2022淮安淮安区高三上学期期中数学试卷含答案

2021-2022学年度第一学期期中调研测试试题

高 三 数 学

时间：120分钟   总分：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合的交集概念进行运算.

【详解】

故选：C

2. 已知z＝，则复数z的虚部为（    ）

A. －i B. 2 C. －2i D. －2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出.

【详解】∵z＝＝＝－1－2i

∴复数z的虚部为－2

故选：D.

【点睛】本题考查复数的运算、复数及虚部的概念.

3. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接根据二倍角的余弦公式计算可得；

【详解】解：

故选：D

4. 已知向量满足，，则

A. 4 B. 3 C. 2 D. 0

【答案】B

【解析】

【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.

详解：因为

所以选B.

点睛：向量加减乘：

5. 设命题，，则命题的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】根据命题的否定的定义判断．

【详解】全称命题否定是特称命题，所以命题的否定为，，

故选：B.

6. 函数的图像的大致形状是（    ）

A.    B.  

C.    D.

【答案】D

【解析】

【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.

【详解】根据

，

是减函数，是增函数.

在上单调递减，在上单调递增

故选：D.

【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

7. 设为等差数列的前项和，若，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.

详解：设该等差数列的公差为，

根据题中的条件可得，

整理解得，所以，故选B

点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.

8. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级γ可定义为γ＝0.6lgI，2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（    ）倍．

A. 2 B. 10 C. 100 D. 1000

【答案】C

【解析】

【分析】把两个震级代入γ＝0.6lgI后，两式作差即可求解．

【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为I1，

里氏4.3级地震所散发出来的能量为I2，

则3.1＝0.6lgI1，4.3＝0.6lgI2

两式相减，得：1.2＝0.6lg，

解得：＝100．

故选：C．

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．

9. 下列命题中是真命题的是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】对于选项ABC：利用交并补集的性质即可求解；对于选项D：集合间的关系不能用或来表示.

【详解】选项A：，故A错误；

选项B：由交集的性质可知，B正确；

选项C：由补集的性质可知，C正确

选项D：集合间关系不能用或来表示，故D错误.

故选：BC.

10. 把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，关于的说法正确的是（    ）

A. 函数的图象关于点对称

B. 函数的图象的一条对称轴是

C. 函数在区间上的最小值为

D. 函数在上单调递增

【答案】BC

【解析】

【分析】先求出的解析式，然后研究的对称轴，对称中心和递增递减区间等性质即可判断

【详解】由题意得：

选项A：把代入，，故A错误；

选项B：代入，，故函数的图象的一条对称轴是，故B正确；

选项C：，则，故的最小值为

故C正确；

选项D：，则，故在上不单调，选项D错误

故选：BC

11. 2019年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（    ）

A. P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商

B. 三家设备商的产品组合指标得分相同

C. 在参与评估的各项指标中，Q设备商均优于R设备商

D. 除产品组合外，P设备商其他4项指标均超过Q设备商与R设备商

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据雷达图中是越外面其指标值越优，由图可知ABD均正确.

【详解】雷达图中是越外面其指标值越优，

P设备商的研发投入在最外边，即P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商，故A正确；

三家设备商的产品组合指标在同一个位置，即三家设备商的产品组合指标得分相同，故B正确；

R设备商的研发投入优于Q设备商，故C错误；

除产品组合外，P设备商其他4项指标均在最外边，故D正确；

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查对数表的综合观察能力，属于基础题.

12. 已知函数f(x)=，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（    ）

A. 点（0，0）是函数f（x）的零点

B. ∈（1，3），使f（）>f（）

C. 函数f（x）的值域为[

D. 若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（∪（）

【答案】BC

【解析】

【分析】利用函数的零点判断A，利用函数的单调性及最值判断选项BC；利用函数的单调性及函数的极值判断选项D.

【详解】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误；

对于选项B，当时，，

则当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，当时，；

当时，，

则当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，当时，．

综上可得，选项B正确．

对于选项C，，选项C正确．

结合函数的单调性及图像可得：函数有且只有一个零点0，则也有且只有一个零点0；

所以对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有一个非零的实数根⇔函数的图象与直线有一个交点，且，

则

当时，，

当变化时，，的变化情况如下：

极大值，极小值；

当时，，

当变化时，，的变化情况如下：

极小值．

综上可得，或，

解得的取值范围是，

故D错误．

故选：BC．

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13. 已知向量，，，则=_____.

【答案】

【解析】

【分析】先根据向量的减法运算求得,再根据向量垂直的坐标表示,可得关于的方程,解方程即可求得的值.

【详解】因为向量，，

所以

则

即

解得

故答案为:

【点睛】本题考查了向量垂直的坐标关系,属于基础题.

14. 曲线在点处的切线为________．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用导数求出切线斜率，直接求出切线方程.

【详解】因为，所以.

当x=-1时，，

所以在点处的切线为：，即.

故答案为：.

15. 设，，若，则的最小值为__________．

【答案】16

【解析】

【分析】

把乘以得到，后用均值定理

【详解】解：，且且

∴

当且仅当取等号，

又，即，时取等号，故所求最小值为16．

故答案为：16

【点睛】考查均值定理的应用，基础题

16. 已知是定义域为的奇函数，满足.若，则_______

【答案】2

【解析】

【分析】由奇偶性和对称性可得函数周期为4，同时可求得，结合周期性即可求解.

【详解】[方法一]：

因为f(x)在R上奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．

所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．

因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，

由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，

故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，

令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，

令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，

故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.

[方法二]：特值法

取一个符合题意的函数f(x)＝，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列．

故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.

故答案为：2.

[方法三]：

因为是定义域为的奇函数，且，

所以，

因此，

因为，所以，

，从而

故答案为：2

【点睛】本题考查函数的奇偶性与对称性，周期性的综合应用，属于中档题

四､解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 设全集，集合，集合，其中，若“”是“”的必要条件，求的取值范围

【答案】

【解析】

【分析】考查大范围是小范围的必要条件，由题可得，集合A的范围包含集合B的范围，求解的范围即可.

【详解】根据必要条件范围较大的原则，若“”是“”的必要条件，则集合，所以 ，解得：.

18. 已知点在角的终边上，且，

（1）求 和的值；

(2)求的值.

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】(1)解方程即得t的值，再利用平方关系求.(2)用诱导公式化简再代入和的值求解.

【详解】（1）由已知，所以解得，

故θ为第四象限角，；

（2）

=.

【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义和同角的平方关系，考查诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“-”，就加在前面）.用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间的角，再变到区间的角计算.

19. 已知幂函数在上为增函数.

（1）求实数的值；

（2）若在上为减函数，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】(1)由幂函数的意义列出关于m的方程，再结合函数性质即可得解；

(2)由(1)求得，再由复合函数单调性探求出对数的真数构成的二次函数单调性即可作答.

【详解】（1）因为幂函数，则，解得或，

又在上为增函数，即有，于是；

（2）由（1）知，，

在上为减函数，而函数在上是增函数，则由复合函数单调性知函数在上为减函数，

又的递减区间是，则，

于是得解得，

所以实数的取值范围为.

20. 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足，．

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用三角恒等变换求出角的值，利用正弦定理求出的值，并求得的值，利用三角形的面积公式可求得的面积．

【小问1详解】

解：由及正弦定理可得，

，则，故，，

，因此，.

【小问2详解】

解：，

所以，，即，即，

，则，，则，

由正弦定理可得，则，

，

因此，.

21. 在①，，成等差数列，②，，成等比数列，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

已知为数列的前项和，， ，且________.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由可得出数列是等比数列，且得出公比，由选择的条件可求出首项为1，即可写出通项公式；

（2）求出，再由等差数列的前n项和求出.

【详解】（1）由已知，时，.两式相减得到，

即，因为，所以数列是公比为的等比数列，从而.

选①，，成等差数列，

由，，成等差数列，可得，即，解得，所以.

选②，，成等比数列，

，，成等比数列，即，，成等比数列，，解得，所以.

选③，

，即，解得，所以.

（2）.

则.

【点睛】本题考查等比数列的判断和通项公式的求法，考查等差数列的前n项和的求法，属于基础题.

22. 已知函数（）.

（1）求函数的单调区间和最值；

（2）若，且，证明：.

【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是，最大值，无最小值   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）对函数求导，然后利用导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的最值，

（2）令，利用导数可求得，即，设，则，再利用函数的单调性可求得结论

【小问1详解】

，令，解得，

当x变化时，，的变化情况如下表所示：

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

函数在处取得最大值，无最小值.

小问2详解】

令，则，

当时，，所以在上单调递增，又，

所以，即.

因为，不妨设，

所以.

因为，所以.

又由（1）可知函数在区间内增函数，

所以，即.