数学九年级下册9 弧长及扇形的面积课时训练

5.9 弧长及扇形的面积

一．选择题

1．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（　　）

A．cm B．cm C．3cm D．cm

2．如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（　　）

A．4圈 B．3圈 C．5圈 D．3.5圈

3．如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（　　）

A．π B．π C．π D．π

4．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为（　　）

A．π B．π C． D．

5．A，B是⊙O上的两点，OA＝1，劣弧的长是，则∠AOB的度数是（　　）

A．30 B．60° C．90° D．120°

6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝40°，AB＝6，则弧BC的长为（　　）

A． B． C． D．

7．如图，已知⊙P与坐标轴交于点A，O，B，点C在⊙P上，且∠ACO＝60°，若点B的坐标为（0，3），则劣弧OA的长为（　　）

A．2π B．3π C． D．

8．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（　　）

A．5 B．π C． D．π

9．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　）

A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1

10．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π B．π C．π D．π

二．填空题

11．若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为　   　．

12．一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是　   　度．

13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为　   　．

14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是　   　（结果保留π）．

三．解答题

15．如图，已知点A、B、P、D、C都在在⊙O上，且四边形BCEP是平行四边形．

（1）证明：＝；

（2）若AE＝BC，AB＝，的长度是，求EC的长．

16．如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为的中点，连接BC，BE．

（1）求证：AE＝BC；

（2）若AE＝2，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

参考答案

一．选择题

1．解：设此圆锥的底面半径为r，

根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：

2πr＝，

r＝cm．

故选：A．

2．解：如图，设圆的周长是C，

则圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长＝4C，

则这个圆共转了4C÷C＝4圈．

故选：A．

3．解：连接OE，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠D＝∠B＝70°，AD＝BC＝6，

∴OA＝OD＝3，

∵OD＝OE，

∴∠OED＝∠D＝70°，

∴∠DOE＝180°﹣2×70°＝40°，

∴的长＝＝；

故选：B．

4．解：∵PA、PB是⊙O的切线，

∴∠OBP＝∠OAP＝90°，

在四边形APBO中，∠P＝60°，

∴∠AOB＝120°，

∵OA＝2，

∴的长l＝＝π，

故选：C．

5．解：∵OA＝1，的长是，

∴，

解得：n＝60，

∴∠AOB＝60°，

故选：B．

6．解：∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠A＝40°，

∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝80°，

∴的长＝＝，

故选：D．

7．解：连接AB、OP，

∵∠AOB＝90°，

∴AB为⊙P的直径，

∵∠ACO＝60°，

∴∠APO＝120°，∠ABO＝60°，

∴∠BAO＝30°，

∵OB＝3，

∴AB＝2OB＝6，

∴的长＝2π，

故选：A．

8．解：连接OC、OA，

∵∠ABC＝30°，

∴∠AOC＝60°，

∴的长＝＝π，

故选：D．

9．解：作OD⊥BC交BC与点D，

∵∠COA＝60°，

∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．

∴S扇形AOC＝；

S扇形BOC＝．

在三角形OCD中，∠OCD＝30°，

∴OD＝，CD＝，BC＝R，

∴S△OBC＝，S弓形＝＝，

＞＞，

∴S2＜S1＜S3．

故选：B．

10．解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，

∴△ABC为直角三角形，

由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积，

由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，

∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝＝，

故选：A．

二．填空题

11．解：∵扇形的圆心角为60°，弧长为2π，

∴l＝，

即2π＝，

则扇形的半径R＝6．

故答案为：6

12．解：根据l＝＝＝11π，

解得：n＝110，

故答案为：110．

13．解：∵点A（1，1），

∴OA＝＝，点A在第一象限的角平分线上，

∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，

∴∠AOB＝45°，

∴的长为＝．

故答案为．

14．解：根据题意得，S阴影部分＝S扇形BAD﹣S半圆BA，

∵S扇形BAD＝＝4π

S半圆BA＝•π•22＝2π，

∴S阴影部分＝4π﹣2π＝2π．

故答案为2π．

三．解答题

15．（1）证明：连接PC，如图1，

∵四边形BCEP是平行四边形，

∴PE∥BC，∠E＝∠PBC，

∴∠EPC＝∠PCB，

∴＝；

（2）解：如图2，连接AP、BD、CD、OA、OB、OC、OD、OP

∵四边形PBCD是圆内接四边形，四边形APDC是圆内接四边形，

∴∠EDC＝∠PBC＝∠PAC，

∴△APE和△CDE是等边三角形，

∴∠EAP＝60°，

∵PB∥EA，

∴∠APB＝∠EAP＝60°，

∴∠AOB＝120°，

作OF⊥AB于F，则∠AOF＝∠AOB＝60°，AF＝BF＝AB＝，

∴OA＝＝1，

∵的长度是，

∴＝，

∴n＝30°，

∴∠POD＝30°，

∴∠PBD＝15°，

∵∠PBC＝∠E＝60°，

∴∠DBC＝45°，

∴∠DOC＝90°，

∵OC＝OD＝1，

∴CD＝，

∵△ECD是等边三角形，

∴EC＝CD＝．

16．（1）证明：连接BD，

∵AB，CD为⊙O的直径，

∴∠CBD＝∠AEB＝90°，

∵点B恰好为的中点，

∴＝，

∴∠A＝∠C，

∵∠ABE＝90°﹣∠A，∠CDB＝90°﹣∠C，

∴∠ABE＝∠CDB，

∴＝，

∴AE＝BC；

（2）解：∵过点A作弦AE垂直于直径CD于F，

∴＝，

∵＝，

∴＝＝，

∴∠A＝∠ABE，

∴∠A＝30°，

在Rt△ABE中，cos∠A＝，

∴AB＝＝＝4，

∴⊙O的半径为2．

（3）连接OE，

∵∠A＝30°，

∴∠EOB＝60°，

∴△EOB是等边三角形，

∵OB＝OE＝2，

∴S△EOB＝×2×＝，

∴S阴＝S扇形﹣S△EOB＝﹣＝﹣．