贵州省贵阳第一中学2023届高三上学期高考适应性月考卷（二）数学（理）试题(含答案)

秘密★启用前

理科数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数z满足，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限           B．第二象限             C．第三象限             D．第四象限

2．设集合，，则

A．            B．                C．                D．

3．设a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是

A．若，，则                 B．若，，，则

C．若，，则                  D．若，，，则

4．在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图1所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知立夏的晷长为4.5尺，处暑的晷长为5.5尺，则夏至所对的晷长为

A．1.5尺              B．2.5尺               C．3.5尺               D．4.5尺

5．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为

A．                B．                  C．2                    D．4

6．如图2，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为

A．               B．5                   C．                D．7

7．已知，则的值为

A．                B．                  C．                D．

8．开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖，要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有（        ）种．

A．12                 B．16                   C．20                   D．24

9．已知随机变量，且，则的最小值为

A．9                  B．6                    C．4                    D．2

10．设函数有4个不同的零点，则正实数的取值范围为

A．           B．             C．           D．

11．已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，E上存在两点A，B使得梯形的高为c（其中c为半焦距），且，则E的离心率为

A．                B．                C．                 D．

12．在给出的①；②；③三个不等式中，正确的个数为

A．0个               B．1个                  C．2个                 D．3个

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知数列的前n项和为，若，，则           ．

14．已知向量，，若与的夹角为60°，则           ．

15．如图3，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，则四边形ABCD面积的最大值为           ．

16．如图4，在棱长为4的正方体中，已知点P为棱上靠近于点的四等分点，点Q为棱CD上一动点．若M为平面与平面的公共点，N为平面与平面ABCD的公共点，且点M，N都在正方体的表面上，则由所有满足条件的点M，N构成的区域的面积之和为           ．

三、解答题（共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B为钝角，且．

（1）求角B的大小；

（2）若点D在AC边上，满足，且，，求BC边的长．

18．（本小题满分12分）

如图5，在直三棱柱中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，，点D，E分别为棱BC，上的中点．

（1）求证：AD//平面；

（2）若二面角的大小为，求实数t的值．

19．（本小题满分12分）

某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱贵阳，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了n名学生的分数（得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间中）作为样本进行统计，按照，，，，，的分组作出如图6甲所示的频率分布直方图，并作出如图乙的样本分数茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；

（2）在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的2组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到观山湖公园参加环保知识宣传活动，设抽到的学生成绩在的人数为X，将样本频率视为概率，求X的概率分布列及期望．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：的离心率为，F为椭圆C的右焦点，M为椭圆上的点，若MF的最小值为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若圆E：的切线l与椭圆C交于A，B两点，求△FAB面积的最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡，上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）[选修4-4；坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的方程是．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若点A的坐标为（1，0），直线1与曲线C交于P，Q两点，求的值．

23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]

已知函数的最小值为m．

（1）求m；

（2）已知a，b，c为正数，且，求的最小值．

贵阳第一中学2023届高考适应性月考卷（二）

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．由，得，，故在复平面内所对应的点为，在第四象限，故选D．

2．，，所以，故选C．

3．A．当时，，可以成立，本选项结论不正确；B．当时，若，，，此时，成立，因此本选项结论不正确；C．因为，所以，，，所以，而，，所以，而，所以，所以本选项结论正确；D．当时，若，，此时，成立，因此本选项结论不正确，故选C．

4．设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，则夏至到处暑增加4d，立夏到夏至减少3d，夏至的晷长为x，则，解得，故选A．

5．可行域如图1所示，作出直线，可知z要取最小值，即直线经过点A，解方程组得，所以，故选C．

6．如图2，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，因为，，所以，，，所以，，，所以，所以，所以当，即时，的最小值为7，故选D．

7．由，得，∴，所以，∴，所以，故选A．

8．若甲与丙之间为乙，即乙在甲、丙中间且三人相邻，共有种情况，将三人看成一个整体，与丁戊两人全排列，共有种情况，则此时有种排法；若甲与丙之间不是乙，先从丁、戊中选取1人，安排在甲、丙之间，有种选法，此时乙在甲的另一侧，将四人看成一个整体，考虑之前的顺序，有种情况，将这个整体与剩下的1人全排列，有种情况，此时有种排法，所以总共用种情况符合题意，故选C．

9．由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，又因为，所以，所以．当时，有

，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，故选C．

10．当时，，即，分别画出图像知有一个交点，故有一个零点，所以当时，函数有3个零点，令，即，，解得，由题可得区间内的3个零点分别是，1，2取得，所以即在和之间，即，解得，故选A．

11．如图3，因为，所以，则，为梯形的两条底边，作于点P，则，因为梯形的高为c，所以，在中，，则即．设，则，在，即，解得，同理，又，所以，即，所以，故选A．

12．令，则，所以时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减；可得，即，故①正确；因为，所以，即，所以，即，故②错误；再令，则，所以当时，，即在上单调递增，所以，则，即．又，，所以，即，即，所以，即，所以，即，故③错误，故选B．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．由已知，，①，当时，，当时，②，①－②得：，整理得：，即，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，所以，所以，所以．

14．由题意得，故，解得，其中不合题意，舍去，故．

15．如图4，由题设，则圆心，半径，若圆心到直线AC，BD的距离，且，，，而，所以，令，则

，当，即时，．

16．如图5，由已知得：平面与平面的交线与平行，M的轨迹为平面与平面的交线在矩形内线段所构成的图形，当点Q与点D重合时，M轨迹为线段，当点Q从点D沿DC往点C运动时，M的轨迹为以P为一端点，另一端点落在线段AG上的线段，其中G为棱AB上靠近于点B的四等分点，综上，M的轨迹为线段以及三角形APG及其内部，所以点M构成区域的面积为．同理可得N的轨迹为平面与平面ABCD的交线在矩形ABCD内线段所构成的图形，N构成区域为梯形AGCD，面积为，所以M，N构成的区域的面积之和为．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：

（1）由已知：，

则．

由正弦定理，，

∵A，，故，

∴，

∴，即．

∵，则，

∴，即．

（2）由题意，得．

∵，

∴，

∴．

∵，，，

∴，

∴，，则，

∴．

18．（本小题满分12分）

（1）证明：如图6，点D，E分别为BC，的中点，在直三棱柱中，，，所以四边形为平行四边形，连接DE，则，，

所以，，

所以四边形是平行四边形，所以．

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）解：

方法一：

在平面ABC内，过点C作AD的垂线，

由ABC为等腰直角三角形知垂足为D，

则为二面角的平面角，即，

在等腰直角三角形ABC中，不妨设，，则，

在中，，

∴，

∴．

方法二：

平面ABC，又，

以为正交基底建立如图7所示的空间直角坐标系A-xyz，

设，，则，

则，，，

所以，．

设平面的一个法向量为，

由，得，

又平面ADC的一个法向量为，

因为二面角的大小为，

所以．

即，

∴，

∴．

19．（本小题满分12分）

解：

（1）由直方图可知，分数在中的频率为，

根据茎叶图可知，分数在中的频数为3，所以样本容量，

根据茎叶图可知，分数在中的频数为1，

所以分数在中的频率为，

所以，所以，

由，

得，

综上所述：，，．

（2）由题意，本次竞赛成绩样本中分别在中的学生有名，

分数在中的学生有名，

抽取分数在中的学生有名，

抽取分数在中的学生有名．

由题可知，X的所有取值有0，1，2，

，

，

，

所以，X的分布列为：

∴．

20．（本小题满分12分）

解：

（1）椭圆的离心率，

又MF的最小值为，即：，

得，，

∴，

故椭圆C的方程为．

（2）由（1）点，若直线l的斜率不存在，l不能过点，

则l的方程只能为，

∴，．

若直线l的斜率存在，设l的方程为：，，，

由直线l与圆E相切得，

化简得，则，．

由，得，

，

则，．

．

又到直线l的距离．

．

设，则，

．

综上，△FAB面积的最大值为4．

21．（本小题满分12分）

解：

（1），

由，得出，．

当，由，得或，

，得，

∴在和上单调递增，在上单调递减；

同理，当时，

∴在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，，

则在上单调递增．

（2）由可转化为，

令，，

令，，

令，得，在上递增，在上单调递减，

所以时，在内存在唯一零点，

当时，，，单调递减，

当时，，，单调递境，

故．

因为，所以，

所以，

所以，

即．

22．（本小题满分10分）【选修4：坐标系与参数方程】

解：

（1）由，可得，

将上式分别平方，然后相加可得，

由，可得，

即，

则．

（2）由（1）可知直线l的斜率为，则其倾斜角为，且点在直线l上，

所以直线l的参数方程为：，

即（t为参数），

将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，

整理得．

设点A，B对应的参数分别为，，则，，

则．

23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

解：

（1）方法一：

依题意得：，

当时，，

当时，，

当时，，

综上当时，取得最小值1，

即的最小值．

方法二：

，

的最小值．

（2）由（1）知，，

（当且仅当时等号成立），

∴，

当且仅当，即，时等号成立，

∴的最小值为12．