黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题（含答案）

宾县第二中学2022-2023学年度上学期第一次月考

高三数学试卷

考试时间：120分钟；总分：150分

注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；

2.请将答案规范填写在答题卡上。

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合，，则（    ）

A.   B.   C.   D.

2.函数的定义域是（    ）

A.   B.   C.   D.

3.“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ）

A.   B.   C.   D.

4.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是（    ）

A.，，   B.，，

C.，，   D.，，

5.已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（    ）

A.-2   B.2   C.   D.

6.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A.2   B.   C.-2   D.

7.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即.记，则（    ）

A.   B.-2   C.   D.

8.已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则（    ）

A.-3   B.3   C.-3或1   D.3或1

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，没有错误选项的得2分.）

9.设，，，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A.   B.

C.  D.

10.某人向正东方向走了后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好，则的值为（    ）

A.   B.   C.2   D.3

11.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（    ）

A.      B.的图象关于直线对称

C.  D.在上的值域为

12.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）

A.函数在上递减，在上递减

B.函数在上递增，在上递增

C.函数有极大值和极小值

D.函数有极大值和极小值

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.若角的终边在第四象限，且，则________.

14.函数的单调减区间为__________.

15.已知的面积为，，，则的中线AD长的一个值为__________.

16.某容量为V万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗.假设每天流进和流出的水均为r万立方米，下雨和蒸发正好平衡.用函数表示经过t天后的湖水污染质量分数，已知，其中表示初始湖水污染质量分数.如果，，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下，至少需要经过__________天.

（参考数据：）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求A的大小；

（2）若，，求a的值.

18.全国中学生生物学竞赛隆重举行.为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；

（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90）的人数，求的分布列和数学期望.

19.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为15°的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米（即图中线段CD），旗杆底部与第一排在同一水平面上.

（1）求旗杆长度；

（2）若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？

20.已知在时有极小值0.

（1）求常数a，b的值；

（2）求在区间上的最值.

21.已知函数的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.

条件①：；条件②：；条件③：.

（注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.）

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，若在区间上单调递减，求的最大值.

22.已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有最小值，证明：在上恒成立.

宾县第二中学2022-2023学年度高三上学期第一次月考

数学答案

一、单项选择题：

二、多项选择题：

三、填空题：

13.  14.  15.或（答案不唯一，写一个即可）  16.116

四、解答题：

17.【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式对已知等式进行化简可得值，又由，可求A.

（2）利用平面向量数量积的运算可得的积，进而由余弦定理即可求解.

【小问1详解】

（1）∵，

∴，可得，

∵，∴，又∵，∴.

【小问2详解】

∵，∴，∴，∴.

又由，根据余弦定理得：

∴.

18.【答案】（1），中位数；

（2）分布列见解析，.

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可；

（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可.

（1）由频率分布直方图的性质可得，，

解得，

设中位数为，∴解得；

（2）∵，，的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1

∴从，，中分别抽取7人，3人，1人，

所有可能取值为0，1，2，3，

，，，

故的分布列为：

故

19.【答案】（1）30（米）

（2）0.6（米/秒）

【分析】（1）根据题意在中利用正弦定理，可求，再在中根据求解；（2）直接利用速度公式计算.

（1）在中，，

，，

由正弦定理，得；

在中，（米）.

（2）升旗速度（米/秒）.

20.【答案】（1），

（2）最大值为，最小值为

【分析】（1）求解导函数，利用极小值列方程组求解，并检验；（2）利用导数判断函数在上的单调性，求解极值与端点处的函数值，从而可得最大、最小值.

（1）由，得，

∵在时有极小值，∴，

∴，解得或，

经检验，当，时，符合题意，

∴，.

（2）由（1）知，，

令，则或，∵，

当或时，，

当时，；

∴函数在和上单调递增，上单调递减；

∴的极大值为，极小值为，

又，；∴，，

∴的最大值为4，最小值为0.

21.【答案】（1）条件选择见解析，

（2）

【分析】（1）由的值或关系，即可得出，从而求出，再根据零点，即可求出，由图像即可求出.

（2）根据正弦函数的单调递减区间，即可求出的单调递减区间.

（1）选条件①②：

因为，所以，即，则.

由图可知，则.

因为，，所以，即.

因为，所以，

所以.

选条件①③：

因为，所以，即，则.

由题意可知，则.

因为，，

所以，即.

因为，所以，.

所以.

选条件②③：

因为，所以，即，则.

由题意可知，则.

因为，，

所以，即.

因为，所以，

所以.

（2）.

由，

得.

因为函数在区间上单调递减，且，此时.

所以，所以的最大值是.

22.【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.

（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.

（1）函数的定义域为，且，

当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，

当时，由，解得，

由，解得，

所以在上为减函数，在上为增函数，

综上：当时，在上为增函数，

当时，在上为减函数，在上为增函数；

（2）由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.

当时，在上上为减函数，在上为增函数，

所以，即，

则，

由，解得，

由，解得，

所以在上为增函数，在上为减函数，

所以，

即在上恒成立.