鲁教版 (五四制)九年级上册第二章 直角三角形的边角关系综合与测试课后练习题

一、选择题(每小题3分,共36分)

1.(2022河口模拟)在△ABC中,∠A=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列选项中不正确的是(　C　)

A.sin B=　 B.sin C= 

C.cos B=  D.tan B=

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则AB的长是(　C　)

A.2 B.8 C.2    D.4

3.若锐角A满足sin A=,则∠A的度数是(　C　)

A.30° B.45° C.60° D.75°

4.(2022张店模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,则cos A等于(　D　)

A. B. C. D.

5.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cos B的值为(　B　)

第5题图

A.  B. C. D.

6.(2022福山模拟)按如图所示的运算程序,能使输出y值为的是(　C　)

第6题图

A.α=60°,β=45°  B.α=30°,β=45° 

C.α=30°,β=30°  D.α=45°,β=30°

7.在△ABC中,∠A和∠B都是锐角,且sin A=,cos B=,则△ABC三个内角的大小关系为(　D　)

A.∠C>∠A>∠B B.∠B>∠C>∠A

C.∠A>∠B>∠C D.∠C>∠B>∠A

8.一辆小车沿着斜坡向上行驶了100 m,其铅直高度上升了15 m,在用科学计算器求坡角α的度数时,其按键顺序是(　A　)

9.如图所示,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔     60 n mile的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离为(　B　)

A.60 n mile  B.60 n mile 

C.30 n mile  D.30 n mile

10.如图所示,△ABC,△FED区域为驾驶员的盲区,驾驶员视线PB与地面BE的夹角为∠PBE=43°,视线PE与地面BE的夹角为∠PEB=20°,点A,F为视线与车窗底端的交点,AF∥BE,AC⊥BE,FD⊥BE,若A点到B点的距离AB=1.6 m,则盲区中DE的长度是(参考数据:sin 43°≈0.7,tan 43°≈0.9,sin 20°≈0.3,tan 20°≈0.4)(　B　)

A.2.6 m B.2.8 m C.3.4 m D.4.5 m

11.如图所示,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿直线AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则tan∠DAE的值为(　D　)

A.  B. 

C.  D.

12.因为cos 60°=,cos 240°=-,所以cos 240°=cos(180°+ 60°)=-cos 60°;由此猜想、推理知:当α为锐角时有cos(180°+α)=-cos α,由此可知cos 210°的值为(　C　)

A.- B.- C.- D.-

二、填空题(每小题3分,共18分)

13.已知在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则 cos B 的值      为　　.

14.如图所示,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8.连接AC,AC⊥CD,若sin∠ACB=,则AD的长度是　10　. 

第14题图

15.平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋,其示意图如图所示,量得∠A为54°,∠B为36°,边AB的长为2.1 m,BC边上露出部分BD的长为0.9 m,则铁板BC边被掩埋部分CD的长为

　0.8　m.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 54°≈1.38) 

第15题图

16.(2021东营期末)直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将△ABC按如图所示方式折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则   tan∠CBE的值为　　. 

第16题图

17.如图所示,小明在距离地面30 m的P处测得小山山顶A处的俯角为15°,山脚B处的俯角为60°.若山坡AB的坡度为1∶,则小山的高度为　10　m.(结果保留根号) 

第17题图

18.(2022任城模拟)规定:sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x, sin(x+y)=sin x·cos y+cos x·sin y.据此判断下列等式成立的是　②③④　.(写出所有正确的序号) 

①cos(-60°)=-;

②sin 75°=;

③sin 2x=2sin x·cos x;

④sin(x-y)=sin x·cos y-cos x·sin y.

三、解答题(共46分)

19.(6分)计算:(1)sin 60°-cos 60°·tan 45°+ ;

(2)sin245°+cos230°-tan260°.

解:(1)原式=-×1+

=-+×(1-)

=.

(2)原式=()2+()2-()2=+-3=-.

20.(8分)如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1.

(1)求BC的长;

(2)求tan∠DAE的值.

解:(1)∵AD是BC边上的高,

∴AD⊥BC.

在Rt△ABD中,sin B==,AD=1,

∴AB=3,

∴BD===2.

在Rt△ADC中,∵∠C=45°,∴CD=AD=1.

∴BC=BD+CD=2+1.

∴BC的长为2+1.

(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=BC=,

∴DE=CE-CD=-1=-,

∴tan∠DAE===-.

21.(10分)汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,市政府决定对一段长200 m且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图所示,加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯,平均每级阶梯高     30 cm,斜坡AB的坡度为1∶1;加固后,坝顶宽度增加2 m,斜坡EF的坡度为1∶,求BF的长.(结果保留根号)

解:如图所示,过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EG⊥BC于点G,

则四边形EGHA是矩形.

∴EG=AH,GH=AE=2 m.

∵斜坡AB的坡度为1∶1,

∴AH=BH=30×30=900 cm=9 m.

∴BG=BH-HG=9-2=7(m).

∵斜坡EF的坡度为1∶,

∴FG=9 m.

∴BF=FG-BG=(9-7)m.

∴BF的长为(9-7)m.

22.(12分)(2020包头)如图所示,一个人骑自行车由A地到C地途经B地,当他由A地出发时,发现他的北偏东45°方向有一电视塔P.他由A地向正北方向骑行了3 km到达B地,发现电视塔P在他北偏东75°方向,然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6 km到达C地.

(1)求A地与电视塔P的距离;

(2)求C地与电视塔P的距离.

解:(1)如图所示,过点B作BD⊥AP于点D.

在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AB=3 km,

∴AD=BD=AB×sin∠BAD=3×sin 45°=3×=3(km).

∵∠PBN=75°,

∴∠APB=∠PBN-∠PAB=75°-45°=30°.

∴在Rt△BDP中,PD====3(km),

PB=2BD=2×3=6(km).

∴AP=AD+PD=(3+3)km.

∴A地与电视塔P的距离为(3+3)km.

(2)∵∠PBN=75°,∠CBN=15°,

∴∠CBP=60°.

∵BP=BC=6 km,

∴△BPC为等边三角形.

∴PC=6 km.

∴C地与电视塔P的距离为6 km.

23.(10分)(2022垦利模拟)数学活动课上,小明和小红要测量小河对岸大树BC的高度,小红在点A测得大树顶端B的仰角为45°,小明从A点出发沿斜坡走3 m到达斜坡上点D,在此处测得树顶端点B的仰角为31°,且斜坡AF的坡比为1∶2.

(1)求小明从点A到点D的过程中,他上升的高度;

(2)依据他们测量的数据能否求出大树BC的高度?若能,请计算;若不能,请说明理由.(参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,     tan 31°≈0.60)

解:(1)如图所示,过点D作DH⊥AE于H.在Rt△ADH中,

∵=,∴AH=2DH.∵AH2+DH2=AD2,∴(2DH)2+DH2=(3)2,解得DH=3,

故小明从点A到点D的过程中,他上升的高度为3 m.

(2)如图所示,延长BD交AE于点G,设BC=x m,

由题意得∠G=31°,∴GH=≈=5.∵AH=2DH=6,∴GA=GH+AH= 5+6=11.

在Rt△BGC中,tan G=,∴CG=≈=x.

在Rt△BAC中,∠BAC=45°,∴AC=BC=x.

∵GC-AC=AG,∴x-x=11,解得x=16.5.故大树的高度约为16.5 m.