2020-2021学年5 分数基本性质巩固练习

第五单元分数的意义

5.5 最大公因数

【基础巩固】

一、选择题

1．淘气买圆珠笔花了10元，笑笑买圆珠笔花了8元。如果他们买的圆珠笔的单价是一样的，那么这种圆珠笔的单价最高是（   ）元。（淘气和笑笑买圆珠笔的单价和数量都是整数）

A．2 B．4 C．20 D．40

2．如果m＝9n（m和n都是不为0的整数），那么m和n的最大公因数是（   ）。

A．m B．9 C．n D．mn

3．两根绳子分别长48dm和54dm，要将它们剪成同样长的小段而没有剩余，每小段最长（   ）。

A．12dm B．6dm C．3dm D．2dm

4．下面（   ）组的公因数只有1。

A．21和14 B．54和42 C．3和39 D．26和27

5．两根铁丝的长分别为18米，12米，现在把它们截成相等的小段，且每一段必须最长，这样共可截（   ）段。

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题

6．有两根竹竿，长度分别是16dm、20dm。要把它们截成同样长的几段，不许剩余，每段最长是(        )dm。

7．18的因数是(        )，21的因数是(        )，它们的公因数是(        )。

8．长24cm、36cm的两根小棒，截成相等小段，正好截完，没有剩余。每段最长(        )cm。

9．互质的两个数的最大公因数是_____。

10．男生有36人，女生有48人，各排一个方队，要使每排人数相同，每排最多有(        )人。

三、计算题

11．求下面每组数的最大公因数。

6和10     18和24      34和17

【能力提升】

四、解答题

12．有三根小棒，分别长12cm，44cm，56cm。要把它们截成同样长的小段，不许有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段这样的小段？

13．把两根分别长32cm和40cm的木条截成同样长的小段，每小段都要求是整厘米数，且没有剩余。每小段木条最长是多少厘米？一共能剪多少段这么长的木条？

【拓展实践】

14．李明家买的房子带一间地下室，地下室长24分米，宽12分米，高3米。

（1）地下室的门面积是160平方分米，没有窗户，要粉刷这间地下室的墙壁和天花板，需要粉刷的面积是多少平方分米？

（2）给地下室的地面铺上防潮砖，为了美观，全家人商量后确定使用的防潮砖必须都是整块的，选择下面哪种规格的防潮砖可以满足他们的要求？请说明你的理由。

15．有一张长方形木板，长28分米，宽12分米，在无剩余的情况下，将它裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可以裁成多少个？

【分析与解答】

①要使木板没有剩余，那么正方形的边长必须是28和12的（   ）。

②要裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长必须是28和12的（   ）。

③我是这样解决的：

【回顾与反思】

④下图就是这块长方形木板，我们试着用最大的正方形去画一面，验一验。

参考答案

1．A

【分析】淘气买圆珠笔花了10元，笑笑买圆珠笔花了8元，因为他们买的圆珠笔的单价是一样的，所以圆珠笔的单价是10、8的公因数；求这种圆珠笔的单价最高是多少元，就是求10、8的最大公因数。

【详解】10＝2×5

8＝2×2×2

所以10、8的最大公因数是：2；

因此这种圆珠笔的单价最高是2元。

故答案为：A

【点睛】此题需要学生掌握求最大公因数的方法并灵活运用。

2．C

【分析】由m＝9n可知，m÷n＝9，则m是n的倍数，n是m的因数，m和n成倍数关系时，最大公因数是里面的较小数，据此解答。

【详解】假设m＝18，n＝2，18＝9×2，18和2的最大公因数是2，则m和n的最大公因数是n。

故答案为：C

【点睛】根据题意确定m和n成倍数关系是解答题目的关键。

3．B

【分析】每小段最长的分米数就是两根绳子长度分米数的最大公因数，据此解答。

【详解】48＝2×2×2×2×3

54＝2×3×3×3

48和54的最大公因数是2×3＝6，所以每小段最长是6分米。

故选择：B

【点睛】此题考查了最大公因数的相关应用，求两个数的最大公因数也就是两个数公有因数的连乘积。

4．D

【分析】几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数，据此解答。

【详解】A． 21和14的公因数有：1、7；

B． 54和42的公因数有：1、2、3、6；

C． 3和39的公因数有：1、3；

D． 26和27的公因数只有1。

故选择：D

【点睛】此题考查了公因数的找法，一般用短除法。另外记住连续的自然数只有公因数1。

5．C

【分析】根据题干，要使每一段最长，那么每一段的长度应是18和12的最大公因数，此题只要求出18和12的最大公因数，即可求得截得的段数，由此即可解得答案进行选择。

【详解】18＝2×3×3，

12＝2×2×3，

所以18和12的最大公因数是2×3＝6，即每一段最长为6米，

共可截得：（18＋12）÷6

＝30÷6

＝5（段）

故答案为：C。

【点睛】根据题干，得出每段最长即是求这两个数的最大公因数是解决本题的关键。

6．4

【分析】分别把16dm和20dm两个数分解质因数，求出它们的最大公因数，就是每段最长的长度。

【详解】16＝2×2×2×2

20＝2×2×5

16和20的最大公因数是：2×2＝4。

所以每段最长是4dm。

【点睛】主要考查几个数的最大公因数的求法，并用它解决实际问题。

7．1、2、3、6、9、18     1、3，7、21     1、3

【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；两个数公有的因数叫做它们的公因数。据此解答即可。

【详解】18的因数有：1、2、3、6、9、18；

21的因数有：1、3，7、21；

18和21的公因数有：1、3。

【点睛】此题考查的目的是理解因数、公因数的意义，掌握求一个数的因数的方法、求两个数的公因数的方法及应用。

8．12

【分析】分别把24和36两个数分解质因数，求出它们的最大公因数，就是每根小棒最长厘米数。

【详解】24＝2×2×2×3

36＝2×2×3×3

所以24和36的最大公因数是2×2×3＝12，所以每段最长12cm。

【点睛】主要考查几个数的最大公因数的求法，并用它解决实际问题。

9．1

【详解】两个数互质，它们的最大公因数是1。

10．12

【分析】要使每排的人数最多，那么每排的人数就是男生、女生人数的最大公因数，据此解答。

【详解】36＝2×2×3×3；

48＝2×2×2×2×3

所以36和48的最大公因数是2×2×3＝12，每排最多有12人。

【点睛】此题考查了最大公因数的实际应用，求两个数的最大公因数，把两个数公有的质因数连乘即可。

11．2；6；17

【分析】根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积；当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数；当两个数是互质数时，最大公因数是1，据此解答即可。

【详解】10＝2×5

6＝2×3

所以6和10的最大因数是2；

18和24

18＝2×3×3

24＝2×2×2×3

所以18和24的最大公因数是6；

34和17

17和34是倍数关系，所以34和17的最大公因数是17。

12．4厘米；28段

【分析】每小段最长的厘米数就是三根小棒厘米数的最大公因数，一共可以截成的段数＝三根小棒的总长度÷每小段的长度即可。

【详解】12＝2×2×3

44＝2×2×11

56＝2×2×2×7

12、44、56的最大公因数是2×2＝4

（12＋44＋56）÷4

＝112÷4

＝28（段）

答：每小段最长是4厘米，一共可以截成28段这样的小段。

【点睛】此题考查了最大公因数的应用，其最大公因数就是把这几个数公有的因数连乘即可。

13．木条最长8厘米；一共能剪9段

【分析】根据题意，可计算出32与40的最大公因数，即是每小段木条的最长厘米数，然后再用40除以最大公因数加上32除以最大公因数的商，即是一共能剪木条的段数，列式解答即可得到答案。

【详解】32＝2×2×2×4

40＝2×2×2×5

32和40的最大公因数是2×2×2＝8

所以每段最长8厘米

32÷8＋40÷8

＝4＋5

＝9（段）

答：每小段木条最长是8厘米；一共可以剪成9段这么长的木条。

【点睛】解答此题的关键是利用求最大公因数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根木条可以截成的段数，再相加即可。

14．（1）2288平方分米；（2）见详解

【分析】（1）求粉刷的面积，实际上求长方体4个侧面和1个上底面的面积之和，根据长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，求出总面积，再减去地下室的门面积，即是需要粉刷的面积；

（2）根据题意，要使用的防潮砖正好铺满，也就是防潮砖的边长必须是长和宽的因数，根据求公因数的方法解答即可。

【详解】（1）3米＝30分米

24×12＋24×30×2＋12×30×2－160

＝288＋1440＋720－160

＝2448－160

＝2288（平方分米）

答：需要粉刷的面积是2288平方分米。

（2）24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24⋯

12的因数有1、2、3、4、6、12⋯

所以24和12的公因数有1、2、3、4、5、6、12⋯

答：选择边长是4分米的防潮砖可以满足他们的要求，理由是防潮砖的边长必须是24和12的公因数。

【点睛】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，求两个数的公因数的方法及应用。

15．①公因数；②最大公因数；③见详解；④见详解。

【分析】①要使木板没有剩余，正方形的边长一定是28的因数，又是12的因数，所以正方形的边长必须是28和12的公因数；

②要裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长必须是28和12的最大公因数；

③利用短除法求出28和12的最大公因数为2×2＝4（分米），分别用28和12除以最大公因数，得到的两个数相乘，即可求出一共可以裁成的数量。

④根据前面求出的最大公因数，可知正方形的边长是4分米，根据裁成的数量和正方形的边长完成作图。

【详解】①要使木板没有剩余，那么正方形的边长必须是28和12的公因数；

②要裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长必须是28和12的最大公因数；

③我是这样解决的：

④作图如下：

【点睛】本题主要考查最大公因数的应用，解题的关键是理解最大正方形的边长的值等于28和12的最大公因数。