2021无锡江阴二中、要塞中学等四校高二上学期期中数学试题含答案

2020-2021学年第一学期高二期中考试

数学学科试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 命题，的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．

【详解】解：命题，是全称命题，

命题，的否定是：，，

故选：．

【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．

2. 现有这么一列数：1，，，，（    ），，，…，按照规律，（    ）中的数应为（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意得出每个数的分母为，分子为连续的奇数，即可求解.

【详解】由题意知，一列数：1，，，，（    ），，，…，

可得每个数的分母为，分子为连续的奇数，所以（    ）中的数应为

故选：A.

【点睛】本题主要考查了数列的项的归纳推理，其中解答中根据数的排列，找出数字的规律是解答的关键，着重考查了归纳推理的应用.

3. 设等比数列的前项和为，若，则（    ）

A. 1023 B. 511 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据已知求出，即得的值.

【详解】设数列的公比为，由题意可得，所以，

由题得.

故

故选：A.

【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比数列的求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.

【详解】求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.

5. 设等差数列的前项和为，若，，则（　　）

A 63 B. 45 C. 36       D. 27

【答案】B

【解析】

【分析】

观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．

【详解】由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45

∴a7+a8+a9=45

故选B．

【点睛】在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：

若等差数列的前项和为，且，则

①若，则；

②、、、 成等差数列．

6. 已知正数，满足，则的最小值是（    ）.

A. 18 B. 16 C. 8 D. 10

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正数，满足，可得，然后由，利用基本不等式求出的最小值．

【详解】解：正数，满足，．

，

当且仅当，即，时取等号，

的最小值为18．

故选：．

【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．

7. 过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

试题分析：椭圆，

∴焦点坐标为：（ ，0），（-，0），c=，

∵椭圆的焦点与椭圆有相同焦点

设椭圆的方程为：=1，

∴椭圆的半焦距c=，即a2-b2=5

结合，解得：a2=15，b2=10

∴椭圆的标准方程为 ，故选A．

考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质．

点评：常见题型，围绕a,b,c布列方程组．

8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意，可得圆O的半径r＝，根据勾股定理，可求得FC的表达式，根据FO≤FC，即可求出答案.

【详解】由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，

又OC＝OB－BC＝－b＝，

则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，

再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9. 设，，则下列不等式中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用作差法可判断ABC选项的正误；取可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，，则，A选项正确；

对于B选项，，则，B选项正确；

对于C选项，，则，C选项正确；

对于D选项，取，则，D选项错误.

故选：ABC.

10. 下列四个函数中，最小值为2是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】

由基本不等式适用条件和取等号的条件，逐项判断即可得解.

【详解】对于A，当时，，

，当即时，等号成立，

所以的最小值为2，故A正确；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，，

当且时，等号成立，但，

所以的最小值不为2，故C错误；

对于D，，当且仅当即时，等号成立，

所以的最小值为2，故D正确.

故选：AD.

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

11. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若 ， ，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 数列是等比数列

C.  D. 数列是公差为2的等差数列

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由，，，，公比为整数，解得，，可得，，进而判断出结论.

【详解】∵，且公比为整数，

∴，，

∴，或（舍去）故A正确，

，∴，故C正确；

∴，故数列是等比数列，故B正确；

而，故数列是公差为lg2的等差数列，故D错误．

故选：ABC.

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前项和公式以及综合运用，属于中档题．

12. 等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（    ）

A.  B.

C. 当时最小 D. 时的最小值为

【答案】BD

【解析】

【分析】

由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.

【详解】由于等差数列是递增数列，则，A选项错误；

，则，可得，B选项正确；

，

当或时，最小，C选项错误；

令，可得，解得或.

，所以，满足时的最小值为，D选项正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 设，则函数的最大值为_____.

【答案】.

【解析】

【分析】

根据题意，由可得，则可以将变形为，再由基本不等式的性质可得，即可得答案.

【详解】，

当且仅当“，即”时，等号成立．

因为，

∴函数的最大值为，

故答案是：.

【点睛】该题考查的是有关利用基本不等式求函数最值的问题，在解题的过程中，注意等号成立的条件，也可以利用配方法求二次函数在某个区间上的最值，属于简单题目.

14. 若关于的不等式（、，）的解集为，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出关于实数、的方程组，由此可解得实数的值.

【详解】由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，

由韦达定理可得，解得.

故答案为：.

15. 我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺.

【答案】1.5

【解析】

【分析】

由题意设此等差数列的公差为，则求出首项即可得到答案．

【详解】设此等差数列的公差为，

由题意即解得

 所以夏至的日影子长为

 故答案为

【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，解题的关键把文字叙述转化为数学等式，属于基础题．

16. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是________．

【答案】

【解析】

【分析】

本题首先可根据调和数列的性质得出，从而判断出数列是等差数列，然后根据得出，最后根据基本不等式求最值，即可得出结果.

【详解】因为正项数列为“调和数列”，所以，数列是等差数列，

则，解得，

故，即，当且仅当时等号成立，

故的最大值是，

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查学生对新定义的理解与转化，能否根据“调和数列”的定义和等差数列的定义得出数列是等差数列是解决本题的关键，若数列是等差数列，且，则，考查计算能力，是中档题.

四、解答题：本大题共6题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）

17. 已知，，若是的充分条件，求实数的取值范围．

【答案】

【解析】

【分析】

先求得集合A、B，根据是的充分条件，可得，根据集合的包含关系，即可求得答案.

【详解】由题意得，或，

因为p是q的充分条件，所以，

所以或，解得或，

即实数m的取值范围是．

18. 在等差数列中，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若________，求数列的前项和．在①，②这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．

【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析.

【解析】

【分析】

（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；

（2）选条件①，计算得出，利用裂项相消法可求得；

选条件②，可得出，分为正奇数和正偶数两种情况讨论，利用并项求和法可求得.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

由题意得，，解得．；

（2）选条件①：，

；

选条件②：，，

，

当为正偶数时，；

当为正奇数时，为偶数，

.

．

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和；

（5）对于型数列，其中为等差数列，可采用错位相减法或者并项求和法求和.

19. 已知函数．

（1）解关于的不等式；

（2）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）按照、、分类，运算即可得解；

（2）转化条件为，结合一元二次函数的性质即可得解.

【详解】（1），，

①当时，不等式的解集为；

②当时，则，不等式的解集为；

③当时，不等式的解集为；

（2）当时，化为，

在上恒成立，

，

又，，

.

20. 椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为2，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8．

（1）求椭圆的方程；

（2）若轴，求的面积．

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆的性质以及定义求出椭圆的方程；

（2）求出直线AB的方程，并与椭圆方程联立求出两点的纵坐标，再由三角形面积公式求出的面积．

【详解】（1）由题意知，，所以，由焦距为2，所以，所以

所以椭圆E的方程为．

（2）因为轴，所以直线AB的方程为

由，，得

解得，，所以.

21. 如图所示，为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，要求，的长度大于米，且比长0.5米，为了稳固广告牌，要求越短越好，设，，

（1）求关于的表达式；

（2）当为何值时，最短并求最短值．

【答案】（1）；（2）米时，AC最短，最短值米.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，由余弦定理即可求出；

（2）根据均值不等式求最小值即可.

【详解】（1）由题意得，

在中，由余弦定理得，

即，

化简并整理得，

（2），（当且仅当时，等号成立），

此时t取最小值．

当米时，AC最短，最短值米．

22. 设数列的前项和为，已知，，．

（1）证明：为等比数列，求出通项公式；

（2）若，求的前项和；

（3）在（2）的条件下判断是否存在正整数使得成立？若存在，求出所有值；若不存在说明理由．

【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）不存在正整数n，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由等式可得出，可证得数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的通项公式，可求得，再利用与的关系可求得数列的通项公式；

（2）求得，利用错位相减法可求得；

（3）由，，可得，令，利用数列的单调性可判断等式是否有解，即可得出结论.

【详解】（1），，，

因为，所以可推出．

故，即为等比数列，且首项为，公比也为，

，即，

当时，，也满足此式，；

（2）因为，，，

两式相减得：，

即；

（3）将代入，得．

所以，即.

令，，

所以，数列为单调递减数列，

又，，，，，

因为为单调递减数列，所以当，，

所以不存在正整数使得成立．

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.