高考数学(理数)一轮复习教案:5.1《任意角的三角函数的概念》(含解析)
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这是一份高考数学(理数)一轮复习教案:5.1《任意角的三角函数的概念》(含解析),共4页。教案主要包含了变式训练1,变式训练2,变式训练3等内容,欢迎下载使用。
第五章 三角函数 高考导航 考试要求重难点击命题展望 1.了解任意角的概念和弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,能画出y=sin x, y=cos x , y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.4.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在(-,)上的单调性.5.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1 ,=tan x.6.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.7.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).9.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题,能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.本章重点:1.角的推广,三角函数的定义,诱导公式的运用;2.三角函数的图象与性质,y=Asin(ωx+)(ω>0)的性质、图象及变换;3.用三角函数模型解决实际问题;4.以和、差、倍角公式为依据,提高推理、运算能力;5.正、余弦定理及应用.本章难点:1.任意角的三角函数的几何表示,图象变换与函数解析式变换的内在联系;2.灵活运用三角公式化简、求值、证明; 3.三角函数的奇偶性、单调性的判断,最值的求法;4.探索两角差的余弦公式;5.把实际问题转化为三角函数问题. 三角函数是基本初等函数,是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解;运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系,考查考生的数学应用意识,体现以能力立意的高考命题原则.
知识网络 5.1 任意角的三角函数的概念 典例精析题型一 象限角与终边相同的角【例1】若α是第二象限角,试分别确定2α、的终边所在的象限.【解析】因为α是第二象限角,所以k360°+90°<α<k360°+180°(k∈Z).因为2k360°+180°<2α<2k360°+360°(k∈Z),故2α是第三或第四象限角,或角的终边在y轴的负半轴上.因为k180°+45°<<k180°+90°(k∈Z),当k=2n(n∈Z)时,n360°+45°<<n360°+90°,当k=2n+1(n∈Z)时,n360°+225°<<n360°+270°.所以是第一或第三象限角.【点拨】已知角α所在象限,应熟练地确定所在象限.如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角,则、、、分布如图,即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略),熟记右图,解有关问题就方便多了.【变式训练1】若角2α的终边在x轴上方,那么角α是( )A.第一象限角 B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角【解析】由题意2kπ<2α<2kπ+π,k∈Z,得kπ<α<kπ+,k∈Z.当k是奇数时,α是第三象限角.当k是偶数时,α是第一象限角.故选C.题型二 弧长公式,面积公式的应用【例2】已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R.(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形的面积有最大值?并求出这个最大值.【解析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,因为α=60°=,R=10 cm,所以l= cm,S弓=S扇-SΔ=×10×-×102×sin 60°=50(-) cm2.(2)因为C=2R+l=2R+αR,所以R=,S扇=αR2=α()2==≤,当且仅当α=时,即α=2(α=-2舍去)时,扇形的面积有最大值为.【点拨】用弧长公式l= |α| R与扇形面积公式S=lR=R2|α|时,α的单位必须是弧度.【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S,当圆心角α为多少弧度时,该扇形的周长C有最小值?并求出最小值.[来源:..]【解析】因为S=Rl,所以Rl=2S,所以周长C=l+2R≥2=2=4,当且仅当l=2R时,C=4,所以当α==2时,周长C有最小值4.题型三 三角函数的定义,三角函数线的应用【例3】(1)已知角α的终边与函数y=2x的图象重合,求sin α;(2)求满足sin x≤的角x的集合.【解析】(1)由 ⇒交点为(-,-)或(,),所以sin α=±.(2)①找终边:在y轴正半轴上找出点(0,),过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点,连接OP1、OP2,则为角x的终边,并写出对应的角.②画区域:画出角x的终边所在位置的阴影部分.③写集合:所求角x的集合是{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}.【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的,因此,用定义求值,转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.【变式训练3】函数y=lg sin x+的定义域为 .【解析】⇒2kπ<x≤2kπ+,k∈Z.所以函数的定义域为{x|2kπ<x≤2kπ+,k∈Z}.总结提高1.确定一个角的象限位置,不仅要看角的三角函数值的符号,还要考虑它的函数值的大小.2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致,防止出现诸如k·360°+的错误书写.3.三角函数线具有较好的几何直观性,是研究和理解三角函数的一把钥匙.~网
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