9，b＝±3，
∵|a﹣b|＝b﹣a，
∴a≤b，
当a＝﹣9，b＝3时，a+b＝﹣9+3＝﹣6；
当a＝﹣9，b＝﹣3时，a+b＝﹣9﹣3＝﹣12；
故答案为：﹣6或﹣12．

知识点一：有理数的乘法运算法则：
（1） 两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，在把 绝对值 相乘。
（2） 任何数与0相乘都等于 0 。
（3） 任何数与1相乘的积是 原数 ，与﹣1相乘得到它的 它的相反数 。
（4） 在有理数的乘法计算时，小数化成 分数 ，带分数化成 假分数 。
（5） 多个有理数相乘：先观察因数中有无0作为因数，若有0作为因数，则积为 0 ，若
没有0作为因数，则根据 负号 的个数先确定积的符号，当负号的个数为奇数个时，积的符号为 ﹣ ，当负号的个数为偶数个时，积的符号为 正 。在把所有因数的 绝对值 相乘。
知识点二：有理数乘法的运算定律：
（1） 乘法交换律：交换因数的位置，积 不变 。即。
（2） 乘法结合律：三个有理数相乘，先把 前两个 因数相乘或先把 后两个 因数相乘，
积 不变 。
（3） 乘法分配律：一个数乘以几个数的和或差，等于这个数别分乘以这几个数的积的和或
差。即：
特别提示：分配律与分配律的逆运算在很多计算题目里面能够简便运算。

【类型一：有理数乘法基本运算】
26．计算：
（1）（﹣）×； （2）（+1）×（﹣2）；
【分析】（1）（2）根据有理数的乘法法则计算即可；
（3）（4）先算乘法，这是加减．
【解答】解：（1）（﹣）×＝﹣；
（2）（+）×（﹣）＝﹣4；
27．计算：
（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）；
（2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）．
【分析】（1）直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）
＝﹣××
＝﹣；
（2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）＝0．
【类型二：运算定律——分配律】
28．计算：
（1）（﹣+﹣）×2； （2）（﹣56）×（﹣+）；
（3）99×（﹣18）； （4）3.1416×6.495+3.1416×（﹣5.495）．
【分析】（1）把带分数化为假分数，然后利用乘法分配律进行计算即可得解；
（2）利用乘法分配律进行计算即可得解；
（3）把99写成（100﹣），然后利用乘法分配律进行计算即可得解；
（4）逆运用乘法分配律进行计算即可得解．
【解答】解：（1）（﹣+﹣）×2，
＝（﹣+﹣）×，
＝﹣×+×﹣×，
＝﹣+2﹣，
＝2﹣，
＝﹣；
（2）（﹣56）×（﹣+），
＝×（﹣56）﹣×（﹣56）+×（﹣56），
＝﹣32+21﹣4，
＝﹣36+21，
＝﹣15；
（4）99×（﹣18），
＝（100﹣）×（﹣18），
＝100×（﹣18）﹣×（﹣18），
＝﹣1800+1，
＝﹣1799；
（6）3.1416×6.495+3.1416×（﹣5.495），
＝3.1416×（6.495﹣5.495），
＝3.1416．

知识点一：倒数：
1. 乘积为 1 的两个数互为倒数。若，则与互为 倒数 或是的 倒数 或是
的 倒数 。一个数不能说是倒数。
2. 正数的倒数是 正数 ，负数的倒数是 负数 ， 0 没有倒数，倒数等于它本身的数有
±1 。
3. 求带分数的倒数时，先把带分数化成 假分数 ，求小数的倒数时，把小数化成 分数 。
知识点二：有理数的除法运算法则：
法则一：除以一个数，等于乘以这个数的 倒数 。
法则二：两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，再把 绝对值 相除。0除以任何一个不为0的数都得 0 。两数相除的结果为1时，这两个数 相等 ，两数相除的结果为﹣1时，这两个数 互为相反数 。
知识点三：有理数的乘除混合运算：
第一步：利用除法运算法则把除法变成 乘法 。
第二步：确定结果的 符号 。
第三步：确定结果的 值 ，得到最终结果。
特别提示：统一变换成乘法运算之后能用乘法运算定律简便运算的用乘法定律简便运算。
知识点四：有理数的加减乘除混合运算：
①先 乘除 ，后 加减 ，有 括号 的要先算 括号 。先算 小括号 ，再算 中括号 ，最后算 大括号 。
②同级运算中，按照 从左至右 的顺序计算。
特别提示：加减同级为一级，乘除同级为二级

【类型一：求一个数的倒数】

29．﹣5的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．﹣5 D．5
【分析】根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（﹣5）×（﹣）＝1，
∴﹣5的倒数是﹣．
故选：B．
30．﹣的倒数是　 　；1的相反数是　 ．
【分析】根据倒数和相反数的定义求解即可．
【解答】解：根据倒数和相反数的定义可知：﹣的倒数是﹣3；
1的相反数是﹣1．
故答案为：﹣3；﹣1．
31．若a，b互为倒数，则的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
【分析】根据倒数的定义乘积是1的两数互为倒数，进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，ab＝1，
所以＝．
故选：C．

【类型二：除法基本运算】
32．计算：
（1）﹣3÷（﹣）÷（﹣）； （2）（﹣12）÷（﹣4）÷（﹣1）；
（3）（﹣）×（﹣）÷0.25； （4）（﹣2）÷（﹣5）×（﹣3）．
【分析】（1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣3×（﹣）×（﹣）
＝﹣；
（2）原式＝（﹣12）×（﹣）×（﹣）
＝﹣；
（3）原式＝（﹣）×（﹣）×4
＝；
（4）原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣）
＝﹣．
【类型三：乘除法混合运算】
33．计算：
（1）（﹣3）÷（﹣1）×0.75÷（﹣）×（﹣6）；
（2）（﹣）×（﹣0.1）÷×（﹣10）；
（3）[（﹣72）×（﹣）]×[（﹣）÷（﹣）]．
【分析】（1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可；
（2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可；
（3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可．
【解答】解：（1）原式＝3××××6
＝18；
（2）原式＝﹣（××25×10）
＝﹣5；
（3）原式＝（72×）×（×）
＝48×
＝54．

34．计算：
（1）375÷（﹣）÷（﹣）；
（2）3×（﹣4）+（﹣28）÷7；
（2）42×（﹣）+（﹣）÷（﹣0.25）；
（4）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]．
【分析】（1）将除法运算化为乘法运算，计算即可得到结果；
（2）先计算乘除运算，再计算加法运算，即可得到结果；
（3）先计算乘除运算，再计算加减运算，即可得到结果；
（4）先计算括号中的运算，再计算除法运算，即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝375×（﹣）×（﹣）＝；
（2）原式＝﹣12﹣4＝﹣16；
（3）原式＝﹣28+3＝﹣25；
（4）原式＝﹣1155÷165＝﹣7．
















一． 选择题（共12小题）
1．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　）
A．6+3＝9 B．﹣6﹣3＝﹣9 C．6﹣3＝3 D．﹣6+3＝﹣3
【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：﹣6+3＝﹣3，
故选：D．
2．将式子（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）省略括号和加号后变形正确的是（　　）
A．20﹣3+5﹣7 B．﹣20﹣3+5+7 C．﹣20+3+5﹣7 D．﹣20﹣3+5﹣7
【分析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号．
【解答】解：（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）＝﹣20+3+5﹣7．
故选：C．
3．下列各式中，正确的是（　　）
A．﹣4﹣2＝﹣2 B．3﹣（﹣3）＝0
C．10+（﹣8）＝﹣2 D．﹣5﹣4﹣（﹣4）＝﹣5
【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：A、﹣4﹣2＝﹣6，故此选项不合题意；
B、3﹣（﹣3）＝6，故此选项不合题意；
C、10+（﹣8）＝2，故此选项不合题意；
D、﹣5﹣4﹣（﹣4）＝﹣5，正确，符合题意．
故选：D．
4．计算（﹣5）÷的结果等于（　　）
A．﹣25 B．﹣1 C．1 D．25
【分析】根据有理数的除法法则计算即可，除以一个数，等于乘以这个数的倒数．
【解答】解：（﹣5）÷＝（﹣5）×5＝﹣25．
故选：A．
5．|﹣2.5|的倒数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．﹣
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：|﹣2.5|＝2.5＝，则|﹣2.5|的倒数是．
故选：B．
6．计算（﹣32）÷4×（﹣8）结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．64 D．﹣64
【分析】先算除法后算乘法即可．
【解答】解：原式＝﹣8×（﹣8）＝64．
故选：C．
7．徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，1月份的泰山，山脚平均气温为9℃，山顶平均气温为﹣2℃，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是（　　）
A．﹣7℃ B．﹣11℃ C．7℃ D．11℃
【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值．
【解答】解：9﹣（﹣2）＝9+2＝11（℃），
故选：D．
8．计算（﹣1）×（﹣）的结果（　　）
A．﹣1 B．－ C．1 D．
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝×＝1．
故选：C．
9．若a+b＞0，且ab＜0，则以下正确的选项为（　　）
A．a，b都是正数
B．a，b异号，正数的绝对值大
C．a，b都是负数
D．a，b异号，负数的绝对值大
【分析】根据有理数的乘法和加法法则判断即可．
【解答】解：∵ab＜0，
∴a，b异号，
∵a+b＞0，
∴正数的绝对值大，
故选：B．
10．设a为最小的正整数，b为最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b﹣c的值为（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
【分析】由a为最小的正整数，b为最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，可分别得出a、b、c的值，代入计算可得结果．
【解答】解：根据题意知a＝1，b＝﹣1，c＝0，
则a+b﹣c＝1﹣1+0＝0，
故选：A．
11．已知|a|＝5，|b|＝3，a﹣b＜0，则a+2b值为（　　）
A．11 B．﹣1 C．﹣1或11 D．1或﹣11
【分析】利用绝对值的意义可得：a＝±5，b＝±3，再根据a﹣b＜0确定a，b的值，代入后计算即可得出结论．
【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝3，
∴a＝±5，b＝±3．
∵a﹣b＜0，
∴a＝﹣5，b＝3或a＝﹣5，b＝﹣3，
∴a+2b＝1或﹣11．
故选：D．
12．a，b在数轴上对应的点如图，下列结论正确的是（　　）

A．b﹣a＜0 B．a+b＞0 C．ab＜0 D．ab＞0
【分析】先由数轴上a，b两点位置确定a，b的符号和a，b的绝对值大小，再对四个选项逐一判断即可．
【解答】解：根据数轴图知：a＜0＜b，|a|＞|b|．
∴b﹣a＞0，故选项A不符合题意．
a+b＜0，故选项B不符合题意．
ab＜0，故选项C符合题意，选项D不符合题意．
故选：C．
二． 填空题（共6小题）
13．﹣3的倒数是 　 　，﹣的绝对值是 　 　，﹣1的倒数的相反数是 　 　．
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数；负数的绝对值是它的相反数；只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可．
【解答】解：﹣3的倒数是﹣，﹣的绝对值是，﹣1的倒数是，的相反数是．
故答案为：﹣，，．
14．矿井下A，B，C三处的高度分别是﹣37m，﹣129m，﹣71.3m，那么最高处比最低处高 　 　m．
【分析】先确定最高处和最低处，根据有理数的减法，可得两地的相对高度．
【解答】解：∵最高处：﹣37米，
最低处：﹣129米，
最高处比最低处高：﹣37﹣（﹣129）＝92（米），
故答案为：92．
15．若|m﹣1|+|n+3|＝0，则m的相反数是 　 　，n的倒数是 　 　．
【分析】先根据非负数的性质列出方程求出m、n的值，再根据相反数、倒数的定义解答即可．
【解答】解：由题意得，m﹣1＝0，n+3＝0，
解得，m＝1，n＝﹣3，
则m的相反数是﹣1，n的倒数是﹣．
故答案为：﹣1，﹣．
16．已知|a|＝6，|b|＝2，|a+b|＝a+b，则a﹣b＝　 　．
【分析】根据绝对值的意义，已知|a|＝6，|b|＝2，可以确定a，b的值，根据|a+b|＝a+b知a＝6，b＝2或b＝﹣2，再分别求解可得．
【解答】解：∵|a|＝6，|b|＝2，
∴a＝±6，b＝±2，
∵|a+b|＝a+b，
∴a+b≥0，
则a＝6，b＝2或b＝﹣2，
∴当a＝6，b＝2时，a﹣b＝6﹣2＝4；
当a＝6，b＝﹣2时，a﹣b＝6﹣（﹣2）＝8；
综上，a﹣b的值为4或8，
故答案为：4或8．
17．若a是最大的负整数，b是最小的正整数，c的相反数等于它本身，则代数式a﹣b+2c＝　 　．
【分析】先利用a，b，c的条件求出a，b，c，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵a是最大的负整数，b是最小的正整数，c的相反数等于它本身，
∴a＝﹣1，b＝1，c＝0，
∴a﹣b+2c＝﹣1﹣1+0＝﹣2，
故答案为：﹣2．
18．如图，在数轴上有一点A，将点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为 　 ．

【分析】设a的值为x，则b的值为x+1，c的值为x+3，根据这三个数的和与其中的一个数相等分情况讨论即可得出答案．
【解答】解：设a的值为x，则b的值为x+1，c的值为x+3，
当x+x+1+x+3＝x时，x＝﹣2，
∴a＝﹣2，b＝﹣1，c＝1，
∴abc＞0，不合题意；
当x+x+1+x+3＝x+1时，x＝﹣，
∴a＝﹣，b＝﹣，c＝，
∴abc＞0，不合题意；
当x+x+1+x+3＝x+3时，x＝﹣，
∴a＝﹣，b＝，c＝，
∴abc＜0，符合题意；
故答案为：﹣．
三． 解答题（共4小题）
19. 计算：
（1）8×|﹣6﹣1|+26×． （2）3.2．
（3） （1+﹣2.75）×（﹣24） （4）．
【分析】（1）去掉绝对值号，再把带分数化为假分数，然后根据有理数的乘法和加法运算法则进行计算即可得解．
（2） 首先把除法统一化为乘法，再确定结果的符号，再把绝对值相乘即可．
（3） 首先把括号内的数化成分数，然后利用分配律，最后进行加减计算即可．
（4）利用分配律即可转化成有理数的乘法，然后进行有理数的加减运算即可．
【解答】解：（1）8×|﹣6﹣1|+26×
＝8×|﹣7|+×
＝56+3
＝59．
（2）原式＝××（﹣）×（﹣）
＝×××
＝．
（3）原式＝（+﹣）×（﹣24）
＝﹣×24﹣×24+×24
＝﹣32﹣3+66
＝31
（4）
＝
＝﹣45+30+21
＝6．
20．若a＞0＞b＞c且|a|＜|b|＜|c|，化简|a+c|+|a+b+c|﹣|a﹣b|﹣|b+c|．
【分析】根据题目给出的条件画出数轴，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可化简．
【解答】解：根据已知条件将a、b、c在数轴上表示出来．

原式＝﹣（a+c）﹣（a+b+c）﹣（a﹣b）+（b+c）
＝﹣a﹣c﹣a﹣b﹣c﹣a+b+b+c
＝﹣3a﹣c+b．
21．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭，小亮家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”．

第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程（km）
﹣7
﹣12
﹣13
0
﹣17
+40
+9
（1）请求出这7天中平均每天行驶多少千米？
（2）若每行驶50km需用汽油4升，汽油价6.8元/升，计算小亮家这7天的汽油费用大约是多少元？
【分析】（1）根据有理数的加法，可得超出或不足部分的路程平均数，再加上50，可得平均路程；
（2）先求出平均一天的耗油量，根据总价＝单价×数量可求一天的需要的钱数，再乘天数7，可得答案．
【解答】解：（1）×（﹣7﹣12﹣13+0﹣17+40+9）＝0，
∴50+0＝50（千米）．
答：这七天平均每天行驶50千米；
（2）50××6.8＝27.2（元），
27.2×7＝190.4（元）．
答：小亮家这7天的汽油费用大约是190.4元．
22．（1）阅读思考：小唐在学习过程中，发现“数轴上两点间的距离”可以用“表示这两点数的差”来表示．

【探索】：如图1，线段AB，BC，CD的长度可表示为：AB＝3＝4﹣1，BC＝5＝4﹣（﹣1），CD＝3＝（﹣1）﹣（﹣4）；于是他归纳出这样的结论：如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，当b＞a时，AB＝b﹣a（较大数﹣较小数）．
（2）尝试应用：
①如图2所示，计算：OE＝　5　，EF＝　8　．
②把一条数轴在数m对应的点处对折，使表示1和3两数的点恰好互相重合，则m＝　2　；若把数轴在数n对应的点处对折，使表示﹣5和3两数的点恰好互相重合，数n＝　﹣1　．
（3）问题解决：如图3所示，点P表示数x，点M表示数﹣2，点N表示数2x+8，且MN＝4PM，求出点P和点N分别表示的数．
【分析】（1）利用题中归纳的结论进行计算即可；
（2）利用数轴上两点间距离进行计算即可；
（3）利用数轴上两点间距离进行计算即可．
【解答】解：（2）①OE＝0﹣（﹣5）＝0+5＝5，EF＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8，
②由题意得：
3﹣m＝m﹣1，
∴m＝2，
把一条数轴在数m对应的点处对折，使表示1和3两数的点恰好互相重合，则m＝2，
由题意得：
3﹣n＝n﹣（﹣5），
∴n＝﹣1，
∴若把数轴在数n对应的点处对折，使表示﹣5和3两数的点恰好互相重合，数n＝﹣1，
故答案为：①5，8，
②2，﹣1；
（3）由题意得：
MN＝2x+8﹣（﹣2）＝2x+10，PM＝﹣2﹣x，
∵MN＝4PM，
∴2x+10＝4（﹣2﹣x），
解得：x＝﹣3，
∴2x+8＝2，
∴点P表示的数是：﹣3，点N表示的数是：2．