2023青岛第五十八中学高一上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2023青岛第五十八中学高一上学期10月月考数学试题含解析，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022级高一级部阶段性模块检测
数学试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1. 已知集合，则=
A. B. C. D.
2. 集合，，，，则下面正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，，均为实数，有下列命题：
（1）若，，则；
（2）若，，则；
（3）若，，则，
其中正确命题的个数是　　
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥恒成立，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则“”是 “”
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 函数的大致图象可能是（ ）
A B. C. D.
10. 下列结论错误的是（ ）
A. 不存在实数a使得关于x的不等式的解集为
B. 不等式在R上恒成立的必要条件是且
C. 若函数对应的方程没有实根，则不等式的解集为R
D. 不等式的解集为
11. 已知可用列表法表示如下:












若，则可以取（ ）
A. B. C. D.
12. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，则的最大值是 -1
B. 若，，都是正数，且，则的最小值是3
C. 若，，，则的最小值是2
D. 若实数，满足，则的最大值是
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知，则=___________.
14. 已知函数定义域为，函数，则的定义域为______.
15. 一批货物随列火车从市均以千米/时的速度匀速直达市，已知两地铁路线长千米，为了安全，每两列火车的间距不得小于千米（火车的长度忽略不计），那么这批货物全部运到市，最快需要_______小时.
16. 若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解下列不等式
（1）
（2）
18. 已知不等式的解集为集合，不等式的解集为集合．
（1）求集合、；
（2）当时，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19. 已知全集为R，集合，集合或.
（1）若是成立充分不必要条件，求a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围.
20. 设命题，；命题，使．
（1）若命题为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题，一真一假，求实数a的取值范围．
21. 近年来，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元．售价为8元，月销售5万只．
（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价元，并投入万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
22 设，．
（1）若恒成立，求实数k的取值范围；
（2）当时，解不等式．




2022级高一级部阶段性模块检测
数学试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）
【9题答案】
【答案】ABC
【10题答案】
【答案】CD
【11题答案】
【答案】BCD
【12题答案】
【答案】ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】.
【16题答案】
【答案】
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
【17题答案】
【答案】（1）；（2）.
【18题答案】
【答案】（1），时，；时，；，（2）.
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）；（2）或
【21题答案】
【答案】（1）18.5元；（2）当x＝10时，最大利润为14万元.
【22题答案】
【答案】（1）
（2）当时，不等式的解集为，
当时，不等式为
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.





2022级高一级部阶段性模块检测
数学试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1. 已知集合，则=
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
详解】由题意得，，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2. 集合，，，，则下面正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合中元素的特点判断即可.
【详解】对于集合，当时，则，与B集合中元素相同；
当时，则，与集合C中元素相同；
当时，则，与集合D中元素相同；
所以.
故选：D
【点睛】本题考查集合间的基本关系判断，解答的关键在于分析清楚各集合中元素的规律，较简单.
3. 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求已知条件的等价条件，再根据充分不必要条件的定义判断即可.
【详解】一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是，即，则其充分不必要条件的范围应是集合的真子集，又Ü，故C正确，
故选：C．
4. 已知，，，均为实数，有下列命题：
（1）若，，则；
（2）若，，则；
（3）若，，则，
其中正确命题的个数是　　
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题就是，，三个结论之间轮换，知二推一，利用不等关系证明即可．
【详解】解：对于（1），
将不等式两边同时除以

所以（1）正确
对于（2），
将不等式两边同时乘以
所以（2）正确
对于（3）

又

所以（3）正确
故选：．
【点睛】本题考查不等式与不等关系的灵活运用，以及不等式的性质，属于基础题．
5. 已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥恒成立，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“乘1法”，可得，展开后，利用基本不等式可推出其最小值，则可得不等式，解不等式即可.
【详解】解：xy＞0，且x+y＝2，
，

当且仅当，即时，等号成立，
不等式≥恒成立，
，化简得
解得.
m的取值范围是
故选：B．
【点睛】本题考查利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题
6. 若，则“”是 “”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
7. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值．
【详解】已知，，，
则，
当且仅当 时，即当，且，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．
8. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系求得参数的取值范围.
【详解】解不等式，得或
解方程，得，
（1）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，
若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；
（2）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，
若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；
综上，可知的取值范围为
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查利用不等式组的解集情况求参数的范围，解题的关键是解一元二次不等式及分类讨论解含参数的一元二次不等式，再利用集合关系求参数，考查学生的分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题.
二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 函数的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题得再对分三种情况讨论，结合特值法分析判断得解.
【详解】由题得
当时，A正确．
当时，不妨取，则B正确．
当时，不妨取，则C正确．
假设为偶函数，则对于恒成立，
所以，无论取何值，都不可能对于恒成立，所以D错误.
故选：ABC
10. 下列结论错误的是（ ）
A. 不存在实数a使得关于x的不等式的解集为
B. 不等式在R上恒成立的必要条件是且
C. 若函数对应的方程没有实根，则不等式的解集为R
D. 不等式的解集为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据题意，结合一元二次不等式和分式不等式的解法，一一判断即可.
【详解】对于选项A，当时，的解集不为，而当时，要使不等式的解集为，只需，即，因，故不存在实数a使得关于x的不等式的解集为，因此A正确；
对于选项B，当且时，在R上恒成立，故不等式在R上恒成立的必要条件是且，因此B正确；
对于选项C，因函数对应的方程没有实根，但正负不确定，故或恒成立，因此不等式的解集不一定为R，故C错；
对于选项D，由，得，即，解得，故D错.
故选：CD.
11. 已知可用列表法表示如下:












若，则可以取（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据所给函数关系一一代入计算可得；
【详解】解：当时，，故不适合;
当时，适合;
当时，适合;
当时，适合，
所以或或.
故选：BCD
12. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，则的最大值是 -1
B. 若，，都是正数，且，则的最小值是3
C. 若，，，则的最小值是2
D. 若实数，满足，则的最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；
对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；
对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；
对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.
【详解】对于A，因为，所以，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为-1，故A正确；
对于B，因为，，都是正数，且，所以，
所以
，
当且仅当，即即时等号成立，
所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所以，
即（当且仅当时等号成立），
因为，所以，
所以，所以，
解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4，故C错误；
对于D，令，，则，，
因为，所以，同号，则，同号，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，故D正确，
故选：ABD．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知，则=___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法，令，，则，代入可求得，进而求得.
详解】令，，则，，
，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查函数解析式的求法，属于基础题.
14. 已知函数的定义域为，函数，则的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】结合抽象函数与具体函数定义域的求法，解不等式组即可得出答案.
【详解】因为函数的定义域为，故，
所以的定义域满足，解得，
所以的定义域为.
故答案为：.
15. 一批货物随列火车从市均以千米/时的速度匀速直达市，已知两地铁路线长千米，为了安全，每两列火车的间距不得小于千米（火车的长度忽略不计），那么这批货物全部运到市，最快需要_______小时.
【答案】.
【解析】
【分析】设这批货物从市全部运到市需要时间为小时，由已知得出，再运用基本不等式可求得答案.
【详解】设这批货物从市全部运到市需要的时间为小时，
则（小时），
当且仅当，即时，等号成立，
所以批货物从市全部运到市需要小时.
故答案为：8.
16. 若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意转化为对任意恒成立，构造函数，求出最大值即可得解.
【详解】因为命题“，”为真命题，
所以对任意恒成立，
因为，且，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查了由命题的真假求参数的取值范围，考查了函数不等式恒成立问题，属于基础题.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解下列不等式
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
对于，先化为标准型，再利用因式分解法解不等式；对于，先移项，通分，利用符号法则可解.
【详解】解：(1)化为，
，即，
或，
原不等式的解集为．
（2）化为，即，
，且，
即(且)
原不等式的解集为．
【点睛】常见解不等式的类型：
(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法；
(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；
(3)高次不等式用穿针引线法；
(4)含参数不等式需要分类讨论．
18. 已知不等式的解集为集合，不等式的解集为集合．
（1）求集合、；
（2）当时，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1），时，；时，；，（2）.
【解析】
【分析】（1）别解一元二次不等式可得集合、求出的两根再比较大小可得集合；
（2）根据题意可得集合是集合的真子集，结合数轴列不等式组即可求解.
【详解】（1）由，可得 解得：．
故集合．
由，得
可得：，．
当时，，由得，
故集合．
当时，，由得：，
故集合．
当时，由得，
故集合．
（2）当时，集合．
∵是成立的充分不必要条件，
∴是的真子集，
则有，
解得：．
又当时，，不合题意，
∴实数的取值范围为
19. 已知全集为R，集合，集合或.
（1）若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据题意可知，集合是集合的真子集，结合数轴即可求解；
(2)根据题意，先求出，再求出满足时的范围，再求补集即可.
【小问1详解】
由是成立的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集，因 ，或，所以或，
解得.
【小问2详解】
由或，得，
若，则或，即，因，
所以.
20. 设命题，；命题，使．
（1）若命题为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题，一真一假，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）令，若命题为真命题，只要，时，即可，进而得到实数的取值范围；
（2）首先求出命题为真时参数取值范围，根据命题与一真一假，分两种情况讨论，进而得到答案．
【详解】解：（1）因为命题，，．
令，
根据题意，只要，时，即可，
也就是，即；
（2）由（1）可知，当命题为真命题时，，
命题为真命题时，△，解得或
因为命题与一真一假，
当命题为真，命题为假时，，
当命题为假，命题为真时，．
综上：或．
【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
21. 近年来，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元．售价为8元，月销售5万只．
（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价元，并投入万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
【答案】（1）18.5元；（2）当x＝10时，最大利润为14万元.
【解析】
【分析】
（1）设口罩每只售价最多为元，根据条件建立不等式，解不等式即可得到结论．
（2）求出利润函数，利用基本不等式即可求出最值．
【详解】解：设口罩每只售价最多为元，则月销售量为万只，
则由已知，
即，即，
解得，即每只售价最多为18.5元．
（2）下月的月总利润
，
，
，
即，
当且仅当，即时取等号．
答：当时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．
【点睛】本题主要考查与函数有关的应用问题，根据条件建立方程或不等式是解决本题关键，考查学生的阅读和应用能力，综合性较强．
22. 设，．
（1）若恒成立，求实数k的取值范围；
（2）当时，解不等式．
【答案】（1）
（2）当时，不等式的解集为，
当时，不等式为
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
【解析】
【分析】(1)分别在，时转化已知条件，由此可求k的取值范围；(2)分别在，，，，条件下求解不等式即可.
【小问1详解】
当时，即时，不等式可化为，所以，与条件矛盾，
当时，即时，由已知恒成立，所以，所以，
所以实数k的取值范围为；
【小问2详解】
由(1)当时不等式在上恒成立，所以不等式的解集为，
当时，不等式可化为，方程的判别式，方程的解为，所以不等式的解集为，
当时，方程的判别式，方程的解为
，，，所以不等式的解集为或，
当时，不等式可化为，所以，即不等式的解集为，
当时，方程的判别式，方程的解为
，，，所以不等式的解集为，
综上可得，当时，不等式的解集为，
当时，不等式为
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.