13.5 逆命题与逆定理 华东师大版八年级数学上册课堂提升训练(含答案)

2022-2023学年度华东师大版八年级数学上册

课堂提升训练

第13章　全等三角形

13.5　逆命题与逆定理

知识点1　互逆命题与互逆定理

1.(2022湖南益阳赫山期末)下列命题中,其逆命题成立的是(　　)

①等边对等角;②如果两个角是直角,那么它们相等;

③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;④无理数是无限小数.

A.①　　　　　B.②　　　　　C.③　　　　　D.④

2.(2022四川大英期末)请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题:

　　　　　　　　　　. 

知识点2　线段的垂直平分线

3.(教材P99变式题)如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线l交BC于点D.若∠BAD=78°,则∠B的度数是(　　)

A.34°　　　　　B.30°

C.28°　　　　　D.26°

4.(2022吉林长春二道期末)如图,△ABC的周长为13,根据图中尺规作图的痕迹,直线DE分别与BC、AC交于D、E两点,若AE=2,则△ABD的周长为　　　　. 

5.(2022湖南邵阳期中)如图,△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且AE=AB.

(1)若∠BAE=40°,求∠C的度数;

(2)若△ABC的周长为26 cm,AC=10 cm,求DC的长.

6.如图,AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C.

(1)求证:OB=OD;

(2)OE平分∠BOD,求证:OE垂直平分BD.

7.(2022独家原创)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.用尺规作图保留作图痕迹如下图,连结BD.求∠CBD的度数.

知识点3　角平分线

8.(2022福建厦门外国语学校期中)如图,根据尺规作图的痕迹,判断下列说法不正确的是(　　)

A.AE、BF是△ABC的角平分线

B.CG是△ABC的一条角平分线

C.点O到△ABC三边的距离相等

D.AO=BO=CO

9.(2022广东广州黄埔会元学校期中)如图,AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,且点O到AB的距离OD=2,△ABC的周长为28,则△ABC的面积为(　　)

A.7　　　　　B.14　　　　　C.21　　　　　D.28

10.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,BD∶DC=2∶1,BC=9.6 cm,则D到AB的距离为(　　)

A.2.2 cm　　　　　B.3.2 cm

C.4.8 cm　　　　　D.6.4 cm

11.(2022福建龙岩期中)如图,已知AB∥CD,O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=2,则两平行线AB、CD间的距离等于　　　　. 

12.(2022独家原创)如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,E为CD上一点,连结BE.已知BC=4,△BEC的面积是2,DE=1.求证:BE平分∠ABC.

能力提升全练

13.(2021江苏淮安中考,7,)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连结AE,若AE=4,EC=2,则BC的长是(　　)

A.2　　　　　B.4　　　　　

C.6　　　　　D.8

14.(2021内蒙古通辽中考,7,)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,根据尺规作图的痕迹,判断以下结论错误的是(　　)

A.∠BDE=∠BAC　　　　　B.∠BAD=∠B

C.DE=DC　 　     　　　D.AE=AC

15.(2022吉林长春农安期末,16,)命题“两直线平行,同位角相等”的逆命题是　　　　

　　　　命题.(填“真”或“假”) 

16.(2021湖南长沙中考,15,)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若BC=4,DE=1.6,则BD的长为　　　　. 

17.(2018四川南充中考,13,)如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交BC于点E,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C=　　　　度. 

素养探究全练

18.[逻辑推理](2022四川达州开江期末)在△ABC中,AB=AC,D是直线BC上一点(不与点B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,AD=AE,∠DAE=∠BAC,连结CE.

(1)如图1,当点D在线段BC上时,求证:∠B=∠ACE;

(2)如图2,若点D在线段CB的延长线上,∠BCE=α,∠BAC=β,则α、β之间有怎样的数量关系?写出你的理由;

(3)如图3,当点D在线段BC上,∠BAC=90°,BC=4时,求S△DCE的最大值.

图1 　　　　　　　图2 　　　　　　　图3

答案全解全析

基础过关全练

1.A　①“等边对等角”的逆命题为“等角对等边”,成立,符合题意;

②“如果两个角是直角,那么它们相等”的逆命题是“如果两个角相等,那么它们是直角”,不成立,不符合题意;

③“如果两个实数相等,那么它们的平方相等”的逆命题为“如果两个数的平方相等,那么这两个实数相等”,不成立,不符合题意;

④“无理数是无限小数”的逆命题为“无限小数都是无理数”,不成立,不符合题意,故选A.

2.有两个角相等的三角形是等腰三角形

解析　∵原命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”,结论是“这个三角形两底角相等”,∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”.

3.A　∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AC的垂直平分线l交BC于点D,∴AD=DC,∴∠DAC=∠C,∴∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C=2∠B,

∵∠BAD=78°,∴∠B+∠ADB+∠BAD=∠B+2∠B+78°=180°,∴∠B=34°,故选A.

4.9

解析　由作图痕迹可知,DE垂直平分线段AC,

∴DA=DC,AE=EC,

∵AB+BC+AC=13,AC=2AE=4,

∴AB+BC=9,

∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=9.

5.解析　(1)∵AE=AB,EF垂直平分AC,

∴AB=AE=EC,

∴∠C=∠CAE,

∵∠BAE=40°,

∴∠AED=×(180°-40°)=70°,

∴∠C=∠AED=35°.

(2)∵AD⊥BC,AE=AB,∴BD=DE,

∵△ABC的周长为26 cm,AC=10 cm,

∴AB+BC=16(cm),

∴AB+BE+EC=16(cm),

即2DE+2EC=16(cm),

∴DE+EC=8(cm),

∴DC=DE+EC=8(cm).

6.证明　(1)在△AOB和△COD中,

∴△AOB≌△COD(A.S.A.),∴OB=OD.

(2)由(1)得OB=OD,∴△BOD是等腰三角形,∠BOD是顶角,∵OE平分∠BOD,∴OE垂直平分BD.

7.证明　根据作图痕迹知DE是AB的垂直平分线,

∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°,

∵∠C=90°,∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°,

∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°.

8.D　根据作图痕迹,可以判断点O是△ABC角平分线的交点,故点O到△ABC三边的距离相等,AE、BF、CG都是△ABC的角平分线,只有D选项不正确.故选D.

9.D　连结OC,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,

∵AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC,

∴OE=OF=OD=2,

∴△ABC的面积=△AOC的面积+△AOB的面积+△BOC的面积

=×AC×OE+×AB×OD+×BC×OF

=×(AC+AB+BC)×2

=28.

故选D.

10.B　过D点作DE⊥AB于E,如图,

∵BD∶DC=2∶1,

∴DC=BC=×9.6=3.2(cm),

∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB,

∴DE=DC=3.2 cm,

即D到AB的距离为3.2 cm.

故选B.

11.4

解析　如图,过点O作MN⊥AB于M,交CD于N,

∵AB∥CD,

∴MN⊥CD,

∵AO是∠BAC的平分线,OM⊥AB,OE⊥AC,OE=2,

∴OM=OE=2,

∵CO是∠ACD的平分线,OE⊥AC,ON⊥CD,

∴ON=OE=2,

∴MN=OM+ON=4,

即AB与CD之间的距离是4.

12.证明　过点E作EF⊥BC于点E.∵△BEC的面积是2,BC=4,∴EF·BC=2,即EF×4=2,解得EF=1.∵DE=1,∴EF=DE.∵CD是AB边上的高,∴CD⊥AB.

又∵EF⊥BC,

∴点E到AB、BC的距离相等,

∴BE平分∠ABC.

能力提升全练

13.C　∵DE是AB的垂直平分线,AE=4,∴EB=EA=4,

∴BC=EB+EC=4+2=6,故选C.

14.B　根据尺规作图的痕迹可得,DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线,

∵∠C=90°,

∴DE=DC,∠B+∠BDE=∠B+∠BAC=90°,

∴∠BDE=∠BAC,

在Rt△AED和Rt△ACD中,

∴Rt△AED≌Rt△ACD(H.L.),

∴AE=AC.

不能证明∠BAD=∠B.

综上所述,A,C,D中结论正确,不符合题意,B中结论错误,符合题意,

故选B.

15.真

解析　原命题的逆命题是“同位角相等,两直线平行”,是真命题.

16.2.4

解析　∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,

∴CD=DE,

∵DE=1.6,∴CD=1.6,

∴BD=BC-CD=4-1.6=2.4.

17.24

解析　∵DE垂直平分AC,∴EA=EC,∴∠EAC=∠C,∴∠FAC=∠EAC+19°=∠C+19°,∵AF平分∠BAC,∴∠BAC=2(∠C+19°),∵∠B+∠BAC+∠C=180°,∴70°+2(∠C+19°)+∠C=180°,解得∠C=24°.

素养探究全练

18.解析　(1)证明:∵∠BAC=∠DAE,

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.

在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(S.A.S.),

∴∠B=∠ACE.

(2)α=β.理由如下:

同(1)的方法可得,△ABD≌△ACE(S.A.S.),

∴∠ACE=∠ABD,

∵∠BCE=α,

∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠ACB+α,

在△ABC中,AB=AC,∠BAC=β,

∴∠ACB=∠ABC=(180°-β)=90°-β,

∴∠ABD=180°-∠ABC=90°+β,

∠ACE=∠ACB+α=90°-β+α,

又∵∠ACE=∠ABD,

∴90°-β+α=90°+β,

∴α=β.

(3)如图,过点A作AH⊥BC于H,

∵AB=AC,∠BAC=90°,

∴∠ABC=45°,

∴BH=AH=HC=BC=2,

同(1)的方法可得,△ABD≌△ACE(S.A.S.),

∴S△AEC=S△ABD,∴S△AEC+S△ADC=S△ABD+S△ADC,

即S四边形ADCE=S△ABC=×4×2=4,

∵S△DCE=S四边形ADCE-S△ADE,

∴当S△ADE最小时,S△DCE最大.

当AD⊥BC时,AD最小,此时AD=AH=2,

∴S△ADE的最小值=×2×2=2,

∴S△DCE的最大值=4-2=2.