初中数学华师大版八年级上册1 全等三角形习题

难点探究专题：动态变化中的三角形全等

——以“静”制“动”，不离其宗

类型一　动点变化

1．如图甲，已知AB＝AC，M是BC的中点，点D是线段AM上的动点．

(1)求证：BD＝CD；

(2)如图乙，若点D在线段MA的延长线上，BD与CD还相等吗？为什么？

(3)如图丙，若M不是BC的中点，且BM＝CM，则(1)中的结论还成立吗？请你直接写出结论．

类型二　图形变换

一、平移

2．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD.

(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；

(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请直接写出结论．

二、旋转

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.求证：△BCD≌△FCE.

三、翻折

4．★(启东月考)如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB.试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．【方法14】

参考答案与解析

1．(1)证明：∵M是BC的中点，∴BM＝CM.在△ABM和△ACM中，∵AB＝AC，AM＝AM，BM＝CM, ∴△ABM≌△ACM(SSS)，∴∠BAM＝∠CAM. 在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD＝CD；

(2)解：相等．理由如下：由(1)得∠BAM＝∠CAM，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD＝CD；

(3)解：结论依然成立．

2．解：(1)OE＝OF.理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE.在△BFO和△DEO中，∵∠BFO＝∠DEO，∠BOF＝∠DOE，BF＝DE，∴△BFO≌△DOE(AAS)，∴OE＝OF；

(2)结论依然成立．

3．证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE.在△BCD和△FCE中，∵CB＝CF，∠BCD＝∠FCE，CD＝CE，∴△BCD≌△FCE(SAS)．

4．解：DE＋BF＝EF.证明如下：延长CB至G，作∠5＝∠1，如图．∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，∠EAF＝∠DAB，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADE，∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠2＋∠3＝∠1＋∠4.∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF＝∠EAF.在△AGB和△AED中，∵∠5＝∠1，AB＝AD，∠ABG＝∠ADE，∴△AGB≌△AED(ASA)．∴AG＝AE，BG＝DE.在△AGF和△AEF中，∵AG＝AE，∠GAF＝∠EAF，AF＝AF，∴△AGF≌△AEF(SAS)．∴GF＝EF.∴BG＋BF＝EF，∴DE＋BF＝EF.