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新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第八中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)
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这是一份新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第八中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
新疆乌鲁木齐八中2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）
一、选择题（本题共计9小题，每题5分，共计45分）
1．在下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．为保证“嫦娥五号”成功发射，对其零部件检查采取抽样方式
B．“守株待兔”是必然事件
C．有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1
D．某彩票中心宣布，某期彩票的中奖率是70%，小明买了10张彩票，一定有7张中奖
3．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，下列结论不正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象经过点（0，3）
C．对称轴是直线x＝1 D．与x轴有两个交点
4．关于x的方程（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m值为（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．m≥0且m≠2
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
6．如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为（ ）
A．6米 B．20米 C．20米或6米 D．不存在
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，那么一次函数y＝x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将Rt△ABC绕A点按逆时针方向旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．1+ D．1
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，D是AB上的动点，连接CD，过A作AG⊥CD于G，点E是BC的中点，连接GE，则GE的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、填空题（本题共计6小题，每题5分，共计30分）
10．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是 ．
11．现有四张卡片，正面分别写有汉字“爱”“我”“中”“华”，背面是完全相同的“♣”形图案．现将背面朝上充分洗匀后，从中任意抽取2张，其正面上的文字恰好组成“中华”字样的概率为 ．
12．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°，面积为12πcm2的扇形，则这个圆锥的高是 cm．
13．在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x+1）关于原点的对称点在第四象限，则x的取值范围是 ．
14．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为 ．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④m为任意实数时，总有m（am+b）＜4a+2b；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根，为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．写出所有正确的结论的序号： ．
三、解答题（本题共计8小题）
16．（10分）用适当的方法解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7．
17．（9分）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
18．（9分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分组
频数
频率
第一组（0≤x＜15）
3
0.15
第二组（15≤x＜30）
6
a
第三组（30≤x＜45）
7
0.35
第四组（45≤x＜60）
b
0.20
（1）频数分布表中a＝ ，b＝ ，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有 人；
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
19．（8分）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）请作出把△ABC向下平移6个单位长度的图形△A′B′C′；
（2）请作出把△ABC，绕着P顺时针旋转90°得到的图形△A″B″C″（不要求写画法）；
（3）请求出点C在题（2）中所经过的路径长．
20．（8分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
21．（9分）体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为6m时，达到最大高度5m的B处（如图），问该男生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
22．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
（3）你能发现线段AB、BE和CE之间的数量关系吗，请直接写出结论（不用说明理由）．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计9小题，每题5分，共计45分）
1．在下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列说法正确的是（ ）
A．为保证“嫦娥五号”成功发射，对其零部件检查采取抽样方式
B．“守株待兔”是必然事件
C．有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1
D．某彩票中心宣布，某期彩票的中奖率是70%，小明买了10张彩票，一定有7张中奖
【分析】根据概率的意义、全面调查与抽样调查、随机事件，逐一进行判断即可．
【解答】解：A．为保证“嫦娥五号”成功发射，对其零部件检查采取普查方式，故A错误；
B．“守株待兔”是随机事件，故B错误；
C．有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1，故C正确；
D．某彩票中心宣布，某期彩票的中奖率是70%，小明买了10张彩票，中奖率是70%，不一定会中奖，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了概率的意义、全面调查与抽样调查、随机事件，解决本题的关键是掌握概率的意义．
3．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，下列结论不正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象经过点（0，3）
C．对称轴是直线x＝1 D．与x轴有两个交点
【分析】根据二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点情况判断即可．
【解答】解：A、二次函数y＝x2﹣4x+3，a＝1＞0，
则图象开口向上，本选项结论正确，不符合题意；
B、当x＝0时，y＝3，
则图象经过点（0，3），本选项结论正确，不符合题意；
C、对称轴是直线x＝﹣＝2，本选项结论错误，符合题意；
D、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，
与x轴有两个交点，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与坐标轴的交点，掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的关系是解题的关键．
4．关于x的方程（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m值为（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．m≥0且m≠2
【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣2≠0且|m|＝2，然后解方程和不等式即可得到满足条件的m的值．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，
∴|m|＝2且m﹣2≠0，
解得m＝﹣2；
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
【解答】解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．
6．如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为（ ）
A．6米 B．20米 C．20米或6米 D．不存在
【分析】设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为（50+2﹣2x）米，根据自行车棚的面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长18米，即可得出垂直于墙的一边的长为20米．
【解答】解：设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为（50+2﹣2x）米，
依题意得：x（50+2﹣2x）＝240，
整理得：x2﹣26x+120＝0，
解得：x1＝6，x2＝20．
当x＝6时，50+2﹣2x＝50+2﹣2×6＝40＞18，不合题意，舍去；
当x＝20时，50+2﹣2x＝50+2﹣2×20＝12＜18，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，那么一次函数y＝x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b和c的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【解答】解：由图象开口向下可知a＜0，
对称轴x＝﹣＜0，得b＜0．
又知当x＝0时，y＝c＞0，
所以一次函数y＝x+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出a、b和c的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将Rt△ABC绕A点按逆时针方向旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．1+ D．1
【分析】阴影部分的面积等于扇形DAB的面积，首先利用勾股定理即可求得AB的长，然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．
【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝2．
阴影部分的面积＝S扇形DAB＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积等于扇形DAB的面积是关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，D是AB上的动点，连接CD，过A作AG⊥CD于G，点E是BC的中点，连接GE，则GE的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【分析】取AC的中点O，连接OG，点G在以AC为直径的⊙O上运动，连接OE，易知当点G在线段OE上时，GE取得最小值，即GE的最小值为OE﹣OG的值．
【解答】解：∵AG⊥CD，
∴∠AGC＝90°．
取AC的中点O，连接OG，则OG＝AC，
∴点G在以AC为直径的⊙O上，
连接OE，易知当点G在线段OE上时，GE取得最小值，
如图所示．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，
∴AB＝＝4，OG＝AC＝×2＝．
∵O是AC的中点，E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝×4＝2，
∴GE＝OE﹣OG＝2﹣，
即GE的最小值为2﹣．
故选：D．
【点评】本题是线段的最值问题，考查勾股定理、三角形中位线的性质等，体现了直观想象、逻辑推理素养．
二、填空题（本题共计6小题，每题5分，共计30分）
10．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是 x1＝3，x2＝1 ．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0，x﹣1＝0，
x1＝3，x2＝1，
故答案为：x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
11．现有四张卡片，正面分别写有汉字“爱”“我”“中”“华”，背面是完全相同的“♣”形图案．现将背面朝上充分洗匀后，从中任意抽取2张，其正面上的文字恰好组成“中华”字样的概率为 ．
【分析】分别记“爱”“我”“中”“华”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找到正面文字恰好组成“中华”字样的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：分别记“爱”“我”“中”“华”，为A，B，C，D，画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中正面上的文字恰好组成“中华”字样的结果数有2种结果，
所以其正面上的文字恰好组成“中华”字样的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
12．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°，面积为12πcm2的扇形，则这个圆锥的高是 4 cm．
【分析】首先利用扇形面积公式求出扇形的半径，进而求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高即可．
【解答】解：设母线长为rcm，底面圆的半径为Rcm，
S扇形＝＝12π，
解得：r＝6，
底面圆的周长为：＝2πR，
解得：R＝2，
∴这个圆锥的高是：＝4（cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的计算，弧长公式，圆的周长等知识，解题的关键是掌握圆锥的底面圆的周长＝侧面展开图扇形的弧长．
13．在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x+1）关于原点的对称点在第四象限，则x的取值范围是 ﹣1＜x＜2 ．
【分析】根据题意可得点P在第二象限，再利用第二象限内点的坐标符号可得关于x的不等式组，然后解不等式组即可．
【解答】解：∵点P（x﹣2，x+1）关于原点的对称点在第四象限，
∴点P在第二象限，
∴，
解得：﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握第二象限内点的坐标符号．
14．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为 10人 ．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
依题意得：（1+x）2＝121，
解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．
故答案为：10人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④m为任意实数时，总有m（am+b）＜4a+2b；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根，为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．写出所有正确的结论的序号： ①③⑤ ．
【分析】用对称轴方程得到﹣＝2，则b＝﹣4a，于是可对①进行判断；利用x＝﹣3时，y＜0可对②进行判断；利用图象过点（﹣1，0）得到a﹣b+c＝0，把b＝﹣4a代入得到c＝﹣5a，则8a+7b+2c＝﹣30a，然后利用a＜0可对③进行判断；把x＝2和x＝m分别代入函数解析式，得到am2+bm+c＜4a+2b+c，于是得到m（am+b）≤4a+2b，故④错误；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），则抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），所以方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根x1和x2为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3的交点的横坐标，于是结合函数图象可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，所以①正确；
∵x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，则c＝﹣5a，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵当x＝2时，y最大＝4a+2b+c，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≤4a+2b+c，
∴m（am+b）≤4a+2b，故④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），
∴方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根x1和x2为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3的交点的横坐标，
∴x1＜﹣1＜5＜x2；所以⑤正确；
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题（本题共计8小题）
16．（10分）用适当的方法解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7．
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可；
（2）把方程整理成一般形式，再十字相乘法分解因式，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
（2）（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7，
整理得x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．（9分）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180．
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，
整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得x1＝60，x2＝80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）设当天的销售利润为w元，则：
w＝（x﹣50）（﹣2x+180）
＝﹣2（x﹣70）2+800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝70时，w最大值＝800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
18．（9分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分组
频数
频率
第一组（0≤x＜15）
3
0.15
第二组（15≤x＜30）
6
a
第三组（30≤x＜45）
7
0.35
第四组（45≤x＜60）
b
0.20
（1）频数分布表中a＝ 0.3 ，b＝ 4 ，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有 99 人；
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
【分析】（1）由频率之和为1得出a的值，再求出总人数，继而可得b的值，从而补全统计图；
（2）用该校七年级共有的女生人数乘以仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生所占的百分比即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）a＝1﹣0.15﹣0.35﹣0.20＝0.3；
∵总人数为：3÷0.15＝20（人），
∴b＝20×0.20＝4（人）；
补统计图如下：
故答案为：0.3，4；
（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：
180×（0.35+0.20）＝99（人）；
故答案为：99；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，
∴所选两人正好都是甲班学生的概率是＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）请作出把△ABC向下平移6个单位长度的图形△A′B′C′；
（2）请作出把△ABC，绕着P顺时针旋转90°得到的图形△A″B″C″（不要求写画法）；
（3）请求出点C在题（2）中所经过的路径长．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A″，B″，C″即可；
（3）利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，△A′′B′′C′′即为所求．
（3）连接PC．
∵PC＝＝，
∴C所经过的路径长＝．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，记住弧长公式l＝．
20．（8分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
【分析】（1）由旋转的性质可得OC＝CD，∠BCO＝∠ACD，由角的数量关系可求∠OCD＝60°，可得结论；
（2）分别求出∠ADO＝90°，∠AOD＝45°，即可求解．
【解答】（1）证明：由旋转可得△BCO≌△ACD，
∴OC＝CD，∠BCO＝∠ACD，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，即∠BCO+∠OCA＝60°，
∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝∠OCA+∠BCO＝60°，
又∵OC＝CD，
∴△OCD是等边三角形；
（2）解：△AOD是等腰直角三角形，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC＝150°，
由（1）得△COD是等边三角形，
∵∠ADO＝∠ADC−∠ODC＝90°，
∴∠AOD＝360°−∠AOB−∠BOC−∠DOC＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
21．（9分）体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为6m时，达到最大高度5m的B处（如图），问该男生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
【分析】以地面所在直线为x轴，过点A与地面的垂线作为y轴建立平面直角坐标系，再用待定系数法求出抛物线的解析式，令y＝0，求出x的值即可．
【解答】解：以地面所在直线为x轴，过点A与地面的垂线作为y轴建立平面直角坐标系如图所示．
则A（0，2），B（6，5）．
设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+5（a≠0），
∵A（0，2）在抛物线上，
∴代入得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+5．
∵令y＝0，即﹣（x﹣6）2+5＝0，解得x1＝6﹣2（舍去），x2＝6+2
∴OC＝6+2．
答：该同学把实心球扔出（6+2）m．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知利用待定系数法求二次函数的解析式是解答此题的关键．
22．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
（3）你能发现线段AB、BE和CE之间的数量关系吗，请直接写出结论（不用说明理由）．
【分析】（1）连接OD，先证OD∥BE，再根据BE⊥DE，可得OD⊥DE，即可得证结论．
（2）证△ABD∽△DBE，根据线段比例关系即可求出BD的长度；
（3）过点D作DH⊥AB于H，根据HL证Rt△BED≌Rt△BHD，再根据AAS证△ADH≌△CDE，再利用等量代换即可得出CE＝AB﹣BE．
【解答】解：（1）连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BED＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴，
∴；
（3）CE＝AB﹣BE，理由如下：
过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH＝DE，
在Rt△BED与Rt△BHD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BE，
∵∠DCE＝∠A，∠DGA＝∠DEC＝90°，
∴△ADH≌△CDE（AAS），
∴AH＝CE，
∵AB＝AH+BH，
∴AB＝BE+CE，
∴CE＝AB﹣BE．
【点评】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，确定点A、B、C的坐标；即可求解；
（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；
（3）△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，
而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；
则y＝a（x+4）（x﹣）＝a（x2+x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；
（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，
当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（﹣，﹣2）；
（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，
设P（x，x2+﹣2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2，
则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA＝×4×（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣2（x+2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，有一定的综合性，但较为容易．
新疆乌鲁木齐八中2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）
一、选择题（本题共计9小题，每题5分，共计45分）
1．在下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．为保证“嫦娥五号”成功发射，对其零部件检查采取抽样方式
B．“守株待兔”是必然事件
C．有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1
D．某彩票中心宣布，某期彩票的中奖率是70%，小明买了10张彩票，一定有7张中奖
3．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，下列结论不正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象经过点（0，3）
C．对称轴是直线x＝1 D．与x轴有两个交点
4．关于x的方程（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m值为（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．m≥0且m≠2
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
6．如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为（ ）
A．6米 B．20米 C．20米或6米 D．不存在
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，那么一次函数y＝x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将Rt△ABC绕A点按逆时针方向旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．1+ D．1
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，D是AB上的动点，连接CD，过A作AG⊥CD于G，点E是BC的中点，连接GE，则GE的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、填空题（本题共计6小题，每题5分，共计30分）
10．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是 ．
11．现有四张卡片，正面分别写有汉字“爱”“我”“中”“华”，背面是完全相同的“♣”形图案．现将背面朝上充分洗匀后，从中任意抽取2张，其正面上的文字恰好组成“中华”字样的概率为 ．
12．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°，面积为12πcm2的扇形，则这个圆锥的高是 cm．
13．在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x+1）关于原点的对称点在第四象限，则x的取值范围是 ．
14．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为 ．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④m为任意实数时，总有m（am+b）＜4a+2b；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根，为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．写出所有正确的结论的序号： ．
三、解答题（本题共计8小题）
16．（10分）用适当的方法解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7．
17．（9分）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
18．（9分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分组
频数
频率
第一组（0≤x＜15）
3
0.15
第二组（15≤x＜30）
6
a
第三组（30≤x＜45）
7
0.35
第四组（45≤x＜60）
b
0.20
（1）频数分布表中a＝ ，b＝ ，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有 人；
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
19．（8分）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）请作出把△ABC向下平移6个单位长度的图形△A′B′C′；
（2）请作出把△ABC，绕着P顺时针旋转90°得到的图形△A″B″C″（不要求写画法）；
（3）请求出点C在题（2）中所经过的路径长．
20．（8分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
21．（9分）体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为6m时，达到最大高度5m的B处（如图），问该男生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
22．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
（3）你能发现线段AB、BE和CE之间的数量关系吗，请直接写出结论（不用说明理由）．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计9小题，每题5分，共计45分）
1．在下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列说法正确的是（ ）
A．为保证“嫦娥五号”成功发射，对其零部件检查采取抽样方式
B．“守株待兔”是必然事件
C．有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1
D．某彩票中心宣布，某期彩票的中奖率是70%，小明买了10张彩票，一定有7张中奖
【分析】根据概率的意义、全面调查与抽样调查、随机事件，逐一进行判断即可．
【解答】解：A．为保证“嫦娥五号”成功发射，对其零部件检查采取普查方式，故A错误；
B．“守株待兔”是随机事件，故B错误；
C．有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1，故C正确；
D．某彩票中心宣布，某期彩票的中奖率是70%，小明买了10张彩票，中奖率是70%，不一定会中奖，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了概率的意义、全面调查与抽样调查、随机事件，解决本题的关键是掌握概率的意义．
3．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，下列结论不正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象经过点（0，3）
C．对称轴是直线x＝1 D．与x轴有两个交点
【分析】根据二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点情况判断即可．
【解答】解：A、二次函数y＝x2﹣4x+3，a＝1＞0，
则图象开口向上，本选项结论正确，不符合题意；
B、当x＝0时，y＝3，
则图象经过点（0，3），本选项结论正确，不符合题意；
C、对称轴是直线x＝﹣＝2，本选项结论错误，符合题意；
D、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，
与x轴有两个交点，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与坐标轴的交点，掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的关系是解题的关键．
4．关于x的方程（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m值为（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．m≥0且m≠2
【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣2≠0且|m|＝2，然后解方程和不等式即可得到满足条件的m的值．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，
∴|m|＝2且m﹣2≠0，
解得m＝﹣2；
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
【解答】解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．
6．如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为（ ）
A．6米 B．20米 C．20米或6米 D．不存在
【分析】设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为（50+2﹣2x）米，根据自行车棚的面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长18米，即可得出垂直于墙的一边的长为20米．
【解答】解：设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为（50+2﹣2x）米，
依题意得：x（50+2﹣2x）＝240，
整理得：x2﹣26x+120＝0，
解得：x1＝6，x2＝20．
当x＝6时，50+2﹣2x＝50+2﹣2×6＝40＞18，不合题意，舍去；
当x＝20时，50+2﹣2x＝50+2﹣2×20＝12＜18，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，那么一次函数y＝x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b和c的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【解答】解：由图象开口向下可知a＜0，
对称轴x＝﹣＜0，得b＜0．
又知当x＝0时，y＝c＞0，
所以一次函数y＝x+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出a、b和c的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将Rt△ABC绕A点按逆时针方向旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．1+ D．1
【分析】阴影部分的面积等于扇形DAB的面积，首先利用勾股定理即可求得AB的长，然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．
【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝2．
阴影部分的面积＝S扇形DAB＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积等于扇形DAB的面积是关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，D是AB上的动点，连接CD，过A作AG⊥CD于G，点E是BC的中点，连接GE，则GE的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【分析】取AC的中点O，连接OG，点G在以AC为直径的⊙O上运动，连接OE，易知当点G在线段OE上时，GE取得最小值，即GE的最小值为OE﹣OG的值．
【解答】解：∵AG⊥CD，
∴∠AGC＝90°．
取AC的中点O，连接OG，则OG＝AC，
∴点G在以AC为直径的⊙O上，
连接OE，易知当点G在线段OE上时，GE取得最小值，
如图所示．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，
∴AB＝＝4，OG＝AC＝×2＝．
∵O是AC的中点，E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝×4＝2，
∴GE＝OE﹣OG＝2﹣，
即GE的最小值为2﹣．
故选：D．
【点评】本题是线段的最值问题，考查勾股定理、三角形中位线的性质等，体现了直观想象、逻辑推理素养．
二、填空题（本题共计6小题，每题5分，共计30分）
10．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是 x1＝3，x2＝1 ．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0，x﹣1＝0，
x1＝3，x2＝1，
故答案为：x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
11．现有四张卡片，正面分别写有汉字“爱”“我”“中”“华”，背面是完全相同的“♣”形图案．现将背面朝上充分洗匀后，从中任意抽取2张，其正面上的文字恰好组成“中华”字样的概率为 ．
【分析】分别记“爱”“我”“中”“华”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找到正面文字恰好组成“中华”字样的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：分别记“爱”“我”“中”“华”，为A，B，C，D，画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中正面上的文字恰好组成“中华”字样的结果数有2种结果，
所以其正面上的文字恰好组成“中华”字样的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
12．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°，面积为12πcm2的扇形，则这个圆锥的高是 4 cm．
【分析】首先利用扇形面积公式求出扇形的半径，进而求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高即可．
【解答】解：设母线长为rcm，底面圆的半径为Rcm，
S扇形＝＝12π，
解得：r＝6，
底面圆的周长为：＝2πR，
解得：R＝2，
∴这个圆锥的高是：＝4（cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的计算，弧长公式，圆的周长等知识，解题的关键是掌握圆锥的底面圆的周长＝侧面展开图扇形的弧长．
13．在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x+1）关于原点的对称点在第四象限，则x的取值范围是 ﹣1＜x＜2 ．
【分析】根据题意可得点P在第二象限，再利用第二象限内点的坐标符号可得关于x的不等式组，然后解不等式组即可．
【解答】解：∵点P（x﹣2，x+1）关于原点的对称点在第四象限，
∴点P在第二象限，
∴，
解得：﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握第二象限内点的坐标符号．
14．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为 10人 ．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
依题意得：（1+x）2＝121，
解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．
故答案为：10人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④m为任意实数时，总有m（am+b）＜4a+2b；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根，为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．写出所有正确的结论的序号： ①③⑤ ．
【分析】用对称轴方程得到﹣＝2，则b＝﹣4a，于是可对①进行判断；利用x＝﹣3时，y＜0可对②进行判断；利用图象过点（﹣1，0）得到a﹣b+c＝0，把b＝﹣4a代入得到c＝﹣5a，则8a+7b+2c＝﹣30a，然后利用a＜0可对③进行判断；把x＝2和x＝m分别代入函数解析式，得到am2+bm+c＜4a+2b+c，于是得到m（am+b）≤4a+2b，故④错误；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），则抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），所以方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根x1和x2为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3的交点的横坐标，于是结合函数图象可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，所以①正确；
∵x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，则c＝﹣5a，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵当x＝2时，y最大＝4a+2b+c，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≤4a+2b+c，
∴m（am+b）≤4a+2b，故④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），
∴方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根x1和x2为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3的交点的横坐标，
∴x1＜﹣1＜5＜x2；所以⑤正确；
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题（本题共计8小题）
16．（10分）用适当的方法解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7．
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可；
（2）把方程整理成一般形式，再十字相乘法分解因式，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
（2）（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7，
整理得x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．（9分）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180．
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，
整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得x1＝60，x2＝80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）设当天的销售利润为w元，则：
w＝（x﹣50）（﹣2x+180）
＝﹣2（x﹣70）2+800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝70时，w最大值＝800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
18．（9分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分组
频数
频率
第一组（0≤x＜15）
3
0.15
第二组（15≤x＜30）
6
a
第三组（30≤x＜45）
7
0.35
第四组（45≤x＜60）
b
0.20
（1）频数分布表中a＝ 0.3 ，b＝ 4 ，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有 99 人；
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
【分析】（1）由频率之和为1得出a的值，再求出总人数，继而可得b的值，从而补全统计图；
（2）用该校七年级共有的女生人数乘以仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生所占的百分比即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）a＝1﹣0.15﹣0.35﹣0.20＝0.3；
∵总人数为：3÷0.15＝20（人），
∴b＝20×0.20＝4（人）；
补统计图如下：
故答案为：0.3，4；
（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：
180×（0.35+0.20）＝99（人）；
故答案为：99；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，
∴所选两人正好都是甲班学生的概率是＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）请作出把△ABC向下平移6个单位长度的图形△A′B′C′；
（2）请作出把△ABC，绕着P顺时针旋转90°得到的图形△A″B″C″（不要求写画法）；
（3）请求出点C在题（2）中所经过的路径长．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A″，B″，C″即可；
（3）利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，△A′′B′′C′′即为所求．
（3）连接PC．
∵PC＝＝，
∴C所经过的路径长＝．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，记住弧长公式l＝．
20．（8分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
【分析】（1）由旋转的性质可得OC＝CD，∠BCO＝∠ACD，由角的数量关系可求∠OCD＝60°，可得结论；
（2）分别求出∠ADO＝90°，∠AOD＝45°，即可求解．
【解答】（1）证明：由旋转可得△BCO≌△ACD，
∴OC＝CD，∠BCO＝∠ACD，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，即∠BCO+∠OCA＝60°，
∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝∠OCA+∠BCO＝60°，
又∵OC＝CD，
∴△OCD是等边三角形；
（2）解：△AOD是等腰直角三角形，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC＝150°，
由（1）得△COD是等边三角形，
∵∠ADO＝∠ADC−∠ODC＝90°，
∴∠AOD＝360°−∠AOB−∠BOC−∠DOC＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
21．（9分）体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为6m时，达到最大高度5m的B处（如图），问该男生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
【分析】以地面所在直线为x轴，过点A与地面的垂线作为y轴建立平面直角坐标系，再用待定系数法求出抛物线的解析式，令y＝0，求出x的值即可．
【解答】解：以地面所在直线为x轴，过点A与地面的垂线作为y轴建立平面直角坐标系如图所示．
则A（0，2），B（6，5）．
设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+5（a≠0），
∵A（0，2）在抛物线上，
∴代入得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+5．
∵令y＝0，即﹣（x﹣6）2+5＝0，解得x1＝6﹣2（舍去），x2＝6+2
∴OC＝6+2．
答：该同学把实心球扔出（6+2）m．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知利用待定系数法求二次函数的解析式是解答此题的关键．
22．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
（3）你能发现线段AB、BE和CE之间的数量关系吗，请直接写出结论（不用说明理由）．
【分析】（1）连接OD，先证OD∥BE，再根据BE⊥DE，可得OD⊥DE，即可得证结论．
（2）证△ABD∽△DBE，根据线段比例关系即可求出BD的长度；
（3）过点D作DH⊥AB于H，根据HL证Rt△BED≌Rt△BHD，再根据AAS证△ADH≌△CDE，再利用等量代换即可得出CE＝AB﹣BE．
【解答】解：（1）连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BED＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴，
∴；
（3）CE＝AB﹣BE，理由如下：
过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH＝DE，
在Rt△BED与Rt△BHD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BE，
∵∠DCE＝∠A，∠DGA＝∠DEC＝90°，
∴△ADH≌△CDE（AAS），
∴AH＝CE，
∵AB＝AH+BH，
∴AB＝BE+CE，
∴CE＝AB﹣BE．
【点评】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，确定点A、B、C的坐标；即可求解；
（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；
（3）△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，
而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；
则y＝a（x+4）（x﹣）＝a（x2+x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；
（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，
当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（﹣，﹣2）；
（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，
设P（x，x2+﹣2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2，
则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA＝×4×（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣2（x+2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，有一定的综合性，但较为容易．
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