初中数学1 等腰三角形的性质课后复习题

2021-2022学年八年级数学上册（华东师大版）

13.3.1等腰三角形的性质-同步练习

时间：60分钟

一、单选题

1．已知直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，则斜边的长为（　　　）

A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm

2．如果等腰三角形的一个角等于62度，则它的底角是（    ）度

A．62 B．59 C．62或59 D．62成56

3．在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是（    ）．

A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定

4．如图，在中，是的平分线，下面结论中不一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在中，是的平分线，，垂足分别是E、F，则下列四个结论：（1）； （2）上任一点到点C、点B的距离相等；（3）且；（4）；其中正确的有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．下列判断正确的是（    ）

（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形

（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形

（4）三边都相等的三角形是等边三角形

（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．

A．（1）（2）（3）（4）（5） B．（2）（3）（4）（5） C．（2）（3）（4） D．（2）（3）

7．如图，等边三角形中，D、E分别在边上，且交于P点，则图中60度的角共有（    ）

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

8．如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，EFAB交BC于点F，已知AE=5，则△EFC的周长为（　　）

A．60 B．45 C．30 D．15

二、填空题

9．底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是_____．

10．已知等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另外两边的长是________．

11．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，D、E为垂足，BD与CE交于点O，则图中全等三角形共有_________对．

12．如图，中平分，若，则_______．

13．如图，B，C，D在一直线上，、是等边三角形，若，则______，_______．

14．已知：如图所示，点在的延长线上，，则的形状为___________

15．如图，在中，，则________．

16．如图，点是等边内一点，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，若，则的度数为___．

三、解答题

17．如图，在中，．分别延长至点使，连接求的度数．

18．如图，是的中线，交于点E，交于点F，且．求证：．

19．如图，已知中，．是的中点，、分别是、边上的且．

求证：．

20．已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，求证：AB+BD=CD．

21．如图，以的边向外作等边和，连接．

（1）线段和有什么数量关系？试证明你的结论．

（2）求出的度数．

22．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．

（1）求证：AD=BE；

（2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的长．

23．如图所示，在中，，，BE平分，CD垂直于BE交其延长线于点D，且于点F，交BE于点H．

（1）求证：．

（2）探究BH与CD的大小关系，并证明．

24．如图，点C为线段上一点，，是等边三角形，直线交于点E，直线交于点F．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）求证：．

参考答案

1．A

【解析】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，
∴斜边长为8cm．
故选：A．

2．C

【解析】解：根据题意，等腰三角形的一个角等于62度，

当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是，

当这个角为顶角时，设等腰三角形的底角为，

则，

解得：，

即该等腰三角形的底角为：，

故选：C．

3．B

【解析】解：如图所示，CD为边AB上的中线且等于AB的一半，

∴ ，

∴∠A=∠ACD，∠B=∠DCB，

∵∠A+∠ACB+∠B=180°，即∠A+∠ACD+∠B+∠DCB=180°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°，

∴AB边所对的角为直角，

故选B．

4．D

【解析】解：∵是等腰三角形，，是的平分线，
∴，是的中线、高线，
∴，，
故A、B、C都成立，只有D不一定成立．
故选：D．

5．D

【解析】∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，

∴DE=DF，（1）正确；

∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴线段AD上任一点到点C、点B的距离相等，

∴（2），（3）正确；

∵AB=AC，

∴∠B=∠C；

∵∠BED=∠DFC=90°，

∴∠BDE=∠CDF，（4）正确．

∴正确的结论为：（1）（2）（3）（4）．故答案为4.

故选D

6．A

【解析】解：三角形有两个角是60度，则第三个内角也为60度，

三个内角相等，故为等边三角形，（1）正确；

有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，

故（2）正确；

三个内角都相等的三角形是等边三角形，

故（3）正确；

三边都相等的三角形是等边三角形，

故（4）正确；

等腰三角形的腰和底边相等，则三条边相等，

故（5）正确；

故选：A．

7．B

【解析】解：在等边三角形中，，AC=BC，

∵AD=CE，

∴△ADC≌△CEB，

∴，

∵,

∴，

∴，

故选：B．

8．B

【解析】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=60°，

∵DE⊥AC，

∴∠ADE=30°，

∴AD=2AE=2×5=10，

∵D为AB的中点，

∴AB=2AD=20，

∴AC=AB=20，

∴EC=AC﹣AE=15，

∵EF∥AB，

∴∠EFC=∠B=60°，∠FEC=∠A=60°，

∴△EFC是等边三角形，

∴△EFC的周长=3EC=3×15=45．

故选：B．

9．底边BC的垂直平分线（除底边中点外）

【解析】在已知线段BC的等腰三角形ABC中，根据等腰三角形三线合一的性质，顶点A必在底边BC的垂直平分线上．

故答案为：底边BC的垂直平分线（除底边中点外）．

10．10，4或7，7

【解析】解：∵三角形为等腰三角形，

若已知边长为10的边为底边，

可得腰长为，

∵7+7＞10，

∴两腰长为7和7；

另外两边的长是7，7，

若已知边长10为腰长，则有底边24-2×10=4，

∵10+10＞4，

另外两边的长是10，4．

故答案为10，4或7，7．

11．3

【解析】解：有3对：

理由是∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BDC=∠BEC=90°，

∵BC=BC，

∴△BEC≌△BDC，

∵∠ADB=∠AEC，∠A=∠A，AB=AC，

∴△ADB≌△AEC，

∴AD=AE，

∴BE=DC，

∵∠EOB=∠DOC，∠BEC=∠BDC，

∴△BEO≌△CDO，

故答案为3．

12．4

【解析】解：如图，延长AD交BC延长线于F，

∵BD⊥AD，BD平分∠ABC，

∴AD=DF=2，∠BDF=90°

∴∠AFC+∠FBD=90°，

∵∠C=90°，

∴∠CEB+∠CBE=90°，

∴∠AFC=∠BEC，

又∵AC=BC，∠ACF=∠BCE=90°，

∴△ACF≌△BCE，

∴BE=AF=AD+DF=4，

故答案为：4

13．10       

【解析】解： 、是等边三角形，

故答案为：

14．等边三角形

【解析】解：∵点在的延长线上，，

∴，

∵，

∴△ABC的形状为等边三角形．

故答案为：等边三角形．

15．

【解析】解：设∠A=x°
∵AB=AC，BD=BC
∴∠ABC=∠C=∠BDC

∵AD=DE=BE
∴∠A=∠AED=2∠EBD=2∠EDB

∴

∵∠ABC=∠C

∴

∴x=45
即∠A等于45°．
故答案为：

16．

【解析】解：∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∵将绕点按顺时针方向旋转得，

∴△BOC≌△ADC，

∴∠BOC=∠ADC，OC=CD，

∴△ODC是等边三角形，

∴∠DOC=∠ODC=60°，

∵，

∴设∠AOD=∠OAD=x，则有∠ADO=180°-2x，∠ADC=240°-2x，

∴∠BOC=360°-110°-60°-x=190°-x，

∴240°-2x=190°-x，解得：x=50°，

∴∠BOC=140°，

故答案为140°．

17．64°．

【解析】解：∵△ABC满足∠A=86°，∠B=42°，

∴∠ACB=180°-86°-42°=52°，

∴∠DCE=52°，

∵CD=CE，

∴∠E=（180°-52°）÷2=64°．

18．见解析

【解析】证明：∵是的中线，

∴．

如图1，延长至点M，使，连接．

在和中，

∴．

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

19．见详解

【解析】∵，

∴∠B=∠C，

∵是的中点，

∴BM=CM，

又∵，

∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，

∴∆BDM≅∆CEM，

∴．

20．见解析

【解析】解：证明：在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AB=AE，BD=DE，
∴∠AEB=∠B，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=2∠C，
∴∠EAC=∠AEB-∠C=2∠C-∠C=∠C，
∴AE=CE，
∴CE=AE=AB，
∴DC=DE+CE=AB+BD，
∴AB+BD=DC．

21．（1）相等，见解析；（2）

【解析】（1）线段和相等．

证明：在等边和中，AE=AB，AC=AD，，

∴，即，

∴△EAC≌△BAD，

∴CE=BD；

（2）∵△EAC≌△BAD，

∴，

∵，

∴，即，

∴．

22．（1）见解析；（2）8

【解析】（1）△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，

,

在与中，

，

；

（2）是等腰直角三角形，

，

由（1）可知，，,

，

，

则在中，，

．

23．（1）见解析；（2），理由见解析

【解析】（1）延长BA交CD延长线于点M．

，

．

，，

．

．

，，

．

又，，

．

．

，

．即．

（2）连接CH，

∵，，

∴根据等腰三角形三线合一的定理，

∴在△BHF和△CHF中

∴

∴，

在中，，

24．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】解：（1）∵△ACM和△CBN都是等边三角形，

∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，

∴∠MCN=180°-∠ACM-∠BCN=60°，

∴∠CAN=∠ACM+∠MCN=∠MCN+∠BCN=∠BCM=120°，

∴△CAN≌△CMB（SAS），

∴AN=BM；

（2）∵△CAN≌△CMB，

∴∠EAC=∠FNC，

∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，

∴△AEC≌△MFC（ASA），

∴CE=CF；

（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，

∴△ECF是等边三角形，

∴∠CEF=∠ACE=60°，

∴EF∥AB．